专题4矩形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 针对矩形性质与判定的14类必考题型，系统归纳易错点与标准化解题技巧，覆盖基础到压轴，适配期末几何专项突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解与应用|题型1-7（35题）|区分矩形与平行四边形性质，折叠问题用勾股定理列方程，坐标系中利用垂直平行求坐标|从概念辨析到角度、线段、面积计算，再到折叠与坐标应用，形成性质应用链| |判定与综合应用|题型8-13（22题）|牢记矩形判定三定理，综合题先证矩形再用性质，面积计算优先邻边相乘|从判定定理理解到证明，结合性质解决角度、线段综合问题，构建判定-性质应用逻辑| |压轴突破|题型14（5题）|识别直角、全等模型，动点问题分类讨论，方程思想拆解复杂题|整合性质与判定，通过折叠、旋转、动点综合考查，培养模型意识与创新思维|

专题4 矩形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共14类必考题型，针对学生混淆平行四边形与矩形性质、折叠漏隐含条件、判定定理乱用等高频易错点，归纳标准化解题技巧，兼顾基础刷题与压轴突破，适配八下期末几何专项复习。 【题型1 矩形性质理解】 【题型8 矩形的判定定理理解】 【题型2 利用矩形的性质求角度】 【题型9 证明四边形是矩形】 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 【题型4 根据矩形的性质求面积】 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 【题型5 利用矩形的性质证明】 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 【题型7 矩形与折叠问题】 【题型14 矩形大题压轴题5道】 【题型1 矩形性质理解】 易错点：混淆矩形与普通平行四边形性质；误以为对角线互相垂直是矩形性质；忽略矩形四个角均为直角。 解题技巧：牢记矩形专属性质：四个角为直角、对角线相等；对边平行、对角线平分是平行四边形共有性质，不可混淆；做题先判定图形是否为矩形，再套用专属性质。 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据相关性质定理逐一判断选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意. 3．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 【答案】邻边相等（或对角线垂直） 【分析】先根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系得A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形，再根据正方形和矩形的性质即可解答． 【详解】解：由图可知，A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形， 正方形具有而矩形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）， 即A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）． 故答案为：邻边相等（或对角线垂直）． 4．矩形是中心对称图形，对称中心是两条____________的交点；矩形又是轴对称图形，有____________条对称轴，对称轴为过对边____________的直线 【答案】 对角线 2 中点 【详解】根据中心对称图形的定义，矩形的对称中心是两条对角线的交点； 根据轴对称图形的定义，矩形有2条对称轴，对称轴为过对边中点的直线． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 易错点：不会利用直角、对角线相等推等腰三角形；角度推导逻辑混乱、漏角、错角。 解题技巧：矩形所有内角为90°，对角线相等且平分，可构造等腰三角形；结合三角形内角和、互余关系推导角度，优先标注已知直角，简化计算。 5．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，利用矩形对边平行得到内错角相等求出，最后利用平角的定义计算的度数； 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， 点、、在同一直线上， ． 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 易错点：不会利用对角线相等转化线段；忽略矩形对边相等，盲目用勾股定理。 解题技巧：灵活运用“对角线相等且互相平分”，对角线一半长度相等；直角三角形中优先用勾股定理，结合矩形边长等量关系快速求解线段。 9．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】连接，由矩形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 10．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，即可判定为等边三角形，则，求出对角线，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 11．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为_____________________． 【答案】4或6或8 【分析】设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， ． ， 解得， 即此时． ②如图②，当，且时，过点作于点， ∵矩形中， ∴， 在 和 中， ∴， ， ， 解得， 此时． ③如图③，当，且时，过点作于点， ∵矩形中， ∴， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得， 此时． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 易错点：误用菱形面积公式；忘记矩形面积=长×宽；对角线求面积思路混乱。 解题技巧：矩形面积固定公式：邻边相乘；已知对角线和部分线段，可结合直角三角形求边长，再算面积，不适用对角线乘积一半公式。 13．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 14．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 15．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 【答案】 6 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，． ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 16．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______ ．    【答案】 【分析】结合矩形性质得，再根据含的直角三角形特征可得，再结合勾股定理求出即可求出矩形的面积． 【详解】解：矩形中，，，， ， ， ， ． 【题型5 利用矩形的性质证明】 易错点：证明过程跳步、逻辑不严谨；乱用矩形性质，未先证图形为矩形。 解题技巧：证明前明确图形为矩形，再用直角、对角线相等、对边平行相等性质；书写步骤规范，每一步结论对应对应性质定理，杜绝跳步。 17．如图，在正方形中，是边上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，交，于点，，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形，， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 正确的为①③， 18．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（   ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】过点作于点，延长，交于点，连接，可证，得，再证明四边形是矩形，得，即得，即可判定①；证明，可得 ，进而由 ，，得 ，即可判定②；由是正方形的对角线上一点，可知不一定是等腰三角形，即可判定③；由 得 ，进而得到 ，即可判定④；由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，连接， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，故②正确； ∵是正方形的对角线上一点， ∴不一定是等腰三角形，故③错误； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，但无法证明，故④错误； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②． 19．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 20．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 易错点：坐标正负判断错误；不会利用矩形邻边垂直、对边平行性质求点坐标。 解题技巧：坐标系中矩形邻边平行于坐标轴，横纵坐标可直接平移求解；利用垂直、平行关系，结合边长数值，精准推导未知点坐标。 21．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 24．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【题型7 矩形与折叠问题】 易错点：忽略折叠前后边长、角度相等；找不到全等关系；未构造直角三角形列方程。 解题技巧：折叠核心：对应边相等、对应角相等；常设未知数，利用勾股定理列方程求解边长；重点找隐藏直角和相等线段。 25．如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 26．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 27．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】首先根据折叠的性质得出，，然后在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理建立关于的方程求解即可； 【详解】四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质可知：， ，， 在中，， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得：， ． 28．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【答案】或 【分析】由矩形的长为、宽为，沿折叠使落在上的处，可证四边形为正方形，从而得，． 由及折叠性质可推出，从而得到核心结论． 为等腰直角三角形，其两条直角边、的中点分别记为、． 分两种情况讨论：当射线经过的中点时，与重合，在中利用勾股定理求，再由得解；当射线经过的中点时，连接，利用证明，得，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ，． 由沿折叠，点落在上的点处， ，，． ， 四边形是正方形， ，， ，． ， ， 由沿折叠知， ， ． 当射线经过的中点时， 与重合， ， ， ． 由折叠知，， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 当射线经过的中点时， 连接， ，， ， 由折叠知， ． ，在上， ， 又，且在射线上， ， 在和中： ， （）， ． 设， 由图形位置关系知点在线段上， ， 又，， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得． 综上所述，的长为或． 【题型8 矩形的判定定理理解】 易错点：判定定理混淆；误将“对角线相等的四边形是矩形”当作真命题。 解题技巧：牢记核心判定：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，注意前提条件。 29．下列说法正确的是（     ） A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的任意四边形不一定是矩形，故该选项错误， B．有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，缺少平行四边形的前提条件，故该选项错误， C．对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，缺少对角线互相平分的条件，故该选项错误 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，故该选项正确，符合题意． 30．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据四个点的坐标特征，判断各边的位置关系与长度，再根据特殊四边形的判定确定形状． 【详解】∵ ，，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ，， 横坐标相同， 轴， ， ∵ ，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ， 横坐标相同， 轴， ； 可得且，且 ， 四边形是平行四边形； 又轴，轴， ， 四边形是长方形； ∵邻边，，长度不相等， 因此不是正方形． 31．为了检查一个书架的四个角是否都是直角（该书架两条侧边、上下底边的长度分别相等），小明的检查过程如下：如图，小明先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．请用一个你学过的几何定理解释小明检查过程的依据：________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】先根据已知边的等量关系确定书架为平行四边形，再结合对角线的条件判断是否为矩形，即可得到四个角是否为直角． 【详解】解：∵该书架的两条侧边，上下底边的长度分别相等，即两组对边分别相等， ∴该书架是平行四边形，若该平行四边形的两条对角线长度相等，则该平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角， 因此可以通过检验两条对角线长度是否一致，判断四个角是否都是直角． 32．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【题型9 证明四边形是矩形】 易错点：缺少判定前提，直接用对角线相等证矩形；证明思路混乱、条件不足。 解题技巧：优先两种思路：先证平行四边形，再证一个直角/对角线相等；直接证三个内角为直角；补齐全部判定条件，严谨书写证明过程。 33．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列说法： ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是正方形； ③连接，若，，，则的最小值为； ④若是的平分线，则四边形是菱形．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定可判断结论①；根据矩形的判定可判断结论②；由题意易知当时，最小，先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可判断结论③；根据是的平分线，然后结合菱形的判定可判断结论④． 【详解】解：结论①，，， 四边形是平行四边形，故结论①符合题意； 结论②，若，则四边形是矩形，不能得出它是正方形，故结论②不符合题意； 结论③，，，， ． ， 四边形是矩形， ． 根据垂线段最短可知，如图，当时最短． ，即， 的最小值为，故结论③符合题意； 结论④，平分， ． ， ． ． ， 平行四边形是菱形，故结论④符合题意； 综上可知，符合题意的结论有①③④， 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形和菱形的判定，勾股定理，角平分线的性质等知识．根据题目条件选择恰当的判定方法是解题的关键． 34．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 【答案】① 【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确． ②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误． ③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误． ④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误． 35．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】根据题意证明，得到，结合题意得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求证． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形． 36．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 易错点：添加条件多余或不足；混淆矩形、菱形判定条件。 解题技巧：已知普通四边形：添三个直角；已知平行四边形：添一个直角或对角线相等；条件最简、精准适配判定定理，不重复、不缺失。 37．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 38．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 39．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 40．如图，点在的边上，，请从以下三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项添加到已知条件中，使得为矩形，并证明． 【答案】添加条件①或②，证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，添加条件①或②可证明推出，据此可证明为矩形． 【详解】解：添加条件①，为矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为矩形； 添加条件②，为矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为矩形． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 易错点：先计算后判定，逻辑颠倒；无法结合判定与性质综合解题。 解题技巧：先判定图形为矩形，再利用矩形直角、对角线性质推导角度；结合等腰三角形、直角三角形性质综合求解。 41．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 42．如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为______． 【答案】或 【分析】连接，取的中点，连接，证明是等边三角形，得到，，然后得到，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 43．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 44．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 易错点：判定不严谨直接套用矩形性质；线段转化出错。 解题技巧：先证矩形，再利用对边相等、对角线相等平分转化线段；结合勾股定理、线段和差关系快速计算。 45．如图，点P在四边形纸片的边上，将沿折叠，点A落在点处．已知，，点到的距离为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作于点E，于点F，得到四边形是矩形，设．根据勾股定理求解即可； 【详解】解： 如图，过点分别作于点E，于点F， 则四边形是矩形， ∴． ∵点到的距离为1， ∴， ∴． 又∵， ∴． 由折叠的性质可知，． 故， ∴． 设； 根据勾股定理，得，即， 解得． 46．如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 【答案】 / 【分析】设正方形的边长为，则，将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质可得，，，，过点作于，过点作于，过点作于，求出和的长度，利用建立方程求解即可. 【详解】解：设正方形的边长，则， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ，，，， 过点作于，过点作于，过点作于， 四边形为矩形 ，， 在中，，， ，， ∴ ， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 点在上，四边形是正方形， ， ， ，解得； ∴. 47．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或 (4)的值为5或或 【分析】（1）如图所示，过点作于点G，则，得到四边形是矩形，可得，在中由勾股定理即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，，，；当时，，；由此列式求解即可； （4）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形；四边形是菱形时；四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得，； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得，； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得，； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，，此时点B，Q重合； 综上所示，的值为或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， ∴，， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 48．根据题目条件，回答下列各题 (1)[问题呈现] 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程； (2)[类比应用] 如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长； (3)[拓展延伸] 如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）设与交于点，利用矩形和垂直平分线的性质证明，进而证明四边形是平行四边形，利用垂直平分线的性质证明四边形是菱形； （2）连接、，同（1）证得四边形是菱形，由翻折的性质得到：垂直平分，在中，利用勾股定理列出方程，求出长，进而求出，据此求解即可； （3）根据矩形的性质证明四边形是矩形，分情况讨论：当点在矩形的内部或外部时，在中，利用勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， 四边形是矩形， ， ， 垂直平分， 、， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接、， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 由翻折的性质得到：垂直平分， 同（1）证得：四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 、， ， ， 解得：， 四边形的周长为：； （3）解：四边形是矩形， 、、， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 、， 四边形是矩形， 、， 分两种情况： 如图，当点在矩形的内部时： 由折叠的性质得：、， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在矩形的外部时， 由折叠的性质得：、， 同①得：， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的长为10； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定与性质勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 易错点：未判定图形，误用矩形面积公式；边长求解错误导致面积出错。 解题技巧：先判定四边形为矩形，再求出一组邻边长，邻边相乘得面积；复杂题型先求线段，再代入公式计算。 49．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，则，由等积变形可得，从而得到，由可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴只需要知道四边形的面积即可求出阴影部分的面积． 50．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 51．如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形； （2）由得，利用勾股定理解得，利用完全平方公式计算出，进而得出的值即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形是平行四边形，                     ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：， ， ， ，                     ， ， ∵四边形是矩形， ， ∴在中，根据勾股定理得，， ，                         ， ， ． 52．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)不变，它的值为 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）过点作，交轴于，可证，再由等腰直角三角形的性质解答即可求解； （）过点作，交的延长线于点，可证，得到，即得，再由矩形的性质得，即得，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，交轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的值不变，它的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型14 矩形大题压轴题5道】 易错点：几何模型识别困难；动点、折叠综合题漏情况；方程建模失误。 解题技巧：压轴题优先找直角、全等、相似模型；动点问题分类讨论，不漏解；结合勾股定理、方程思想解题，分步拆解难题。 53．综合与实践折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．要求：将纸片折叠，折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙，无重叠的矩形． (1)操作发现：如图1，将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，若平行四边形的面积为32，，则此矩形的边______，面积=_____； (2)类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成矩形，若的面积为36，，求此矩形的周长； (3)拓展延伸：如图3，将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，若，，则此矩形的面积比平行四边形的面积少多少？ 【答案】(1)4，16 (2)矩形的周长为18 (3)矩形的面积比平行四边形的面积少192 【分析】（1）由折叠的性质可知，，易得；利用平行四边形的面积公式解得，即可求得矩形的面积； （2）由折叠可知，易得，过点作于点，交于点，利用面积法解得，并结合折叠的性质可得，然后证明四边形为矩形，易得，即可获得答案； （3）连接，结合折叠的性质证明四边形是平行四边形，进一步由矩形的性质可得；设，则，在中，由勾股定理解得，易得，进而可得矩形的面积，然后由矩形的的面积是平行四边形的面积的一半，即可获得答案． 【详解】（1）∵将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，平行四边形的面积为32，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴ ∴矩形的面积 故答案为：4，16； （2）∵将纸片按所示折叠成矩形，的面积为36，， ∴，，， ∴， 如图，过点A作于点M，交于点N， ∵，解得：， 由折叠可知，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴矩形EFGH的周长=． （3）如图，连接， ∵将平行四边形纸片按所示折叠成矩形， ∴点E和G分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的面积=12×16=192， ∵矩形的面积是平行四边形的面积的一半， ∴平行四边形的面积为384， ∴矩形的面积比平行四边形的面积少192． 54．如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)9 (3)t的值为或7 (4)t的值为或7或8 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）平行四边形的对边相等，则，据此建立方程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据三角形的面积公式建立关于t的方程求解即可； （4）分三种情况进行讨论：当点P在边上，点落在边上时，当点P在边上，落在边上时，当点P在边上，点落在边上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，当的面积为6时，t的值为或7； （4）解：①如图，当点P在边上，点落在边上时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得； ②如图，当点P在边上，落在边上时， 同理可得， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， 即， 解得； ③如图，当点落在边上时， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上，t的值为或或8． 55．【问题情境】 某数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决思路： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．则线段的最小值 ． 【思维运用】 (2)如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过点作，，垂足分别为点，，求线段的最小值； (3)如图3，在中，，，为边上一动点，为平面内一点，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由勾股定理求长，再用等积法求即可； （2）连接，先证四边形是矩形，可得，由垂线段最短可知当时，最短，同（1）求，即可得线段的最小值； （3）分三种情况讨论，情况①、②，为对边，则为固定值；情况③，为对角线，设中点为，则，由垂线段最短可知，当时，最短，连接，由三线合一及勾股定理求，用等积法求，即可得，比较三种情况下的长度即可得出最小值． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， 解得； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值等于的最小值， 当时，最短， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为； （3）解：以、、、为顶点的平行四边形有三种情况： ①如图，点在点左侧，为四边形的对边时，为固定值； ②    如图，点在点右侧，为四边形的对边时，为固定值； ③如图，当为平行四边形的对角线时，与互相平分，设中点为，则也是中点， ∴， 此时的长度由决定，根据垂线段最短，当时，最短， 连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的最小值为． 56．已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 57．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为___________； (2)变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 (3)已知正数满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 矩形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共14类必考题型，针对学生混淆平行四边形与矩形性质、折叠漏隐含条件、判定定理乱用等高频易错点，归纳标准化解题技巧，兼顾基础刷题与压轴突破，适配八下期末几何专项复习。 【题型1 矩形性质理解】 【题型8 矩形的判定定理理解】 【题型2 利用矩形的性质求角度】 【题型9 证明四边形是矩形】 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 【题型4 根据矩形的性质求面积】 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 【题型5 利用矩形的性质证明】 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 【题型7 矩形与折叠问题】 【题型14 矩形大题压轴题5道】 【题型1 矩形性质理解】 易错点：混淆矩形与普通平行四边形性质；误以为对角线互相垂直是矩形性质；忽略矩形四个角均为直角。 解题技巧：牢记矩形专属性质：四个角为直角、对角线相等；对边平行、对角线平分是平行四边形共有性质，不可混淆；做题先判定图形是否为矩形，再套用专属性质。 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 3．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 4．矩形是中心对称图形，对称中心是两条____________的交点；矩形又是轴对称图形，有____________条对称轴，对称轴为过对边____________的直线 【题型2 利用矩形的性质求角度】 易错点：不会利用直角、对角线相等推等腰三角形；角度推导逻辑混乱、漏角、错角。 解题技巧：矩形所有内角为90°，对角线相等且平分，可构造等腰三角形；结合三角形内角和、互余关系推导角度，优先标注已知直角，简化计算。 5．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 易错点：不会利用对角线相等转化线段；忽略矩形对边相等，盲目用勾股定理。 解题技巧：灵活运用“对角线相等且互相平分”，对角线一半长度相等；直角三角形中优先用勾股定理，结合矩形边长等量关系快速求解线段。 9．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 10．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 11．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 12．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为_____________________． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 易错点：误用菱形面积公式；忘记矩形面积=长×宽；对角线求面积思路混乱。 解题技巧：矩形面积固定公式：邻边相乘；已知对角线和部分线段，可结合直角三角形求边长，再算面积，不适用对角线乘积一半公式。 13．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 14．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 15．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 16．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______ ．    【题型5 利用矩形的性质证明】 易错点：证明过程跳步、逻辑不严谨；乱用矩形性质，未先证图形为矩形。 解题技巧：证明前明确图形为矩形，再用直角、对角线相等、对边平行相等性质；书写步骤规范，每一步结论对应对应性质定理，杜绝跳步。 17．如图，在正方形中，是边上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，交，于点，，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①④ 18．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（   ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 19．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 20．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 易错点：坐标正负判断错误；不会利用矩形邻边垂直、对边平行性质求点坐标。 解题技巧：坐标系中矩形邻边平行于坐标轴，横纵坐标可直接平移求解；利用垂直、平行关系，结合边长数值，精准推导未知点坐标。 21．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 24．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【题型7 矩形与折叠问题】 易错点：忽略折叠前后边长、角度相等；找不到全等关系；未构造直角三角形列方程。 解题技巧：折叠核心：对应边相等、对应角相等；常设未知数，利用勾股定理列方程求解边长；重点找隐藏直角和相等线段。 25．如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 26．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 27．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是________． 28．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【题型8 矩形的判定定理理解】 易错点：判定定理混淆；误将“对角线相等的四边形是矩形”当作真命题。 解题技巧：牢记核心判定：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，注意前提条件。 29．下列说法正确的是（     ） A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 30．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 31．为了检查一个书架的四个角是否都是直角（该书架两条侧边、上下底边的长度分别相等），小明的检查过程如下：如图，小明先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．请用一个你学过的几何定理解释小明检查过程的依据：________． 32．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【题型9 证明四边形是矩形】 易错点：缺少判定前提，直接用对角线相等证矩形；证明思路混乱、条件不足。 解题技巧：优先两种思路：先证平行四边形，再证一个直角/对角线相等；直接证三个内角为直角；补齐全部判定条件，严谨书写证明过程。 33．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列说法： ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是正方形； ③连接，若，，，则的最小值为； ④若是的平分线，则四边形是菱形．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 35．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 36．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 易错点：添加条件多余或不足；混淆矩形、菱形判定条件。 解题技巧：已知普通四边形：添三个直角；已知平行四边形：添一个直角或对角线相等；条件最简、精准适配判定定理，不重复、不缺失。 37．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 38．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 39．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 40．如图，点在的边上，，请从以下三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项添加到已知条件中，使得为矩形，并证明． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 易错点：先计算后判定，逻辑颠倒；无法结合判定与性质综合解题。 解题技巧：先判定图形为矩形，再利用矩形直角、对角线性质推导角度；结合等腰三角形、直角三角形性质综合求解。 41．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为______． 43．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 44．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 易错点：判定不严谨直接套用矩形性质；线段转化出错。 解题技巧：先证矩形，再利用对边相等、对角线相等平分转化线段；结合勾股定理、线段和差关系快速计算。 45．如图，点P在四边形纸片的边上，将沿折叠，点A落在点处．已知，，点到的距离为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 46．如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 47．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 48．根据题目条件，回答下列各题 (1)[问题呈现] 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程； (2)[类比应用] 如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长； (3)[拓展延伸] 如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 易错点：未判定图形，误用矩形面积公式；边长求解错误导致面积出错。 解题技巧：先判定四边形为矩形，再求出一组邻边长，邻边相乘得面积；复杂题型先求线段，再代入公式计算。 49．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 50．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 51．如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 52．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【题型14 矩形大题压轴题5道】 易错点：几何模型识别困难；动点、折叠综合题漏情况；方程建模失误。 解题技巧：压轴题优先找直角、全等、相似模型；动点问题分类讨论，不漏解；结合勾股定理、方程思想解题，分步拆解难题。 53．综合与实践折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．要求：将纸片折叠，折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙，无重叠的矩形． (1)操作发现：如图1，将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，若平行四边形的面积为32，，则此矩形的边______，面积=_____； (2)类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成矩形，若的面积为36，，求此矩形的周长； (3)拓展延伸：如图3，将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，若，，则此矩形的面积比平行四边形的面积少多少？ 54．如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 55．【问题情境】 某数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决思路： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．则线段的最小值 ． 【思维运用】 (2)如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过点作，，垂足分别为点，，求线段的最小值； (3)如图3，在中，，，为边上一动点，为平面内一点，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 56．已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 57．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为___________； (2)变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 (3)已知正数满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $