专题6正方形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦正方形全维度考点，以15类高频题型为载体，系统梳理易错点与解题技巧，构建从性质理解到综合压轴的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础理解|4类（性质理解、求角度/线段/面积）|性质分层记忆（平行四边形+矩形+菱形）、特殊角（45°）与线段关系（对角线=√2边长）|从概念辨析到基础计算，建立正方形性质应用的基本模型| |性质应用|3类（折叠、重叠面积、证明）|折叠用全等+勾股定理建模、重叠面积旋转全等转化、证明用四边相等与直角特征|深化性质综合应用，强化空间观念与转化思想| |判定应用|3类（判定理解、证明正方形、添加条件）|判定两步法（先证平行四边形，再证矩形+菱形特征）|构建判定逻辑链条，培养严谨推理意识| |综合压轴|5类（性质与判定综合、动点问题等）|动态问题分类讨论、综合题性质判定结合、方程思想求解|整合知识解决复杂问题，提升创新意识与应用能力|

专题6 正方形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】专题共15类高频题型，涵盖正方形性质、判定、计算、证明、折叠、重叠面积、动点压轴等全维度考点。正方形兼具矩形与菱形所有性质，综合性极强，学生易出现性质乱用、折叠漏条件、动点分类不全等问题。本专题精准梳理易错点，总结万能解题技巧，攻克八下几何难点。 题型1 正方形性质理解 题型9 证明四边形是正方形 题型2 根据正方形的性质求角度 题型10 添加一个条件使四边形是正方形 题型3 根据正方形的性质求线段长 题型11 根据正方形的性质与判定证明 题型4 根据正方形的性质求面积 题型12 根据正方形的性质与判定求角度 题型5 正方形折叠问题 题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 题型6 求正方形重叠部分面积 题型14 根据正方形的性质与判定求面积 题型7 根据正方形的性质证明 题型15 正方形的动点问题 题型8 正方形的判定定理理解 题型1 正方形性质理解 易错点：不会区分正方形、矩形、菱形性质；遗漏正方形对角线平分对角、垂直相等的双重特征。 解题技巧：正方形拥有平行四边形、矩形、菱形全部性质；核心专属：四边相等、四角直角、对角线垂直相等且平分对角。 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 2．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 4．在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 题型2 根据正方形的性质求角度 易错点：忽略对角线分出45°角；角度组合推导错误。 解题技巧：正方形对角线平分内角，产生45°特殊角；结合直角、等腰直角三角形特征，快速推导所有角度。 5．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 6．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 8．如图，四边形是正方形，点E在正方形外，为等边三角形，连接交于点G．则______． 题型3 根据正方形的性质求线段长 易错点：不会利用等腰直角三角形求线段；对角线与边长换算公式记错。 解题技巧：正方形对角线=倍边长；对角线分割出等腰直角三角形，可直接利用边长比例快速计算。 9．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 11．如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 12．如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点．若，，则正方形的边长为___________． 题型4 根据正方形的性质求面积 易错点：面积公式混用；已知对角线不会求面积。 解题技巧：面积公式：边长平方、对角线平方的一半；已知边长用平方，已知对角线优先用对角线公式，计算高效准确。 13．如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（   ） A．5 B．9 C．16 D．25 14．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 15．如图，分别以的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为、、．若，则图中阴影部分的面积为______． 16．如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为16，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为___． 题型5 正方形折叠问题 易错点：找不到折叠全等关系；忽略45°特殊角，方程建模困难。 解题技巧：折叠前后边角全等，结合正方形直角、45°角构造等腰直角三角形；设未知数，用勾股定理列方程求解边长。 17．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 20．边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若，则________． 题型6 求正方形重叠部分面积 易错点：不会利用旋转全等转化面积；重叠图形形状判断错误。 解题技巧：正方形重叠题型多为旋转模型，重叠面积恒定；利用三角形全等转化不规则面积为规则图形面积，快速求解。 21．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 22．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 24．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 题型7 根据正方形的性质证明 易错点：性质滥用、证明逻辑混乱；不会综合运用边角关系。 解题技巧：证明线段相等用四边相等、三角形全等；证明垂直用对角线垂直、直角特征；步骤严谨，层层推导。 25．如图，正方形边长为20，点为正方形对角线上任一点，过点作于点，作于点，连接，．给出以下4个结论： ①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________________． 28．如图，在正方形中，点M、P、Q分别在边、、上，连接、交于一点，且，是延长线上一点，连接，，，，下列结论： ①； ②若M为中点，则P一定是中点； ③； ④若平分，则平分． 其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）． 题型8 正方形的判定定理理解 易错点：判定条件混淆；忽略判定前提，直接判定正方形。 解题技巧：正方形判定核心：既是矩形又是菱形；熟记判定逻辑，缺一不可，必须同时满足直角、邻边相等双重条件。 29．下列说法正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 30．下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 31．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为______． 32．给出下列命题：①顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的序号是________（请把所有真命题的序号都填上）． 题型9 证明四边形是正方形 易错点：证明条件不完整，只证矩形或只证菱形；步骤缺失。 解题技巧：通用思路：先证平行四边形，再证一组邻边相等+一个直角；或先证矩形再证邻边相等，先证菱形再证有直角。 33．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列说法： ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是正方形； ③连接，若，，，则的最小值为； ④若是的平分线，则四边形是菱形．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 35．如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，则有，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 (1)如图1，若连接，判断的形状是______； (2)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状为______． 36．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 题型10 添加一个条件使四边形是正方形 易错点：条件添加不匹配，无法同时满足矩形菱形特征。 解题技巧：矩形添一组邻边相等/对角线垂直；菱形添一个直角/对角线相等；平行四边形同时添直角、邻边相等。 37．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 38．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 39．在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①②是正方形．再写出符合要求的一个：______是正方形． 40．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 题型11 根据正方形的性质与判定证明 易错点：判定与性质结合混乱，证明思路不清晰。 解题技巧：先严谨判定正方形，再调用正方形所有性质证明边角关系；综合全等、平行、垂直关系，规范书写证明过程。 41．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（   ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 42．如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 43．四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 44．按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 题型12 根据正方形的性质与判定求角度 易错点：综合题型角度关系复杂，遗漏45°特殊角。 解题技巧：先判定正方形，利用直角、45°角、对角线性质，结合三角形内外角定理，层层拆解求解角度。 45．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 46．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    47．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 48．阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 易错点：对角线与边长换算错误；综合线段转化失误。 解题技巧：判定正方形后，利用边长、对角线固定比例关系，结合勾股定理、全等三角形，精准求解各类线段长度。 49．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 50．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 51．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 52．综合与实践 实践操作：如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点N，与交于点M． 问题解决 (1)求证：四边形是正方形． (2)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明． (3)请在图4中求证：． 题型14 根据正方形的性质与判定求面积 易错点：图形判定错误导致公式套用错误；不规则面积不会转化。 解题技巧：先判定正方形，优先用边长平方求面积；不规则图形通过全等、割补转化为正方形规则面积计算。 53．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 54．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 55．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 56．【问题提出】 (1)如图1，在四边形中，若，，则的度数为________°； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某工业园要沿围墙和规划一个四边形休闲广场，点、分别在、上，沿、、、铺设小路，要求小路尽可能的短，并对四边形区域进行地面防滑处理．已知，，，，地面防滑处理的费用为200元/，求当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用．（小路的宽度忽略不计） 题型15 正方形的动点问题 易错点：不会分类讨论；动点轨迹判断错误；漏解、多解。 解题技巧：动点问题按位置分类讨论；结合正方形不变性质（边长、直角、45°角），建立方程或利用全等求解，规避漏解。 57．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 58．如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 59．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 60．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 正方形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】专题共15类高频题型，涵盖正方形性质、判定、计算、证明、折叠、重叠面积、动点压轴等全维度考点。正方形兼具矩形与菱形所有性质，综合性极强，学生易出现性质乱用、折叠漏条件、动点分类不全等问题。本专题精准梳理易错点，总结万能解题技巧，攻克八下几何难点。 题型1 正方形性质理解 题型9 证明四边形是正方形 题型2 根据正方形的性质求角度 题型10 添加一个条件使四边形是正方形 题型3 根据正方形的性质求线段长 题型11 根据正方形的性质与判定证明 题型4 根据正方形的性质求面积 题型12 根据正方形的性质与判定求角度 题型5 正方形折叠问题 题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 题型6 求正方形重叠部分面积 题型14 根据正方形的性质与判定求面积 题型7 根据正方形的性质证明 题型15 正方形的动点问题 题型8 正方形的判定定理理解 题型1 正方形性质理解 易错点：不会区分正方形、矩形、菱形性质；遗漏正方形对角线平分对角、垂直相等的双重特征。 解题技巧：正方形拥有平行四边形、矩形、菱形全部性质；核心专属：四边相等、四角直角、对角线垂直相等且平分对角。 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 2．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形对称轴的概念，逐个确定各图形的对称轴数量，统计对称轴只有两条的图形个数即可. 【详解】解： ①等腰三角形的对称轴可能为条或条，不符合要求； ②平行四边形不是轴对称图形，对称轴数量为，不符合要求； ③菱形有条对称轴，符合要求； ④矩形有条对称轴，符合要求； ⑤正方形有条对称轴，不符合要求； ∴对称轴只有两条的图形共个. 3．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【答案】 15 【详解】解：连接， 四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵米， ∴米． 4．在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 【答案】3 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对题干给出的图形逐一判断即可得到结果． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 综上，符合条件的图形共有个． 题型2 根据正方形的性质求角度 易错点：忽略对角线分出45°角；角度组合推导错误。 解题技巧：正方形对角线平分内角，产生45°特殊角；结合直角、等腰直角三角形特征，快速推导所有角度。 5．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，利用平角定义求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， ． 7．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 【答案】 【分析】由于四边形是正方形、是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，四边形是正方形，点E在正方形外，为等边三角形，连接交于点G．则______． 【答案】 /度 【详解】解：∵四边形是正方形，为等边三角形， ∴， ∴，， ∴. 题型3 根据正方形的性质求线段长 易错点：不会利用等腰直角三角形求线段；对角线与边长换算公式记错。 解题技巧：正方形对角线=倍边长；对角线分割出等腰直角三角形，可直接利用边长比例快速计算。 9．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 11．如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 【答案】 / 【分析】设正方形的边长为，则，将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质可得，，，，过点作于，过点作于，过点作于，求出和的长度，利用建立方程求解即可. 【详解】解：设正方形的边长，则， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ，，，， 过点作于，过点作于，过点作于， 四边形为矩形 ，， 在中，，， ，， ∴ ， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 点在上，四边形是正方形， ， ， ，解得； ∴. 12．如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点．若，，则正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】根据证明，得，，可判断是等腰直角三角形，求出，在中，求得，过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得，，在中由勾股定理可求． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 在中，． 题型4 根据正方形的性质求面积 易错点：面积公式混用；已知对角线不会求面积。 解题技巧：面积公式：边长平方、对角线平方的一半；已知边长用平方，已知对角线优先用对角线公式，计算高效准确。 13．如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（   ） A．5 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】设，两个正方形的面积分别为，根据勾股定理可得，代入数据即可求解． 【详解】解：设，则以，为边的两个正方形的面积分别为， ， 在中，由勾股定理得， 即两个正方形的面积和为， ， 面积和． 14．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 15．如图，分别以的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为、、．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【分析】由勾股定理得，再由正方形面积公式得，代入已知等式求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 16．如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为16，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为___． 【答案】32 【分析】设正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则，根据题意，得，求的值即可； 【详解】解：设正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 则，根据题意，得， 故， 故， 因为正方形的面积为，小正方形的面积为， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为32 题型5 正方形折叠问题 易错点：找不到折叠全等关系；忽略45°特殊角，方程建模困难。 解题技巧：折叠前后边角全等，结合正方形直角、45°角构造等腰直角三角形；设未知数，用勾股定理列方程求解边长。 17．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 18．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 19．如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和折叠的性质及三角形全等的判定得到，从而求出然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接交于点O， 由折叠得到， ， 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，，， ． 20．边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若，则________． 【答案】 【分析】（1）根据三点共线，得出，进而得出为等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解析：①如图： ∵以为折痕将翻折，使点落在处， ∴ ∵三点共线，则 ∵边长， ， ∵正方形中，为对角线 ∴ 又∵ 为等腰直角三角形， ． ②如图：连接， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴ 解得：． ． 题型6 求正方形重叠部分面积 易错点：不会利用旋转全等转化面积；重叠图形形状判断错误。 解题技巧：正方形重叠题型多为旋转模型，重叠面积恒定；利用三角形全等转化不规则面积为规则图形面积，快速求解。 21．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 22．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后可得，，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由两个边长为2的正方形中心重合，可知：， ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【答案】19 【分析】先设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，即可求出，然后根据中点的定义可得，接下来求出，最后根据得出答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得 ，， 由①，得， 由，得， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． 24．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 题型7 根据正方形的性质证明 易错点：性质滥用、证明逻辑混乱；不会综合运用边角关系。 解题技巧：证明线段相等用四边相等、三角形全等；证明垂直用对角线垂直、直角特征；步骤严谨，层层推导。 25．如图，正方形边长为20，点为正方形对角线上任一点，过点作于点，作于点，连接，．给出以下4个结论： ①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，根据正方形的性质，易证△，得，再证明四边形是矩形，可得，即可判断①选项；根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可判断②选项；根据垂线段最短，可求出的最小值，再根据，即可判断③选项；作于点，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，，再证明△是等腰直角三角形，可得，再根据列方程，求出，进一步即可求出和的值． 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，，， 又， △△， ， ，，且， 四边形为矩形， ， ， 故①选项符合题意； △△， △的面积△的面积， 在矩形中，△的面积△的面积， ， 故②选项符合题意； 正方形的边长为20， ， 根据勾股定理，得， 当时，的值最小，此时为的中点， ， 的最小值为， 故③选项不符合题意； 过点作于点， 则， ， ， 设，则， 根据勾股定理，得， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故④选项符合题意， 综上，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的综合，涉及全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，证明是解题的关键，本题综合性较强，难度较大． 26．如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】通过证明可得；通过证明可得，进而证得垂直平分，推出；利用直角三角形斜边中线性质及外角性质可证及；最后统计错误结论的个数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个，错误的结论有0个． 27．如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________________． 【答案】①②④ 【分析】先证明，得出，，即可判断①正确；证明出，再结合直角三角形的性质即可判断②正确；连接，证明，得出，再求出，即可判断③错误；取的中点，连接、，则，由勾股定理可得，再结合，即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，即， ∵点为中点， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 取的中点，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 28．如图，在正方形中，点M、P、Q分别在边、、上，连接、交于一点，且，是延长线上一点，连接，，，，下列结论： ①； ②若M为中点，则P一定是中点； ③； ④若平分，则平分． 其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】该题为正方形中的十字模型问题，找到对应的全等三角形，根据条件求解即可， ①过点M作，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明即可； ②根据图形，由于点M，P，Q均为动点，找到反例即可； ③根据平行线之间的距离处处相等，即可得到结果； ④根据图形，由于点M，P，Q均为动点，找到反例即可． 【详解】解：如图，过点M作，交于点E， 在正方形中，，，， 又， ∴四边形是矩形，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，①正确； 当M为中点时，∵， 显然，由于点Q的位置不确定，因此点P的位置也不确定， ∴②错误； ∵， ∴，③正确； 当平分时，点P的位置固定，即为定三角形，且， ∵在正方形中，， ∴， 又， ∴若想要平分，则， 则， ∴， 由于点M和点Q的位置不固定，显然不满足要求，④错误． 题型8 正方形的判定定理理解 易错点：判定条件混淆；忽略判定前提，直接判定正方形。 解题技巧：正方形判定核心：既是矩形又是菱形；熟记判定逻辑，缺一不可，必须同时满足直角、邻边相等双重条件。 29．下列说法正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形才是平行四边形，仅对角线相等不能判定是平行四边形， ∴A错误； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴B正确； ∵对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直不能判定是菱形， ∴C错误； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅互相垂直平分的四边形是菱形， ∴D错误． 30．下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可得到结果． 【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，符合正方形的判定定理，是真命题，不符合题意． B选项，四条边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意． D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此该命题是假命题，符合题意． 31．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为______． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 32．给出下列命题：①顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的序号是________（请把所有真命题的序号都填上）． 【答案】①③ 【分析】根据中点四边形、矩形的性质和菱形的判定可判断①正确；根据正方形的判定可判断②；根据平行四边形的判定可判断③④． 【详解】解：①∵矩形的对角线相等，顺次连接矩形各边中点所得的四边形的边为对角线对应的三角形的中位线， ∴所得四边形的四边相等，即顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形， 故①正确，是真命题； ②∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， ∴②错误，是假命题； ③由一组对边平行，一组对角相等可得邻角互补，则另一组对边也平行，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知③正确，是真命题； ④∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴④错误，是假命题， 故答案为：①③． 【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的相关定理，本题涉及特殊四边形的判定与性质． 题型9 证明四边形是正方形 易错点：证明条件不完整，只证矩形或只证菱形；步骤缺失。 解题技巧：通用思路：先证平行四边形，再证一组邻边相等+一个直角；或先证矩形再证邻边相等，先证菱形再证有直角。 33．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列说法： ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是正方形； ③连接，若，，，则的最小值为； ④若是的平分线，则四边形是菱形．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定可判断结论①；根据矩形的判定可判断结论②；由题意易知当时，最小，先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可判断结论③；根据是的平分线，然后结合菱形的判定可判断结论④． 【详解】解：结论①，，， 四边形是平行四边形，故结论①符合题意； 结论②，若，则四边形是矩形，不能得出它是正方形，故结论②不符合题意； 结论③，，，， ． ， 四边形是矩形， ． 根据垂线段最短可知，如图，当时最短． ，即， 的最小值为，故结论③符合题意； 结论④，平分， ． ， ． ． ， 平行四边形是菱形，故结论④符合题意； 综上可知，符合题意的结论有①③④， 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形和菱形的判定，勾股定理，角平分线的性质等知识．根据题目条件选择恰当的判定方法是解题的关键． 34．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 【答案】③④⑤⑥（答案不唯一） 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据③对角线相等判定平行四边形为矩形，最后根据④对角线互相垂直的矩形是正方形得到结论． 【详解】解：选择③④⑤⑥，理由如下： ，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， ∴ 平行四边形是矩形，（对角线相等的平行四边形是矩形） ， ∴ 矩形是正方形，（对角线互相垂直的矩形是正方形）． 35．如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，则有，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 (1)如图1，若连接，判断的形状是______； (2)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状为______． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)正方形，理由见解析 (3)矩形 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到边相等和角相等，再通过角的和差推出直角，再结合边相等判断形状； （2）先通过平行线和等腰直角三角形的性质，证明四边形是矩形，再通过等角对等边，证明一组邻边相等，从而判定为正方形； （3）先通过平行线和等腰三角形性质，得到边相等，再用全等三角形证明角相等，进而证明，再结合判定为平行四边形，最后结合直角条件，判定其为矩形． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ，， 四边形为矩形，， ， ， 四边形为正方形． （3）解：， ， ，， ， ， ， 据（2）可知，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 36．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 题型10 添加一个条件使四边形是正方形 易错点：条件添加不匹配，无法同时满足矩形菱形特征。 解题技巧：矩形添一组邻边相等/对角线垂直；菱形添一个直角/对角线相等；平行四边形同时添直角、邻边相等。 37．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 38．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、∵， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 39．在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①②是正方形．再写出符合要求的一个：______是正方形． 【答案】 ②④（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理，只需添加两个条件使平行四边形同时满足矩形和菱形的判定条件，即可推出平行四边形是正方形. 【详解】解： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑤是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又平分， ∴， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑥是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑤是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵平分， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑥是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 又∵， 平行四边形是矩形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为②④是正方形； 40．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 题型11 根据正方形的性质与判定证明 易错点：判定与性质结合混乱，证明思路不清晰。 解题技巧：先严谨判定正方形，再调用正方形所有性质证明边角关系；综合全等、平行、垂直关系，规范书写证明过程。 41．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（   ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】过点作于点，延长，交于点，连接，可证，得，再证明四边形是矩形，得，即得，即可判定①；证明，可得 ，进而由 ，，得 ，即可判定②；由是正方形的对角线上一点，可知不一定是等腰三角形，即可判定③；由 得 ，进而得到 ，即可判定④；由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，连接， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，故②正确； ∵是正方形的对角线上一点， ∴不一定是等腰三角形，故③错误； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，但无法证明，故④错误； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②． 42．如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作于于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于于，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，， ，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 43．四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 44．按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化；理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出，再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点P作于点M，作于点G，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：的大小不发生变化；理由如下： 如图，四边形是正方形，过点P作于点M，作于点G， ∴平分，， ∴． 又∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，． 由旋转得，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化． 题型12 根据正方形的性质与判定求角度 易错点：综合题型角度关系复杂，遗漏45°特殊角。 解题技巧：先判定正方形，利用直角、45°角、对角线性质，结合三角形内外角定理，层层拆解求解角度。 45．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 46．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 47．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 48．阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据双关联线段的定义得到且，进而证得矩形是正方形，从而得到，利用求解即可； （2）易证明，进而得到、，延长交于点，根据易得到，利用三角形内角和定理得到，从而得出结论； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，过点、作直线，此时；以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，此时，即线段是相应线段的双关联线段． 【详解】（1）解：与互为双关联线段， ，且， 矩形是正方形， 、， ； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 延长交于点， 在中，， ， ， ， ， 线段是线段的双关联线段； （3）解：如图，即为所求． 题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 易错点：对角线与边长换算错误；综合线段转化失误。 解题技巧：判定正方形后，利用边长、对角线固定比例关系，结合勾股定理、全等三角形，精准求解各类线段长度。 49．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 50．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【答案】或 【分析】由矩形的长为、宽为，沿折叠使落在上的处，可证四边形为正方形，从而得，． 由及折叠性质可推出，从而得到核心结论． 为等腰直角三角形，其两条直角边、的中点分别记为、． 分两种情况讨论：当射线经过的中点时，与重合，在中利用勾股定理求，再由得解；当射线经过的中点时，连接，利用证明，得，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ，． 由沿折叠，点落在上的点处， ，，． ， 四边形是正方形， ，， ，． ， ， 由沿折叠知， ， ． 当射线经过的中点时， 与重合， ， ， ． 由折叠知，， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 当射线经过的中点时， 连接， ，， ， 由折叠知， ． ，在上， ， 又，且在射线上， ， 在和中： ， （）， ． 设， 由图形位置关系知点在线段上， ， 又，， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得． 综上所述，的长为或． 51．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)折痕的长为； (2)；关于的函数关系式为． 【分析】（）当点与点重合，此时与重合，连接，，由四边形是矩形，则，，，通过折叠性质可得，，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可； （）如图，过作于点，作于点，连接，则，证明四边形是正方形，则，证明，所以，可证是等腰直角三角形，通过勾股定理得，然后求出，，从而可得； 如图，过作于点，作于点，连接，则，由折叠性质可知，同得是等腰直角三角形，，由四边形是正方形，得，通过勾股定理得，，所以，通过勾股定理可得，则，从而得，故关于的函数关系式为． 【详解】（1）解：当点与点重合，此时与重合， 如图，连接，，     ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （2）解：如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点为的中点时， ∴， ∴， ∴； 如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， 同得是等腰直角三角形，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为． 52．综合与实践 实践操作：如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点N，与交于点M． 问题解决 (1)求证：四边形是正方形． (2)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明． (3)请在图4中求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解；，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 题型14 根据正方形的性质与判定求面积 易错点：图形判定错误导致公式套用错误；不规则面积不会转化。 解题技巧：先判定正方形，优先用边长平方求面积；不规则图形通过全等、割补转化为正方形规则面积计算。 53．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 54．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 55．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 56．【问题提出】 (1)如图1，在四边形中，若，，则的度数为________°； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某工业园要沿围墙和规划一个四边形休闲广场，点、分别在、上，沿、、、铺设小路，要求小路尽可能的短，并对四边形区域进行地面防滑处理．已知，，，，地面防滑处理的费用为200元/，求当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】(1)50 (2)证明见解析 (3)当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用为500000元 【分析】（1）根据四边形的内角和为求解即可； （2）在右侧作，与的延长线交于点．证明得到，．再证明是等边三角形得到，即可证得结论； （3）连接，过点作于点，于点,证明四边形是正方形，，则可得点在的平分线上．过点作于点，由垂线段最短可得当点与点重合时，最短，长度的最小值为的长，过点作于点，易得点与点重合时，点与点重合．证明和均为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：在右侧作，与的延长线交于点． ∵，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作于点，于点． ∵，，， ∴，则四边形是矩形． ∵（即），，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴，即平分， ∴点在的平分线上． 过点作于点，由垂线段最短可得当点与点重合时，最短，长度的最小值为的长， 过点作于点，易得点与点重合时，点与点重合． ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形． ∵， ∴，， ∴当小路最短时，的长为，此时． （元）， ∴当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用为500000元． 题型15 正方形的动点问题 易错点：不会分类讨论；动点轨迹判断错误；漏解、多解。 解题技巧：动点问题按位置分类讨论；结合正方形不变性质（边长、直角、45°角），建立方程或利用全等求解，规避漏解。 57．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 58．如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 【答案】①③ 【分析】①由旋转性质和正方形性质得到 ，得到对应角相等，再根据内错角相等得到． ②由于是定角，故最短时也最短，由垂线段最短即可求出 ． ③M与A重合时B，D，N三点共线，此时最短；M与C重合时，是直角三角形，此时最长，由勾股定理即可求出长度． 【详解】①如图所示， 落在上，由旋转可知， ， ， 由正方形性质知， ， 再由正方形性质知 ，， ∴， ， ， ． 故①正确． ②如图，观察，过B作， 由是等腰三角形知 ， 故当最小时，距离最近， 由垂线段最短知时，最短，此时． 故②错误． ③如图所示，                 图一                                         图二 是正方形的对角线且正方形边长为１， ， 由三角形三边关系可知在中， ，故当 时，最小，此时B，D，N三点共线， 由图一知此时M与A点重合， ， ， 在此后随着M点向右平移，N与D的距离越来越大，故当M与C重合时，N与D的距离最大， 由图二所示， ， 在中，， ， 综上所述，，故③正确 【点睛】解本题的关键是画出每一小问对应的图形，综合运用三角形、四边形各种性质来判定一些线段关系，角度大小以及线段长度． 59．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 60．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $