河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（2）

2025--2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（2） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（    ） A．0 B．1 C． D． 2．函数在处的导数（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前n项和为，且，则=（    ） A．76 B．68 C．38 D．34 6．函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 8．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（    ） A．12 B． C．24 D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．下列函数在处的导数值大于0的是（   ） A． B． C． D． 11．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若，则________. ________. 13．被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______． 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前n项和，求数列的前n项和． 16．(本小题15分）已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的值； (3)求曲线在点处的切线方程. 17．(本小题15分）已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 18．(本小题17分）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)求曲线在点处的切线方程. 19．(本小题17分）已知函数，（），其导函数为． (1)若，求的值； (2)若的图像过点与，求原点到直线的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月25日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A D A C AC BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据求导公式计算即可. 【详解】因为，所以. 2．C 【详解】由，得. 3．D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 4．B 【详解】因为，所以，， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 5．A 【详解】因为为等差数列，所以， 又，所以，解得， 所以. 6．D 【分析】借助导数运算法则计算即可得. 【详解】. 7．A 【分析】求出，再由可得答案. 【详解】， 若，则， 解得. 故选：A. 8．C 【分析】对求导得，根据已知有即可求，进而求. 【详解】由，得， ∵当时，，解得， ∴， ∴当时，. 故选：C. 9．AC 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10．BC 【详解】选项A：，求导得，代入得，不符合要求； 选项B：，求导得，代入得，符合要求； 选项C：，求导得，代入得，符合要求； 选项D：，求导得，代入得，不符合要求. 11．AC 【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项. 【详解】的定义域为， ，即直线的斜率， 设与垂直的直线的斜率为，则，所以，. 对于A，直线的斜率为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，直线的斜率为，故C正确； 对于D，直线的斜率为，故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】利用分组并项求和，结合分类讨论即可求得结果. 【详解】 当为偶数时， 当为奇数时，， 综上可得：， 故答案为： 13．/ 【分析】首先根据导数的几何意义求点处的切线方程，再根据阿基米德定理求面积. 【详解】首先得到弦的两个端点的坐标分别为，， ，，， 该两点处的抛物线的切线方程分别为，，联立两条切线求得交点坐标为， 从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为， 故弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为． 故答案为： 14．2或4 【分析】根据导数的几何意义可得切线为，分析可知方程有唯一解，进而可得结果. 【详解】因为，则，当时，， 则曲线在点处的切线为， 令，可得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 即方程有唯一解， 则，解得或． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用构造等差数列递推来证明即可； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）因为，当时，根据，则，所以， 则由题意可得：， 即．所以是公差为2的等差数列． （2）由（1）知，所以． 由于， 所以． 16．(1)1 (2) (3) 【详解】（1）由，得， 则，即. （2）由，得，则， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为， 则. （3）由（1）知，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 17．(1) (2)或 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解； （2）先设切点为求出切点处的切线方程，代点求出切点即可求解切线方程. 【详解】（1）易知，所以切线斜率为 ∴函数在点处的切线方程为， 即； （2）由题，∴，设切点为， ∴切线方程为， 又切线过点，∴， 即，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， ∴的方程为，或． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）对求导，代入，即可求出，代入可得解析式； （2）将不等式化简，根据分式不等式与的定义域求解； （3）先求在点处的斜率，代入点即可求出切线方程. 【详解】（1）由题意，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴. （2）由题意由（1）得 ， 则不等式，即为，又， 解得， ∴不等式的解集为. （3）在中， ， ，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即. 19．(1) (2) 【分析】（1）由，可得，据此可得答案； （2）由题目条件得到，可将直线化简为：，然后由点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）， 则； （2）因的图像过点与， 由（1），. 由题可得直线存在，则，则， 则原点到直线的距离为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $