河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年下学期高二数学双休自主学习测试卷（5）

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦导数及其应用，通过8道单选（40分）、3道多选（18分）、3道填空（15分）及5道解答题（77分），系统考查导数计算、切线方程、单调性、极值与最值，注重基础巩固与逻辑推理能力，适配周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（题4）、切线方程（题2）、单调区间（题5）|基础概念辨析，强调运算准确性| |多选题|3/18|函数单调性判断（题9）、极值分析（题10）|选项分层，考查思维严谨性| |填空题|3/15|单调性参数范围（题12）、公切线（题13）、体积最值（题14）|结合几何直观，体现应用意识| |解答题|5/77|切线与极值（题15）、恒成立问题（题19）|分步设问，综合考查逻辑推理与模型构建|

2025--2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（5） 1、 单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C．1 D．0 2．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 3．已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为（   ） A．1－ln2 B．ln2－1 C．ln2 D．－ln2 4．下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 8．若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极大值为54 D．函数在区间上的最小值是 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是. C．在定义域内无最小值，无最大值. D．. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 13．已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 14．一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题分）已知函数. (1)若直线与曲线在处的切线平行，求的值. (2)求函数的单调区间和极值； 16．（本小题15分）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 17．（本小题15分）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 18．（本小题17分）已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 19．（本小题17分）已知，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【详解】由，得，则，解得， 2．A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 3．D 【详解】因为，故可得，， 故在点处的切线方程为：， 令，解得． 故切线在y轴上的截距为． 4．D 【分析】根据导数公式及简单复合函数求导逐项判断即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 5．B 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 6．B 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 7．D 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 8．B 【详解】设圆锥的半径为，则高为， 所以该圆锥的体积为， 令，则， 因为，所以， 所以， 令， 所以，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 9．ABD 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，， 在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 10．AC 【详解】因为，所以. 由可得或；由可得. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 对A：因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，故A正确； 对B：因为函数在上单调递减，在也是单调递减，故B错误； 对C：因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，故C正确； 对D：函数在上单调递增，在上单调递减，且，，所以函数在区间上的最小值是，故D错误. 11．ACD 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，根据结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确， 对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确. 12． 【分析】利用函数单调性与导函数符号之间的关系求解. 【详解】若在R上单调递增，则在R上恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 13． 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 14． 【详解】由正方形的边长为，所以可得正四棱锥的斜高为， 设正四棱锥的底面边长为，高为， 所以，所以， 所以正四棱锥的体积， 令，求导得， 令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 所以，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为. 15．(1)； (2)的单调减区间为，单调增区间为；的极小值为，无极大值. 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）解可得单调区间，解结合单调区间可得极值. 【详解】（1）由题可知，则，又， 则在处的切线方程为：. 又因为与平行，则； （2）由（1），，， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 令，结合单调区间，可得极小值为，无极大值. 16．(1) (2) 【分析】（1）代入计算切点坐标和切线斜率，利用点斜式推导切线方程； （2）先求导，结合极值点处导数为得到的候选值，再通过导数的符号变化验证极大值条件，最终确定的取值 【详解】（1）当时，，所以，即切点为； 又， 所以； 由点斜式得切线方程：，整理得. （2）定义域为，， 由为极值点得，代入得，解得或； 若，则由得或， 当时，时， 故处为极小值，不符合题意，舍去； 若，则由得或， 当时，时， 故处左增右减，为极大值，符合题意； 综上，. 17．(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， ； （2）将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. 18．(1)极大值，极小值 (2) 【分析】（1）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （2）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【详解】（1）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （2）由于， 当时，，仅在时等号成立，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 19．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）对函数求导得，利用导函数的正负判断函数的单调区间； （2）根据题意求出，再结合定义域分离参数可得，令，对求导，得到的单调性，再求出的最大值,从而得到的取值范围. 【详解】（1）∵函数的定义域是，． 令，得，解得， 的单调递减区间是． 令，得，解得，的单调递增区间是． 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是． （2），恒成立，恒成立． ，在上恒成立． 设，则． 令，得，（舍去）． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ∴当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $