24.2 数据的离散程度 第1课时课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度”，核心讲解方差的定义、计算公式及统计意义。课堂从立定跳远成绩波动实例切入，结合甜玉米产量稳定性问题，引导学生从直观感知数据波动过渡到抽象推导方差公式，搭建“生活实例—数学问题—公式建模”的学习支架。 其特色在于以“问题情境—探究建模—应用拓展”为主线，通过甜玉米产量分析、射击成绩稳定性判断等实例，培养学生的数据观念和推理能力。采用“从特殊到一般”的数学思想，帮助学生理解方差公式的必要性，既让学生学会用数学语言表达现实问题，也为教师提供了直观高效的教学资源。

第1课时 第二十四章 数据的分析  数学人教版八年级下册 01 02 03 04 理解方差的定义与计算公式，掌握方差的计算方法，能利用方差比较两组数据的离散程度. 理解方差的统计意义，明确方差大小与数据离散程度、稳定性的关系，体会方差公式中 “离差平方” 的必要性. 经历从直观感知数据波动到抽象推导方差公式的过程，体会 “数形结合”“从特殊到一般” 的数学思想，提升数据分析与定量建模的能力. 通过解决生活中的实际问题，感受统计知识的实用性，培养用数据说话的严谨态度，增强对数学的应用意识与学习兴趣. 两人的平均数都是190cm，从集中趋势来看，他们的平均水平一样. 但仔细观察这两组数据，你能感受到它们的差异吗? 我们班两位同学的5次立定跳远测试成绩(单位：cm)： 同学甲：190，190，190，190，190 同学乙：170，180，190，200，210 大家快速计算一下，两位同学成绩的平均数分别是多少? 甲的成绩每次都很稳定，而乙的成绩忽高忽低，波动很大. 在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是我们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节课我们就来学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差. 1 某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 计算出两组数的平均数，你有什么发现？ 由样本平均数估计总体平均数 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？ 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述. 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 产量波动较大 产量波动较小 2 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大； 当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立. 这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 3 我们应该用什么方法刻画呢? 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差； 根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差. 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 数据分布比较分散 数据分布比较集中 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 4 请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 　 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 5 专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 6 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 利用计算器求方差： 例题1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10 次射击成绩（单位：环）如表所示. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定? 方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定； 方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定. 求一组数据的方差的一般步骤： （1）求这组数据的平均数； （2）根据方差公式求这组数据的方差． 一组数据中的任何一个数据的变化都可能影响方差的大小，因此计算一组数据的方差时，确保不要遗漏和重复任何一个数据. 例题2 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是͞x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数是______，方差是_______. 25 例题2 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是͞x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数是______，方差是_______. 25 54 方差的变化规律 数据 平均数 方差 x1 ，x2 ，x3 ，…，xn ͞x s2 x1  a，x2  a，…，xn  a ͞x  a s2 kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxn k͞x k2s2 kx1  a，kx2  a，…，kxn  a k͞x  a k2s2 两组相关数据的平均数、方差的关系： 方法拓展： 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： ①取一个适当的基准数 a ②将原数据都减去 a，得到一组新数据 ③求新数据的方差 例题3 例题3 例题3 变小 变大 解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4). 1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序. 先通过直观判断排序，再根据方差排序. 这两种排序的结果是否一致？ 2.根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度. 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 ͞x甲 =172(次/min) ͞x乙 =180(次/min) 用方差 “PK” 身边数据的稳定性 任务：1.收集两组生活中的数据（如：你和同桌连续 5 次数学单元测试成绩、家里近 10 天早晚的气温）； 2.计算两组数据的平均数与方差，完成表格记录； 3.结合数据说明：哪组数据更稳定？方差大小和数据稳定性有什么关系？尝试用折线图直观呈现两组数据的波动情况，对比图表与方差结果是否一致. 要求：数据真实，计算过程完整，用文字说明方差的实际意义，能结合生活场景解释 “稳定性” 的价值（如成绩稳定利于查漏补缺、气温稳定利于出行），作业以 “数据 + 图表 + 分析” 的形式呈现. $