精品解析：2026年陕西渭南市合阳县初中学业水平第二次模拟考试九年级数学试题

试卷类型：A 合阳县2026年初中学业水平第二次模拟考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 有理数的倒数是( ) A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与其相乘等于1的数． 【详解】∵有理数a的倒数为， ∴的倒数为， 故选：D． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 3. 如图，木条a、b被木条c所截，已知，若要使，则需使的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由邻补角互补可得，再根据两直线平行、内错角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， 要使，需． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘法、合并同类项、单项式除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项 A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 5. 如图，是的中线，点E是边的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中线的定义可知点D是的中点，易得是的中位线，再利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线，  ∴D是的中点， ∵点E是边的中点， ∴是的中位线，  ∴． 6. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 7. 如图，四边形内接于，连接、，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，利用平行线的性质求出，最后根据圆内接四边形的性质求出； 【详解】解：，，  ，  ，  ，  ，  四边形内接于，  ，  ． 8. 二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（ ） A. 4 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为 ，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点到原点的距离得到该数的绝对值为，再结合点在原点左侧判断数的符号即可解答． 【详解】解：所求数对应的点在数轴原点左侧， 该数为负数， 该点到原点的距离为， 该数的绝对值为， 这个数是． 10. 如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是________． 【答案】 6 【解析】 【分析】由正方形的性质得其内角为，结合对顶角相等及四边形内角和定理，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的值 【详解】解：由正方形的性质可知，正方形的每个内角均为， ∵正方形和正边形的两条邻边相交构成一个四边形， 根据对顶角相等，该四边形的两个内角分别等于和， ∴由四边形内角和定理可知，正边形的一个内角为：     ， 根据正多边形内角公式得： ， 解得． 11. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 【答案】12 【解析】 【分析】观察前三个图形中氢原子的个数，发现后一个图形比前一个图形多2个氢原子，归纳出第n个图形中氢原子个数的代数式，将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中有个氢原子， 第2个图形中有个氢原子， 第3个图形中有个氢原子，  ⋯⋯ 由此规律可得，第n个图形中有个氢原子， 当时，氢原子的个数为． 12. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到的长和的度数，根据线段中点的定义求出的长，由垂直的定义得到，从而证得，再利用相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ，，  ∵点是的中点，  ，  ，  ，  ，  ∴， ，  ， ， ，  ． 13. 如图，点B、A分别在反比例函数和（k为常数，，）的图象上，连接交y轴于点C，连接、．若轴，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据点在反比例函数图象上可得，由 轴及 可表示出点的坐标，最后将点坐标代入即可求出的值； 【详解】解：设点的坐标为，其中， 点在反比例函数的图象上， ， 轴，交轴于点， 点的坐标为 ，， ， ， 点在第二象限， 点的横坐标为 ，纵坐标为，即 ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 14. 如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而得到点到的距离．然后利用锐角三角函数将转化为点到的距离，最后根据垂线段最短求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， ， 过点作于点，延长交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 过点作于点， 在中，， ， 当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长， 的最小值为3． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 16. 解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】先按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下： 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 原式   ． 18. 如图，在中，，．请你用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得的面积与的面积之比为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】如图：用尺规作的角平分线，其与的交点为点D即为所求． 【详解】解：如图：作的角平分线，其与的交点为点D，点D即为所求； 证明：如图：过D作于E，过D作于F， ∵的角平分线， ∴， ∴，即点D即为所求． 19. 如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 根据以下信息，完成任务： 背景 三秦源于古代陕西统称，历史上为便于管理，根据自然人文因素划分为陕北、关中、陕南三区． 素材 小平和小安计划假期在陕西省内旅游，他们准备了四张大小、形状完全相同的不透明卡片，在四张卡片上分别写上咸阳、渭南、延安、商洛，将卡片背面朝上洗匀后，小平先从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片上所写的城市名称后，将卡片放回洗匀；小安再从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片上所写的城市名称，两人根据抽到的城市名称选择假期要去的城市． 任务 （1）小平假期选择去延安旅游的概率为_______； （2）已知咸阳、渭南属于关中地区，延安属于陕北地区，商洛属于陕南地区，请用画树状图或列表的方法求小平和小安选择的城市均为关中地区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）通过画树状图法列出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再代入概率公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：小平从4张卡片中随机抽取，共有4种等可能的结果，抽到延安的结果只有1种． 因此小平选择去延安旅游的概率为； 【小问2详解】 解：记咸阳为A，渭南为B，延安为C，商洛为D，其中A、B为关中地区，画树状图如下： 可知，共有16种等可能的结果，其中两人选择的城市均为关中地区的结果共4种． 因此所求概率为． 21. 古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】设米，根据等角对等边得到米，则米，证明，得到，求解即可． 【详解】解：设米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵同一时刻的阳光下， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即米． 22. 科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 【答案】（1）， （2）当购买台时，在A专卖店购买更便宜；当购买台时，两家专卖店费用相同；当购买台数大于台时，在B专卖店购买更便宜． 【解析】 【分析】（1）根据两家专卖店的优惠方案，分别计算总费用得到函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，结合一元一次方程、一元一次不等式求解，分情况得到不同购买数量下更优惠的方案． 【小问1详解】 解：根据题意，A专卖店每台打八折，每台价格为元 购买台的总费用为； B专卖店第一台按原价出售，剩余台打七折，每台折后价格为元 因此总费用； 【小问2详解】 解：分三种情况讨论： 当时，可得 解得 且为正整数 ，此时在A专卖店购买更便宜； 当时，可得 解得， 此时两家专卖店费用相同； 当时，可得 解得， 此时在B专卖店购买更便宜． 答：当购买2台时，在A专卖店购买更便宜；当购买3台时，两家费用相同；当购买台数大于3台时，在B专卖店购买更便宜． 23. 我国古代数学在盈不足术、线性方程组及解法、垛积术、天元术等多种领域都取得了领先世界的成就，涌现出众多具有崇高地位的数学家和数学论著．某学校为了增强学生对数学课程的兴趣，在全校范围内开设了“走进古典数学著作”的系列课程，在课程结束后为了解学生的学习情况，开展了有关该课程的知识竞赛活动，从八，九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制，且为整数）进行整理、描述、分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息1：八年级所抽取20名学生竞赛成绩是60，64，65，72，72，72，76，78，80，85，86，86，86，86，88，92，97，98，98，99． 信息2： 九年级所抽取20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：81，84，85，86，86，86，87，89． 信息3：八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 八年级 九年级 平均数 82 82 中位数 a 众数 b 86 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级知识竞赛的成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校八、九年级参加此次竞赛的学生人数分别为400名和450名，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生总人数． 【答案】（1），86 （2）八年级知识竞赛成绩较好．理由见解析 （3）190人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义即可确定a；然后根据众数的定义即可确定b； （2）利用中位数作决策进行分析即可解答； （3）运用样本估计总体进行列式计算即可． 【小问1详解】 解：依题意，九年级一共抽取20名学生进行调查， ∴中位数排在第10名和第11名（按高分到低分），且A组学生数为， ∵九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：89，87，86，86，86，85，84，81． ∴第10名和第11名分别是84，85， ∴． 观察八年级20名学生的竞赛成绩，其中86分出现次数最多， ∴． 【小问2详解】 解：八年级知识竞赛成绩较好．理由如下： 八年级知识竞赛成绩的中位数为，九年级知识竞赛成绩中位数为， ∵， ∴八年级知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：依题意，（人）． 答：估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共190人． 24. 如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的直径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由圆的基本性质以及等边对等角可得，再利用切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等可得，最后利用等量代换即可证明结论； （2）由圆的基本性质可得，利用正弦的定义可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵的直径为10， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 25. 某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过，然后运用待定系数法求解即可； （2）由二次函数的性质可得对称轴为，进而求得点M的横坐标为3，然后求得点M的纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过， 设抛物线的表达式为， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为， ∵轴，米， ∴点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为米， ∴横幅（宽度忽略不计）到地面的距离米． 26. 相似三角形与菱形综合探究 【问题探究】 （1）和的位置如图1所示，，点B、C、D在一条直线上，连接、． ①求证：； ②若，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2，某城市公园计划修建一处菱形观景台，米，，设计师计划在点A处修建休息区，在边的中点E处设立一个景观灯，同时在小路上设置一个智能喷灌装置F（点F是上的动点，点F不与端点重合），连接、，在菱形内找一点P，在点P处修建花坛，连接、、，要使，且休息区A到花坛P的距离最短（即的长最短），请你帮助设计师求出长度的最小值．（小路的宽度以及休息区、景观灯、喷灌装置、花坛的大小均忽略不计） 【答案】（1）①见解析；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①由相似三角形的性质可得，，易得，再说明即可证明结论；②设，则，由相似三角形的性质可得、，再在中运用三角形内角和定理求解即可； （2）先证明可得，再结合菱形的性质、等边三角形的判定与性质可得；如图：取的中点N，连接，则，利用等边三角形的判定与性质、圆周角定理可知 四点共圆，进而得到为定值，如图，作的外接圆，连接，延长交于H，连接，利用解直角三角形、勾股定理等知识可得、，最后利用两点之间线段最短求解即可． 【小问1详解】 ①证明：∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， 如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵菱形，米，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图：取的中点N，连接，则， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴E、F、N、P四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为定值， 如图：作的外接圆，连接，延长交于H，连接， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴当三点共线时，有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 合阳县2026年初中学业水平第二次模拟考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 有理数的倒数是( ) A. 3 B. C. D. 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，木条a、b被木条c所截，已知，若要使，则需使的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中线，点E是边的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 如图，四边形内接于，连接、，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（ ） A. 4 B. C. 7 D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是________． 10. 如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是________． 11. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 12. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 13. 如图，点B、A分别在反比例函数和（k为常数，，）的图象上，连接交y轴于点C，连接、．若轴，，则k的值为________． 14. 如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 17. 化简：． 18. 如图，在中，，．请你用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得的面积与的面积之比为．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 20. 根据以下信息，完成任务： 背景 三秦源于古代陕西统称，历史上为便于管理，根据自然人文因素划分为陕北、关中、陕南三区． 素材 小平和小安计划假期在陕西省内旅游，他们准备了四张大小、形状完全相同的不透明卡片，在四张卡片上分别写上咸阳、渭南、延安、商洛，将卡片背面朝上洗匀后，小平先从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片上所写的城市名称后，将卡片放回洗匀；小安再从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片上所写的城市名称，两人根据抽到的城市名称选择假期要去的城市． 任务 （1）小平假期选择去延安旅游的概率为_______； （2）已知咸阳、渭南属于关中地区，延安属于陕北地区，商洛属于陕南地区，请用画树状图或列表的方法求小平和小安选择的城市均为关中地区的概率． 21. 古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 22. 科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 23. 我国古代数学在盈不足术、线性方程组及解法、垛积术、天元术等多种领域都取得了领先世界的成就，涌现出众多具有崇高地位的数学家和数学论著．某学校为了增强学生对数学课程的兴趣，在全校范围内开设了“走进古典数学著作”的系列课程，在课程结束后为了解学生的学习情况，开展了有关该课程的知识竞赛活动，从八，九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制，且为整数）进行整理、描述、分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息1：八年级所抽取20名学生竞赛成绩是60，64，65，72，72，72，76，78，80，85，86，86，86，86，88，92，97，98，98，99． 信息2： 九年级所抽取20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：81，84，85，86，86，86，87，89． 信息3：八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 八年级 九年级 平均数 82 82 中位数 a 众数 b 86 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级知识竞赛的成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校八、九年级参加此次竞赛的学生人数分别为400名和450名，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生总人数． 24. 如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的直径为10，，求的长． 25. 某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 26. 相似三角形与菱形综合探究 【问题探究】 （1）和的位置如图1所示，，点B、C、D在一条直线上，连接、． ①求证：； ②若，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2，某城市公园计划修建一处菱形观景台，米，，设计师计划在点A处修建休息区，在边的中点E处设立一个景观灯，同时在小路上设置一个智能喷灌装置F（点F是上的动点，点F不与端点重合），连接、，在菱形内找一点P，在点P处修建花坛，连接、、，要使，且休息区A到花坛P的距离最短（即的长最短），请你帮助设计师求出长度的最小值．（小路的宽度以及休息区、景观灯、喷灌装置、花坛的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $