精品解析：2025年陕西省渭南市合阳县中考二模数学试题

试卷类型：A 合阳县2025年初中学业水平第二次模拟考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、交于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点和都在一次函数（为常数）图象上，且当时，，则的值可能是（ ） A B. C. 0 D. 1 7. 如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 10. 《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 11. 如图所示长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，若设小长方形的长为，宽为，则与的关系可表示为______． 12. 已知反比例函数（为常数），当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 13. 如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，点在线段上，连接，若，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式：，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 16. 化简：． 17. 如图，在中，平分交于点．请用尺规作图法在边、上分别确定点、，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，点在边上，连接，且，点在上，连接，．求证：． 19. 从同一副扑克牌中选出五张牌，分别为方块2，方块5，黑桃6，方块6，梅花6．将这五张牌背面朝上，洗匀． （1）乐乐从这五张牌中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的牌面花色是______的可能性最大；（填“方块”“黑桃”或“梅花”） （2）乐乐先从五张牌中随机抽取一张，不放回，记下数字后，将剩下牌背面朝上洗匀，欢欢再从剩下的四张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的牌上的牌面数字相同的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、． （1）在图中画出； （2）写出点的坐标． 21. 中华郡是集精品住宿、特色餐饮、主题文化展示和人文体验、中华文化研究、艺术家论道基地及景观农业于一体的复合型旅游基地．王超一家决定自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段与之间的函数关系式； （2）王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 22. 宝莲灯位于华山新游客中心北，气势恢弘，独领风骚，每当夜幕降临宝莲灯流光溢彩，划破夜空，照亮人们前行的道路，继而成为华山脚下最为壮丽的一道景观．数学兴趣小组的同学们准备测量宝莲灯高度，他们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量宝莲灯的高度 活动方案 方案一 方案二 示意图 说明 如图①，他们利用自制的直角三角形硬纸板来测量宝莲灯的高度，甲同学通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与宝莲灯顶点在同一直线上，已知点在上，、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直． 如图②，乙同学拿着一根木棒CD站在点处，他把手臂向前伸，木棒竖直（），使木棒两端恰好遮住宝莲灯（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直． 测量数据 ，，， ，，点到木棒的距离为 注意事项 在测量过程中注意自身和他人的安全 请你从以上两种方案中任选一种，计算宝莲灯的高度． 你选择的是方案______． 23. 习近平总书记指出：“谁能把握大数据、人工智能等新经济发展机遇，谁就把准了时代脉搏．”作为一项通用技术，人工智能已成为国际竞争的焦点．为检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才，某高校对计算机专业的学生进行人工智能算法应用能力测试，满分为100分，规定测试成绩不低于70分为达标．现随机选取了部分学生的测试成绩（单位：分），整理并制作成了如下不完整的图表： 成绩分 频数 频率 各组总分／分 9 600 36 2700 27 2300 1690 请根据上述信息解答下列问题： （1）表中______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取学生的平均测试成绩； （3）若该校共有1000名学生参加此次测试，请你估计该校此次测试达标的学生人数． 24. 如图，四边形内接于，连接，是的直径，过点作的垂线，交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 25. 跨过成人门，奔赴成才路．某校高中部为高二、高三年级学生举行成人冠笄礼，并为即将到来的高考助威加油，举办了盛大的庆典，如图为此次活动所搭建的成人门，该拱门（粗细忽略不计）呈抛物线状，其底部宽为（点与点关于抛物线的对称轴对称），以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，已知拱门抛物线经过点，且满足关系式（为常数）． （1）求的值及点的坐标； （2）为进一步加固成人门，在抛物线上选取两个加固点、（在左侧），已知点、距地面均为，求、之间的水平距离． 26. 【问题探究】 （1）如图1，为线段上的动点，分别过点、作，（点与点在的两侧），连接、．已知，，，则的最小值为______； （2）如图2，在中，，，点在线段上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3是某公园拟规划的一个三角形的人工湖，．为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个观景台（为内部一点），、为人工湖内的两条木质栈道，点、分别是、边上的垂钓中心，且，现计划在人工湖上沿、修建两座笔直的石桥，根据设计要求，，，，若修建石桥的造价为5000元，为节省资金，要使修建两座石桥的总费用尽可能的低，求修建这两座石桥的最低总费用．（观景台、垂钓中心的大小，栈道和石桥的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 合阳县2025年初中学业水平第二次模拟考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、，属于无理数，符合题意； D、是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何题的三视图，根据俯视图是从上面看得到的图形逐项分析即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、俯视图是长方形，故不符合题意； B、俯视图是有圆心的圆，故不符合题意； C、俯视图是中间有一条线段的长方形，故不符合题意； D、俯视图是三角形，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，直线、交于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角相等的性质，依据垂直的定义以及的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、单项式乘以单项式、合并同类项，根据幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的正方形的性质，等腰三角形的性质，根据正方形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性问题，根据当时，，可得y随x增大而减小，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵点和都在一次函数（为常数）的图象上，且当时，， ∴y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 7. 如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ． 【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点、点的平移、点所在的象限等知识点，求得抛物线的顶点成为解题的关键． 先运用配方法求得该抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求得平移后的顶点坐标，最后确定其所在的象限即可． 详解】解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为，即， ∴得到的新抛物线的顶点位于第二象限． 故选B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将两个数平方，再比较大小即可得解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 10. 《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 11. 如图所示长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，若设小长方形的长为，宽为，则与的关系可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，由图得，即可求解；能根据题意列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 故答案为：． 12. 已知反比例函数（为常数），当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质并结合题意可得，解一元一次不等式即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（为常数），当时，随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，点在线段上，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，连接，过点作，由矩形的性质可得，再由点、分别是、的中点，可得，再求出，再用面积法求出，最后由等腰三角形的判定求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作， 矩形中，，， ， 点、分别是、的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根．根据零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的性质即可求解． 【详解】解： ． 15. 解不等式：，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， 整理得：， 解得：， 数轴表示如下： 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，平分交于点．请用尺规作图法在边、上分别确定点、，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理，作的垂直平分线交于，交于，交于，则四边形即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于，交于，交于，则四边形即为所作． ， 由作图可得，垂直平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 18. 如图，在中，点在边上，连接，且，点在上，连接，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，再得一箭双雕，再证明即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，， ， ． 19. 从同一副扑克牌中选出五张牌，分别为方块2，方块5，黑桃6，方块6，梅花6．将这五张牌背面朝上，洗匀． （1）乐乐从这五张牌中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的牌面花色是______的可能性最大；（填“方块”“黑桃”或“梅花”） （2）乐乐先从五张牌中随机抽取一张，不放回，记下数字后，将剩下的牌背面朝上洗匀，欢欢再从剩下的四张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的牌上的牌面数字相同的概率． 【答案】（1）方块； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了判断事件发生的可能性大小，用列表法或画树状图法求概率掌握相关知识是解题的关键． （1）根据可能性大小求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：牌面花色是方块的最多， ∴乐乐从这五张牌中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的牌面花色是方块的可能性最大 故答案为：方块； 【小问2详解】 解：列表如下： 乐乐 欢欢 2 5 6 6 6 2 5 6 6 6 由表可知，所有等可能的情况数有20种，两人抽到的牌上的牌面数字相同的有6种， 两人抽到的牌上的牌面数字相同的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、． （1）在图中画出； （2）写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标—平移，熟练掌握点坐标平移是解题的关键； （1）先根据平移方式得出对应点的坐标，然后再进行作图即可； （2）根据（1）中的图形可进行求解 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：由（1）中图可知：点的坐标为． 21. 中华郡是集精品住宿、特色餐饮、主题文化展示和人文体验、中华文化研究、艺术家论道基地及景观农业于一体的复合型旅游基地．王超一家决定自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段与之间的函数关系式； （2）王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 【答案】（1） （2）王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设段与之间的函数关系式为（、为常数，且）． 将和分别代入， 得：， 解得： 段与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，得， 解得：． 答：王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米． 22. 宝莲灯位于华山新游客中心北，气势恢弘，独领风骚，每当夜幕降临宝莲灯流光溢彩，划破夜空，照亮人们前行的道路，继而成为华山脚下最为壮丽的一道景观．数学兴趣小组的同学们准备测量宝莲灯高度，他们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量宝莲灯的高度 活动方案 方案一 方案二 示意图 说明 如图①，他们利用自制的直角三角形硬纸板来测量宝莲灯的高度，甲同学通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与宝莲灯顶点在同一直线上，已知点在上，、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直． 如图②，乙同学拿着一根木棒CD站在点处，他把手臂向前伸，木棒竖直（），使木棒两端恰好遮住宝莲灯（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直． 测量数据 ，，， ，，点到木棒的距离为 注意事项 在测量过程中注意自身和他人的安全 请你从以上两种方案中任选一种，计算宝莲灯的高度． 你选择是方案______． 【答案】一或二，宝莲灯的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用已有条件证明对应两个三角形相似，即可解答，熟练运用相似三角形的判定和性质解题是关键． 【详解】解：方案一：由题意得：，，， ， ， ，即， ． ， 宝莲灯的高度为． 方案二： 如图：过点作，垂足为，交于点，则， ， ， ， 由题意得：，，， ， ，， ， ，即， ， 宝莲灯的高度为． 23. 习近平总书记指出：“谁能把握大数据、人工智能等新经济发展机遇，谁就把准了时代脉搏．”作为一项通用技术，人工智能已成为国际竞争的焦点．为检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才，某高校对计算机专业的学生进行人工智能算法应用能力测试，满分为100分，规定测试成绩不低于70分为达标．现随机选取了部分学生的测试成绩（单位：分），整理并制作成了如下不完整的图表： 成绩分 频数 频率 各组总分／分 9 600 36 2700 27 2300 1690 请根据上述信息解答下列问题： （1）表中______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取学生的平均测试成绩； （3）若该校共有1000名学生参加此次测试，请你估计该校此次测试达标的学生人数． 【答案】（1），18，见解析 （2）所抽取学生的平均测试成绩为81分 （3）估计该校此次测试达标学生人数为900名 【解析】 【分析】本题主要考查了频数与频率表，频数分布直方图，求平均数，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用成绩为这一组的频数除以其频率求出参与调查的人数，进而求出m、n的值，再补全统计图即可； （2）先求出所有人的总得分，再除以总人数即可得到答案； （3）用1000乘以样本中测试达标的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴参与调查的学生人数为90人， ∴， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：（分）， 所抽取学生的平均测试成绩为81分． 【小问3详解】 解：（名）， 估计该校此次测试达标的学生人数为900名． 24. 如图，四边形内接于，连接，是的直径，过点作的垂线，交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）利用角平分线的概念，证明，即可得到，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， ， ， ． ， ， ，即， ． 25. 跨过成人门，奔赴成才路．某校高中部为高二、高三年级的学生举行成人冠笄礼，并为即将到来的高考助威加油，举办了盛大的庆典，如图为此次活动所搭建的成人门，该拱门（粗细忽略不计）呈抛物线状，其底部宽为（点与点关于抛物线的对称轴对称），以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，已知拱门抛物线经过点，且满足关系式（为常数）． （1）求的值及点的坐标； （2）为进一步加固成人门，在抛物线上选取两个加固点、（在左侧），已知点、距地面均为，求、之间的水平距离． 【答案】（1）， （2）、之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟知二次函数的性质，熟练计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，再求抛物线的对称轴，即可解答； （2）把代入抛物线，即可求得点的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 则抛物线的对称轴为直线， ， ； 【小问2详解】 解：由题意知，点的纵坐标为3， 令，则， 解得，， ，， ， 、之间的水平距离为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，为线段上的动点，分别过点、作，（点与点在的两侧），连接、．已知，，，则的最小值为______； （2）如图2，在中，，，点在线段上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3是某公园拟规划的一个三角形的人工湖，．为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个观景台（为内部一点），、为人工湖内的两条木质栈道，点、分别是、边上的垂钓中心，且，现计划在人工湖上沿、修建两座笔直的石桥，根据设计要求，，，，若修建石桥的造价为5000元，为节省资金，要使修建两座石桥的总费用尽可能的低，求修建这两座石桥的最低总费用．（观景台、垂钓中心的大小，栈道和石桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）5；（2）；（3）修建这两座石桥的最低总费用为元 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明四边形为矩形，得出，，求出，再由得出的最小值为，最后由勾股定理计算即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）作，且，连接、，作交的延长线于，证明，得出，结合得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：（1）如图，作交的延长线于， ， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为，即， 故答案为：5； （2）∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）如图，作，且，连接、，作交的延长线于， ， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，, ∴，， ∴， ∴，即的最小值为， ∴修建这两座石桥的最低总费用为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$