河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年下学期高二数学双休自主学习测试卷（4）

**基本信息** 聚焦导数及其应用，通过基础巩固（如切线方程）、能力提升（含参数单调性）、创新应用（琴生不等式）的梯度设计，培养数学思维与逻辑推理，适配高二周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数几何意义、单调性、函数比较|第3题通过构造函数比较大小，强化数学抽象| |多选题|3/18|切线斜率、导函数图象、琴生不等式|第11题融入数学史（琴生），体现文化传承| |填空题|3/15|导数计算、切线方程、三角函数最值|第14题结合三角函数导数，考查综合应用| |解答题|5/77|求导运算、切线方程、含参极值最值|第17题分区间讨论参数最值，培养逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2025--2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（4） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2.曲线在处的切线的倾斜角是（ ） A.      B.      C.      D. 3.设，，，则（ ） A. B. C. D. 4.函数在区间上的最小值，最大值分别为（ ） A.0， B. 0， C. ， D. ， 5.函数的导数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A.      B.      C.      D. 7.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 8.已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（ ） A.    B. C.    D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A.(－1,1) B.(－1，－1) C.(1,1) D.(1，－1) 10.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A.函数在区间上单调递减      B.函数在区间上单调递增 C.函数在处取得极大值      D.函数在处取得极小值 11.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（　　） A.      B. C.      D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.设函数，则                  . 13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为                  ． 14.已知函数f(x)＝x－sin x，x∈，则函数f(x)的最大值为                  ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.本小题分求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xlnx； (2)y＝； (3)y＝. 16.本小题分已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值； (2)若，求的极值. 17.本小题分已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值． 18.本小题分已知函数. (1)若求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间和最小值. 19.本小题分设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在上的最大值为求的值． 参考答案： 1.【答案】D 【解析】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 2. 【答案】A 【解析】对求导，得， 则. 设切线倾斜角为， ，由，可得. 故选：A． 3. 【答案】D 【解析】令，则，，. . 令，得或； 令，得. 所以在单调递增，在，单调递减. 可得，即； ，即. 又，即. 所以. 答案选D. 4. 【答案】C 【解析】. 在区间上： 当时，，，所以，单调递增. 当时，，，所以，单调递减. 所以在处取得最大值，. ，， 所以的最小值为. 故选：C. 5．【答案】D 【解析】因为，所以， 设，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又因为，故B错误. 故选：D. 6. 【答案】B 【解析】函数其定义域为求导得. 因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 对于函数在上随增大而减小时. 要使恒成立，则 所以的取值范围是. 故选：B. 7. 【答案】C 【解析】函数在内无极值， 则其导数在内无变号零点. 在单调递增，故或. 由，解得； 由，解得. 综上，的取值范围是. 故选：C． 8. 【答案】A 【解析】已知， 不等式两边同除以，可得. 设函数，. 对求导得. 由， 可知. 所以在上单调递增. 因为， 所以，即. 化简得. 故选：A. 9. 【答案】BC 【解析】y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 10. 【答案】BD 【解析】观察导函数图象： 当时，； 当时，. 对于A，包含于，此时，函数单调递增，A错误. 对于B，在范围内，，函数单调递增，B正确. 对于C，处，，不满足极大值点左右导数异号的条件，C错误. 对于D，处，左侧，右侧，满足极小值点条件，D正确. 故选：BD. 11. 【答案】ABC 【解析】选项A：，， . ，，，，是凸函数. 选项B：，， . ，，是凸函数. 选项C：，， . ，，是凸函数. 选项D：，， . ，，不是凸函数. 综上，答案是ABC. 12. 【答案】 【解析】令，则，. 将，，代入可得： . 13. 【答案】 【解析】，所以， 故切线方程为， 故答案为：． 14. 【答案】－ 【解析】因为f(x)＝x－sin x，所以f′(x)＝－cos x. 当x∈时，cos x∈，所以f′(x)<0； 当x∈时，cos x∈，f′(x)>0. 又f ＝－，f＝－， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为－. 15. 【答案】解　(1)y′＝(x2＋xlnx)′＝(x2)′＋(xlnx)′ ＝2x＋(x)′lnx＋x(lnx)′ ＝2x＋lnx＋x· ＝2x＋lnx＋1. (2)y′＝′＝ ＝＝. (3)y′＝′＝＝. 16. 【答案】解：（1）由得; 故; 因为切线与直线y = x垂直, 所以, 得m = 4. （2） 当m=3时,,定义域为(0,+); 由f(x)得; 当时，，当时，， 故f(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,+)上单调递增; 因此f(x)在x=1处取得极小值+3,无极大值. 17. 【答案】解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1,0)点，即1＋a＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x， 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0<t≤2时，在区间[0，t]上，f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个，f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0， 所以f(x)max＝f(0)＝2. 18. 【答案】解：（1）由得,. 故,. 故切线方程为, 即. ⑵,且. 当时,, 故,在上单调递增,; 当时，若 则,若 则, 故的单调递减区间为,单调递增区间为,; 当时,, 故,在上单调递减,. 19. 【答案】解：(1)由得定义域为,且 由得． 由得, 故的符号由决定; 由得, 此时,单调递增; 由得, 此时,单调递减． 故的单调递增区间为,单调递减区间为． ⑵由得且,又, 故,在上单调递增． 所以在上单调递增，故在上的最大值为因此． 第2页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 $