精品解析：浙江省温州市鹿城区2025-2026学年下学期5月九年级中考模拟数学试卷

2026年九年级学生学科素养检测 数学试题 考生注意： 1．全卷共6页，三大题，24小题．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 2. 智算中心将电力转化为算力并产出，实现更高价值跃升．基于模型实测：度电可生成约个．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到结果 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数，对于原数，将小数点向左移动位得到，满足要求， 3. 如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角， 故选：B． 4. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 5. 将方程两边同乘后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 6. 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴． 7. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而得到的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：连接． ∵， ， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵是的外角，， ∴ ． 8. 小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 9. 某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（ ） A. 若，则b的最小值为7 B. 若，则b的最大值为8 C. 若，则a的最大值为 D. 若，则a的最小值为6 【答案】C 【解析】 【分析】先将6个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据关系，再结合平均数公式，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：设6位同学命中次数从小到大排列为 ， 由题意得 ，中位数为6， 所以 ，即， 因为众数是6， 若 ，则 ， 此时数据中最多只有1个6，不满足众数为6， 因此 ，6个数为 ，满足 ，所有数为不超过10的整数，6是唯一众数，总和满足 ． 若，则 ， 对A选项，若 ，则 ， ， ，不成立，A错误． 对B选项，取 ，数据 满足所有条件， 此时 ，B错误． 若，则 ， 对C选项，要使最大，需 最大， ， 取 ，此时 ，数据 满足所有条件， 故最大值为，C正确． 对D选项，要使最小，需 最小，取 ， 此时 ，数据 满足所有条件， 故最小值不是，D错误． 10. 如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系： （a为常数且）． 下列选项中正确的是（ ） A. 米/秒 B. 汽车行驶总时间为 10 秒 C. D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像分析段匀速运动，可知匀速速度，将坐标代入即可求得函数表达式，进而可知的取值． 【详解】解：由题可知，段是匀速直线运动， 则（米/秒）， 则A选项错误； ∵将和代入 得： ， 解得：， 则C选项错误； 则S与t的关系式为：， 当时，汽车停止运动，（米） 则 则B选项错误，D选项正确． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 如图，是半圆O的直径，，是圆上一点，连接．若，则的长为_______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与是所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴． 13. 如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 14. 甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列表法求出概率即可得到答案． 【详解】解： 甲 乙 一共有种等可能的结果，符合天平平衡的结果有种， 故天平平衡的概率为． 15. 小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解， ．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于点，过点作交于点，设，根据平行四边形的性质推出点与点重合，且点在上，，根据勾股定理得，根据等腰直角三角形的性质得，，继而得到，，证明得，解得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作交于点，设， ∵与是的对角线， ∴点是的中点， ∵恰好经过中点， ∴点与点重合，且点在上， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且为斜边， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 即的长为． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则原方程组的解为． 19. 如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示． （1）根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______． （2）求直三棱柱的全面积． 【答案】（1）5；5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）两个三角形加一个矩形的面积即可求得全面积． 【小问1详解】 解：由题可得：， ∵， , ∴， 【小问2详解】 解：三角形的面积为：， 矩形的长为：， 则矩形的面积为：, 则直三棱柱的全面积为：． 20. 小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图． （1）小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”） （2）根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表： 最高成绩（个） 平均成绩（个） 第5日相对于第1日成绩的增长率 小鹿 小橙 a b ①求a和b的值． ②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”． 【答案】（1）不合理 （2）①，；②小鹿获得“跳绳新星” 【解析】 【分析】（1）比较两人的进步幅度，得出结论； （2）①由图可得a的值；计算小橙第5日相对于第1日成绩的增长率②依题意通过比较得出结论． 【小问1详解】 解：小鹿∶第1日个，第5日个，增长了 （个）， 小橙∶第1日个，第5日个，增长了（个）， ， 小鹿的进步幅度更大，则小橙的说法不合理． 【小问2详解】 解：①由图可知，． ． ②最高成绩∶小鹿个，小橙个， ， 小橙得1分； 平均成绩∶小鹿个，小橙个， ， 小鹿得1分； 增长率∶小鹿，小橙， ， 小鹿得2分． 小鹿总得分∶分∶小橙总得分∶1分 ， 小鹿会获得“跳绳新星”． 21. 【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）． 【观察发现】 （1）如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）． 【探索应用】 （2）若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长． 【答案】（1）乙 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，据此判断即可； （2）先根据新图形的面积列出方程，求出的值，再利用新图形是一个中心对称图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线， 因此，拼成的新图形是乙； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 由于新图形是一个中心对称图形， 则． 22. 如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． （1）求证：． （2）作于点F，于点G．若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据相切可知，即可判定全等三角形； （2）证明 ，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为直径， ∴． ∵为直径，与相切于点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴，． ∴． ∵，， ∴ ， ∴， ． ∵，过圆心， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． （3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移、二次函数的图象性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线表达式求出的值； （2）先求出平移后抛物线的表达式，再将代入平移后的抛物线表达式求出的值； （3）根据题意得的坐标为，的坐标为，求出、的表达式，进而得到的长随的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出的值． 【小问1详解】 解：将代入抛物线得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 抛物线表达式为， 平移后抛物线的解析式为， 将点代入得： ， 解得：或， ， ； 【小问3详解】 解：如图：∵， 的坐标为，的坐标为， ，， 、， 的长随的长增大而增大， 的长随的增大而增大， 抛物线中， 该抛物线的图象开口向下， 该抛物线的对称轴为， ， 解得：． 24. 探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 （1）求证：． 【引元关联】 （2）设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 （3）如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 （4）已知，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； （3）根据余弦的定义得出 ，则，则，得出，在和中，，得出方程，解方程，即可求解； （4）作于点，在和中，，解方程，得出 ，记 ，根据得出，进而得出，最后求得函数值的范围，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． ∵， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． 在和中，， ∴， 解得（负值已舍去）． 【小问4详解】 解：作于点， 则，， 在和中， ， ∴， ∴ ． 记 ， ∵， ∴， ∴或（舍）． ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学生学科素养检测 数学试题 考生注意： 1．全卷共6页，三大题，24小题．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 智算中心将电力转化为算力并产出，实现更高价值跃升．基于模型实测：度电可生成约个．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 5. 将方程两边同乘后，可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（ ） A. 若，则b的最小值为7 B. 若，则b的最大值为8 C. 若，则a的最大值为 D. 若，则a的最小值为6 10. 如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系： （a为常数且）． 下列选项中正确的是（ ） A. 米/秒 B. 汽车行驶总时间为 10 秒 C. D. 米 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，是半圆O的直径，，是圆上一点，连接．若，则的长为_______（结果保留）． 13. 如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 14. 甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为_______． 15. 小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解， ．若，则的值为________． 16. 如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程组：． 19. 如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示． （1）根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______． （2）求直三棱柱的全面积． 20. 小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图． （1）小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”） （2）根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表： 最高成绩（个） 平均成绩（个） 第5日相对于第1日成绩的增长率 小鹿 小橙 a b ①求a和b的值． ②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”． 21. 【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）． 【观察发现】 （1）如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）． 【探索应用】 （2）若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长． 22. 如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． （1）求证：． （2）作于点F，于点G．若，求的值． 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． （3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 24. 探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 （1）求证：． 【引元关联】 （2）设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 （3）如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 （4）已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $