专题5菱形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦菱形10类核心题型，以易错点为导向提炼专属解题模型，构建从性质应用到判定综合再到压轴突破的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形专项|10类核心题型，41道题|针对角度、线段、面积等题型总结“对角线垂直平分”“四边相等”等核心技巧，压轴题拆解为小问题分步突破|以菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）为基础，延伸至判定定理应用，形成“性质应用-判定证明-综合计算-压轴突破”的逻辑链条|

【温馨提示】本专题共10类核心题型，涵盖菱形性质、判定、角度、线段、面积计算、几何证明及压轴大题。聚焦菱形四边相等、对角线垂直平分的核心考点，总结专属解题模型，适配基础巩固和期末压轴专项提升。 专题5 菱形易错必刷题型专项训练 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【题型4 利用菱形的性质证明】 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【题型5 证明四边形是菱形】 【题型10 菱形大题压轴题5道】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 易错点：忘记菱形对角线平分内角；邻角互补性质运用不熟练；角度推导出错。 解题技巧：牢记菱形核心：四边相等、邻角互补、对角线平分一组对角；结合等腰三角形性质，快速推导内角、对角线分割角度。 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 4．如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 易错点：忽略菱形四边相等；对角线互相垂直不会用勾股定理求边长。 解题技巧：菱形四条边长完全相等；对角线互相垂直平分，将菱形分为四个全等直角三角形，用勾股定理快速求边长、对角线长。 5．菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 6．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 8．如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 易错点：混淆矩形、菱形面积公式；忘记菱形面积两种算法。 解题技巧：菱形面积双公式：底×高、对角线乘积的一半；无高优先用对角线公式，已知边长和高用底高公式，灵活选用。 9．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 10．图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，则菱形的面积是（   ） A．4 B． C．2 D． 11．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 12．如图，菱形的周长为，，则它的面积是______． 【题型4 利用菱形的性质证明】 易错点：性质混用、步骤跳步；未结合菱形四边相等、对角线垂直的专属性质。 解题技巧：证明线段相等优先用四边相等；证明垂直优先用对角线垂直；步骤规范，每一个结论对应一条菱形性质定理。 13．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 15．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 16．如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【题型5 证明四边形是菱形】 易错点：判定定理记错；缺少平行四边形前提，直接用对角线垂直证菱形。 解题技巧：三种判定方法：四边相等的四边形；一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；严格补齐前提条件再证明。 17．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 19．如图，已知是的对角线，将沿某条直线翻折，使点与点重合，该折痕与边相交于点，与边相交于点． (1)作出折痕； (2)若的面积，求四边形的面积； (3)连结、，求证：四边形是菱形． 20．矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 易错点：条件添加错误、不匹配图形现状；混淆菱形和矩形判定条件。 解题技巧：普通四边形：添四边相等；平行四边形：添一组邻边相等或对角线垂直；条件简洁精准，贴合判定定理，不冗余。 21．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 22．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 24．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 易错点：判定与性质脱节，先计算后判定；综合题型角度关系梳理不清。 解题技巧：先判定图形为菱形，再利用对角线平分角、邻角互补性质，结合三角形内角和、外角性质综合求解角度。 25．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 26．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 27．综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作，的平行线交于点E． 初步探究： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 猜想证明： (2)“善思”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题：请您解答：如图2，当点恰好与点D重合时，与交于点H，求证：． 实践探究： (3)在（2）的条件下，，求梯形的面积． 28．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 易错点：未判定菱形直接套用四边相等性质；对角线线段换算失误。 解题技巧：先证菱形，再用四边相等、对角线垂直平分特征，结合勾股定理、线段和差关系，精准求解各类线段长度。 29．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，若，则四边形的周长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 30．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 31．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，在中，P是对角线上一点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，在菱形中，是对角线上一点，是菱形外一点，连接交于点G，延长交于点，连接． ①求证：； ②连接，若，求五边形的面积． 32．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 易错点：图形判定错误导致公式套用错误；对角线长度计算失误。 解题技巧：先判定菱形，求出两条对角线长度，代入“对角线乘积一半”公式；有边长和高直接底乘高，灵活换算。 33．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 34．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 35．在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 36．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【题型10 菱形大题压轴题5道】 易错点：综合模型不会拆解；动点、存在性问题漏分类；计算失误。 解题技巧：压轴题拆解为判定、边长、角度、面积小问题；动点问题分类讨论，结合勾股、方程思想，利用菱形特殊性质简化运算。 37．如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 38．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．      初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______． 深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展应用：（3）如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离． 39．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 40．如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 41．已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 菱形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共10类核心题型，涵盖菱形性质、判定、角度、线段、面积计算、几何证明及压轴大题。聚焦菱形四边相等、对角线垂直平分的核心考点，总结专属解题模型，适配基础巩固和期末压轴专项提升。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【题型4 利用菱形的性质证明】 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【题型5 证明四边形是菱形】 【题型10 菱形大题压轴题5道】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 易错点：忘记菱形对角线平分内角；邻角互补性质运用不熟练；角度推导出错。 解题技巧：牢记菱形核心：四边相等、邻角互补、对角线平分一组对角；结合等腰三角形性质，快速推导内角、对角线分割角度。 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴． 3．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得出的度数和，结合点E在边上得出为等腰三角形，进而求出的度数，再利用菱形邻角互补求出，最后计算的度数． 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 易错点：忽略菱形四边相等；对角线互相垂直不会用勾股定理求边长。 解题技巧：菱形四条边长完全相等；对角线互相垂直平分，将菱形分为四个全等直角三角形，用勾股定理快速求边长、对角线长。 5．菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形，再用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为． 6．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解. 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 又， ， ∴. 7．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 8．如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，利用菱形的性质可得且，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，点是它的对称中心， ，， ，， 在中，． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 易错点：混淆矩形、菱形面积公式；忘记菱形面积两种算法。 解题技巧：菱形面积双公式：底×高、对角线乘积的一半；无高优先用对角线公式，已知边长和高用底高公式，灵活选用。 9．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，进而可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 10．图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，则菱形的面积是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出对角线的长，再用菱形面积公式求解． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， ∴， ， ． 11．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入两条对角线的长度计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线和的长分别为和， ． 12．如图，菱形的周长为，，则它的面积是______． 【答案】 【分析】连接，交于点O，根据菱形性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4 利用菱形的性质证明】 易错点：性质混用、步骤跳步；未结合菱形四边相等、对角线垂直的专属性质。 解题技巧：证明线段相等优先用四边相等；证明垂直优先用对角线垂直；步骤规范，每一个结论对应一条菱形性质定理。 13．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，故B正确； ∵菱形的边长与对角线长度无必然相等关系 ∴不一定等于，故A错误； ∵四边形是菱形 ∴ ∴，而不一定等于，故C错误； ∵菱形的对角线不一定相等（仅正方形时相等） ∴不一定等于，故D错误 ． 14．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【分析】先证明是等边三角形，利用可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和得到，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 15．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 16．如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得到，在和中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 【题型5 证明四边形是菱形】 易错点：判定定理记错；缺少平行四边形前提，直接用对角线垂直证菱形。 解题技巧：三种判定方法：四边相等的四边形；一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；严格补齐前提条件再证明。 17．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 18．如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，再利用证明，得四边形为平行四边形，然后根据垂直平分线的性质得，即可得出为菱形． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形． 19．如图，已知是的对角线，将沿某条直线翻折，使点与点重合，该折痕与边相交于点，与边相交于点． (1)作出折痕； (2)若的面积，求四边形的面积； (3)连结、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线，分别与边相交于点，与边相交于点． （2）根据平行四边形的性质即可求解． （3）根据翻折的性质和平行四边形的性质，可证明，得，可得到与互相垂直平分，即可证明出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：设的中点为， ∵垂直平分 ∴经过 又∵是中心对称图形， ∴平分的面积， ∵， ∴； （3）证明：如图，设交于点 ∵折叠 ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，结合，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形 20．矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据菱形的判定方法可得结论； （2）先求出菱形的两条对角线的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：小颖同学的作法： ∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； 小亮同学的作法： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 易错点：条件添加错误、不匹配图形现状；混淆菱形和矩形判定条件。 解题技巧：普通四边形：添四边相等；平行四边形：添一组邻边相等或对角线垂直；条件简洁精准，贴合判定定理，不冗余。 21．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 22．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，对各个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】∵四边形是平行四边形. 对于选项A. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意. 对于选项B. 无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意. 对于选项C. ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形，C符合题意. 对于选项D. ∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意. 综上，答案选C. 23．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 24．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 易错点：判定与性质脱节，先计算后判定；综合题型角度关系梳理不清。 解题技巧：先判定图形为菱形，再利用对角线平分角、邻角互补性质，结合三角形内角和、外角性质综合求解角度。 25．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图，得到，得到四边形为菱形，再根据菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形，， ∴， ∴. 26．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 27．综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作，的平行线交于点E． 初步探究： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 猜想证明： (2)“善思”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题：请您解答：如图2，当点恰好与点D重合时，与交于点H，求证：． 实践探究： (3)在（2）的条件下，，求梯形的面积． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用两组对边平行证明四边形为平行四边形，再结合直角三角形斜边中线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形； （2）利用旋转前后图形全等、菱形的边与角的性质，结合角度关系证明为等腰三角形，四边形是平行四边形，从而得到； （3）结合已知角度、菱形性质和（2）的结论，求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ，点D是的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）证明：由旋转的性质可知：，，， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ，， ，， ， 设，， 解得，（舍去） ， ． 【点睛】本题是菱形、旋转、直角三角形性质的综合题，解题的核心是利用菱形的判定与性质、旋转的全等性、直角三角形斜边中线定理等基础知识点，通过 “判定图形形状 — 推导边角关系 — 计算线段长度 — 求解面积” 的逻辑链条逐步推进；题目体现了转化与数形结合的数学思想，解题时需熟练掌握各图形的核心性质，通过角度、线段的等量代换建立联系． 28．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 易错点：未判定菱形直接套用四边相等性质；对角线线段换算失误。 解题技巧：先证菱形，再用四边相等、对角线垂直平分特征，结合勾股定理、线段和差关系，精准求解各类线段长度。 29．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，若，则四边形的周长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】证明四边形是菱形，根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形的周长为． 30．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，再证明平行四边形是菱形；进一步根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 31．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，在中，P是对角线上一点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，在菱形中，是对角线上一点，是菱形外一点，连接交于点G，延长交于点，连接． ①求证：； ②连接，若，求五边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分得，结合得，即对角线互相垂直，从而证得菱形； （2）①在上截取，连接，通过证明三角形全等，利用等量代换证得； ②过点作于点，过点作于点，先证得面积相等，再分别求出相关线段长和三角形面积，最后利用面积割补法求五边形面积． 【详解】（1）证明：如下图，连接交于点． 四边形是平行四边形， ． ， ，即． 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． （2）①证明：如图，在上截取，连接． 四边形是菱形， ，． 在和中，， ， ，． ，， ． ， ，即． ， ． 在和中，， ， ，． ， ， ， ， ， ． ②解：过点作于点，过点作于点． 四边形是菱形，，，平分， ，． 在中，， ，． ， 在中，， ． ， 在中，，，， ，， ． 在菱形中， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 32．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）根据完美四边形的定义和四种多边形的性质即可判断； （2）连接，先证是等边三角形，得，再证，得，，然后得到，从而得证； （3）①延长至点E，使，连接，证明，得，，继而知，从而得，即可得证； ②由①得，，可得，，，求出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，故不是完美四边形； ②菱形的对角不一定互补，故不是完美四边形； ③矩形邻边不一定相等，故不是完美四边形； ④正方形任意一组邻边相等且对角互补，故是完美四边形； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴ ∵在菱形中，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是完美四边形． （3）①证明：延长至点E，使，连接， ∵四边形为完美四边形 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； ②由①得， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 易错点：图形判定错误导致公式套用错误；对角线长度计算失误。 解题技巧：先判定菱形，求出两条对角线长度，代入“对角线乘积一半”公式；有边长和高直接底乘高，灵活换算。 33．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 34．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，得，再根据勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 35．在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质、角平分线的定义及三角形外角性质可证，得到，即可求证； （）由可证是等边三角形，得到，即得平行四边形是菱形，即得到，，再证明是等边三角形，得到，即得到，得，又根据菱形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴与面积相等的三角形有． 36．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 【题型10 菱形大题压轴题5道】 易错点：综合模型不会拆解；动点、存在性问题漏分类；计算失误。 解题技巧：压轴题拆解为判定、边长、角度、面积小问题；动点问题分类讨论，结合勾股、方程思想，利用菱形特殊性质简化运算。 37．如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，结合，判定四边形是菱形，再根据判定是等边三角形，即可求解； （2）设，交于点M，根据菱形的性质，勾股定理，菱形的面积表示，求解即可； （3）将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到，当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：连接；设，交于点M， 根据（1）的解答可知，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴； （3）解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， ∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的和最小，且最小值为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（负的舍去）， ∴， ∴； 38．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．      初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______． 深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展应用：（3）如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题考查菱形，全等三角形的，等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）连接，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据菱形的性质，求出，；根据等边三角形三线合一，，求；再根据，求出，则，再根据等边三角形的判定，即可． （2）连接，根据菱形的性质，得，根据等边三角形的判定，则 ，都是等边三角形，求出，，根据全等三角形的判定，则，推出，再根据等边三角形的判定和性质，即可； （3）过点作于点，过点作于点，连接，当时， ，根据勾股定理，求出，；根据等腰直角三角形的性质，求出，根据全等三角形的判定和性质，则，得，根据，，即可． 【详解】（1）， 证明如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形，同理，是等边三角形， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴．    （2）成立． 理由：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴．， ∵， ∴，都是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴．    （3）如图，过点作于点，过点作于点，连接． ∵时， ∴， ∴ 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为．    39．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论； （2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：①如图2，连接 ∵在平行四边形中，， ， ， ， 又， ∴是等腰直角三角形，即：， 由（1）可得：， ， 又∵是的中点， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，即：； ②如图3，延长相较于H，连接． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为平行四边形 由（1）可得：AD=DF，CE=CF ∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形． ∵， ∴,, ∴是等边三角形，即， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合运用相关知识成为解题的关键． 40．如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，证出四边形是菱形，则可得出结论； （2）设，求出，，当落在的右侧时，，求出，则可得出答案； （3）设，，，得出，求出，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得， 与垂直且互相平分， 四边形是菱形， ； （2）解：设， 四边形是菱形， ， ，， 当落在的右侧时，， ， ， ； （3）解：不存在． 若存在使得与的角平分线重合， 设，，， ， ， ， 不存在使得与的角平分线重合． 41．已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $