河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年下学期高二数学双休自主学习测试卷（3）

**基本信息** 聚焦导数几何意义与数列，通过切线方程求解、公比计算等问题设计，实现基础巩固与能力提升的周测适配，发展运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数切线斜率（题3）、等差数列首项（题2）|基础概念直接应用，梯度清晰| |多选|3/18|导数切线斜率范围（题9）、等比数列性质（题11）|干扰项设计考察辨析能力| |填空|3/15|切线方程综合应用（题12）|图像信息转化，强化几何直观| |解答|5/77|导数切线与面积（题17）、数列递推证明（题16）|多知识点融合，体现真题命题趋势|

2025--2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（3） 一 单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知，则（   ） A．2 B． C． D． 2．已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 3．若函数在处切线的斜率，则实数的值等于（ ）. A．2 B．1 C．3 D．4 4．在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 6．曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 7．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 11．在等比数列中，，公比为q，则（   ） A．q＝±2 B．＝±12 C．是公比为4的等比数列 D．是公比为2的等比数列 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 13．已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 14．若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题分）已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 16．（本小题分）已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（本小题分）设函数，曲线在点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)判断曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是否为定值，若是求出此定值，若不是说明理由. 18．（本小题17分）已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为，.求的面积. 19．（本小题17分）已知函数，曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【详解】由求导得：，则. 2．C 【分析】结合等差数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则. 由，得，即. 联立解得，. 3．B 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出值. 【详解】函数，求导得， 由函数在处切线的斜率，得， 所以. 4．B 【分析】设，进而结合题意得，解方程即可求得答案. 【详解】设， 由题意得：，则， 因为曲线上一点处的切线平行于直线， 直线的斜率为， 所以，解得， 所以，即 5．C 【详解】由，则. 6．A 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 7．B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 8．D 【详解】由，则， 又，则点处的切线方程为， 所以切线为. 9．AC 【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项. 【详解】的定义域为， ，即直线的斜率， 设与垂直的直线的斜率为，则，所以，. 对于A，直线的斜率为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，直线的斜率为，故C正确； 对于D，直线的斜率为，故D错误. 故选：AC. 10．AC 【分析】根据导数的四则运算求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，令，所以， 所以，解得，故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AC． 11．AC 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，由得，所以数列是公比为4的等比数列，故C正确； 对于D，当时，，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误. 12． 【详解】点处的切线方程是，则， 切线斜率为，则， ． 13． 【分析】利用导数的几何意义得到切点处斜率满足的关系，再结合切点同时在曲线和切线上，代入整理即可求得的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则，即， 又因为切点同时在切线上，故，则， 即，则. 14． 【分析】对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可. 【详解】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 15．(1) (2)或 【分析】（1）求导，再结合可得，进而求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 则. （2）由，得， 设切点为，则，解得或， 则切点为或，切线斜率为0， 所以该切线的方程为或. 16．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据递推公式和等差数列定义以及等差数列通项公式证明、求解即可； （2）表示出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． （2）因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 17．(1) (2)是，8 【分析】（1）根据切线方程及导数的几何意义列方程求即可得解； （2）求出切线方程，再求切线与直线和直线所围成的三角形面积即可得解. 【详解】（1）因为， 所以又根据切线方程可知，解得， 所以 （2）设为曲线上任一点， 由知曲线在点处的切线方程为， 即 令得，从而得切线与直线的交点坐标为 令得，从而得切线与直线的交点坐标为 所以 故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为 18．(1) (2) 【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得的值即可； （2）先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线；求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由已知得，即， 又，所以.故. （2）当时，. 不妨设切点.所以. 故切线的方程为. 因为过原点，故，解得. 所以切线的方程为. 又为偶函数，其图象关于轴对称， 故切线的方程为. 所以切线的方程为. 可知，，由对称性可知， 为等腰三角形，其面积为 19．(1)， (2)或 【分析】（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解； （2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 则， 解得，． （2）由（1）可知，则． 当切点是时，所求切线斜率， 则所求切线方程为，即． 当切点不是时，设与曲线相切的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得（舍去）， 则所求切线斜率， 故所求切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $