精品解析：2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题

6学科网6组卷网 梧州市2025一2026学年度初中学业水平考试第二次模拟测试数学（试 题卷) 说明： 1.本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页)，满分120分，考试时间120分钟。 2.答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的 区域内，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.) 1.下列四个选项中，为负数的是() A.0 B.0.5 C-2 D.V2 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数小于0判断即可. 【详解】解：A选项：0既不是正数也不是负数，0不是负数，故A选项不符合题意； B选项：0.5>0,0.5是正数，故B选项不符合题意： C选项：-2<0，-2是负数，故C选项符合题意： D选项：~5>0，V2是正数，故D选项不符合腿高. 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(). 第1页/共25页 6学科网组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要判断图形是否同时满足轴对称和中心对称的定义，轴对称图形是指图形沿某直线折叠后 两侧完全重合，中心对称图形是指图形绕某点旋转180度后与原图形完全重合. 【详解】解：选项A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形： 选项B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形： 选项D中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3.下列调查中，适合抽样调查的是() A.了解某批次灯泡的使用寿命 B.了解某班级学生的数学作业完成情况 C.了解某考场考生准考证的核对情况 D.了解某班级学生的视力情况 【答案】A 【解析】 【分析】当调查具有破坏性，或调查范围广、难以进行全面调查时，适合抽样调查，若调查范围小、对结 果准确性要求高且不具有破坏性，适合全面调查（普查）· 【详解】解：”了解某批次灯泡的使用寿命，调查过程会对灯泡造成破坏，无法对所有灯泡进行测试， ∴适合抽样调查， ,选项B,C,D的调查范围均较小，可进行全面调查，结果准确性要求高， …适合普查 4.一个角是0.5°，则可化为多少分() A.10 20' B. C30 D 50 【答案】C 【解析】 【详解】解：·角度单位中1°=60， 第2页/共25页 命学科网命组卷网 ,0.5°=0.5×60'=30' 5.如图，扇形1OB是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径0A=15cm,∠40B=120°，则B的长为 8元 B.10n C.l2n 14π A. D. 【答案】B 【解析】 1=mr 【分析】根据弧长公式180求解即可. 120m×15-10m 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为180 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数 y-长(k≠0)上，则k的馆是(） A.-2 B.-4 C.2 D.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可. 第3页/共25页 6学科网列组卷网 【详解】解：矩形AOBC的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数x :=2 ,反比例函数的图象位于第二象限， .k<0, .k=-2 7.己知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字.在某古代 词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少 12字.请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定 句数、字数为准)() A.44,38 B.50.44 C.60,54 D.66,60 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出两种词牌每阕的总字数，再根据数量差、总字数差的关系列方程组求解即可. 【详解】解：，《浣溪沙》每阕6句，每句7字， ∴.每阕字数为6×7=42， 《采桑子》每阕8句，每句6字， …每阕字数为8×6=48， 设《浣溪沙》收录x阕，《采桑子》收录y阕，根据题意列方程组： x=y+6 42x=48y-12, [x=50 解得：y=44 8.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D'处，点C落在C处.若 第4页/共25页 6学科网列组卷网 ∠AED'=40°，则∠FED'的度数为() A E 40° A.400 B500 C600 D 70° 【答案】D 【解析】 ∠DEF=∠FED'=) ∠DED'=70° 【分析】根据邻补角可得∠DED'=140°，再由折叠可得 【详解】，∠AED'=40°， :.∠DED'=180°-∠AED'=180°-40°=140°， 由折叠可得 FED=∠FED-DiD-x140=70 2 9.如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛R△MBC(∠C=90)的相关数据时，用尺提作图 的方法作∠BAC的平分线：以A为圆心画弧交AC,AB于D,E,再分别以D,E为圆心、大于 DE 的长为半径画弧，两弧交于点M,作射线AM交BC边于点F.若测得BC=1Ocm,BF=6cm, 则点F到AB边的距离为() 第5页/共25页 6学科网命组卷网 2cm 4cm 6cm B. 【答案】B 【解析】 【分析】过点F作FH⊥AB,然后根据角平分线的性质定理可得FH=CF,进而问题可求解 【详解】解：过点F作FH⊥AB,如图所示： M F 由作图可知：AF平分∠BAC, .∠C=90°. .FH=CF, ..BC=10cm BF =6cm, .CF=BC-BF=4(cm) .FH=4cm,即点F到AB边的距离为4cm. 10.小宇从家出发，骑自行车前往10公里某景区，途中停车观光，其中y(公里)是小宇离家的距离，x (分钟)是小宇离家时间.y与x的函数图像如图所示.下列说法错误的是() 10---- 8 6 4F 2 0204060x A.小宇从家到景区，小宇的路程为10公里 第6页/共25页 6学科网 命组卷网 B.小宇途中停车观光的时间为20分钟 C.小宇到景区的整个过程中，平均速度是10公里/小时 D.小字全程一共用时50分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的信息，结合路程、速度、时间的关系，对各选项逐一进行分析. 【详解】对于A,由函数图象可知，从家到景区，小宇的路程为10公里，故A正确，不符合题意： 对于B,小宇途中停车观光的时间为40-20=20分钟，故B正确，不符合题意： =10 10 对于C,小宇到景区的整个过程中，共花了60分钟，即1个小时，平均速度是1公里/小时，故C正 确，不符合题意； 对于D,小字全程一共用时60分钟，故D错误，符合题意 11.现定义一种新运算：对任意实数a,b,规定a⑧b=2a+b-ab,若x⑧3=1，则x的值为( 1 A. 2 3 D4 【答案】B 【解析】 【详解】解：a⑧b=2a+b-ab, .x⑧3=2x+3-3x=1, 解得x=2」 12.《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之， 第7页/共25页 6学科网 命组卷网 成古代数学典范.如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH密铺构成的大正方 形ABCD,若大正方形的面积为25，连接CF、CE.若CE=CD,则线段CF的长是() E F B G C A.5 B.2V5 c v10 D.0-V5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得CD=5=CE,EH=HG=FG,∠EHC=∠FGH=90° ,则有 EH=DH,∠FGC=90° 然后可得CG=DH=FG=HG=EH 进而根据勾股定理可进行求解。 【详解】解：大正方形的面积为25， .CD=5=CE. 在正方形EFGH中，EH=HG=FG,∠EHC=∠FGH=90 EH=DH,∠FGC=90° .△DHC≌ACGB」 .CG=DH=FG=HG=EH, .CH=2EH, 第8页/共25页 命学科网命组卷网 在RtEHC中，由匀股定理可得H+CH=5E=25 EH=5=CG=FG CF=FG2+CG2=10 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.点A(-2,5)关于原点对称的点为 (2,-5) 【答案】 【解析】 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，点4(-2,5)的横纵坐标分别取相反数，可得点A关于 原点对称的点的坐标为(2，-5) 14.若实数m满足m-2=0,则代数式2m+3的值为 【答案】7 【解析】 【详解】解：：m-2=0, ∴.m=2 将m=2代入2m+3得2×2+3=4+3=7. 15.袋中有3个球，2红1白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽1个球，抽到 红球的概率是 2 【答案】3 【解析】 第9页/共25页 6学科网命组卷网 【分析】根据概率公式，如果一个事件有种等可能结果，事件A包含m种结果，那么事件A的概率 P(A)=" ,据此求解即可. 【详解】解：由题意得，袋中共有3个球，随机抽取1个球，所有等可能的结果共3种，其中抽到红球的 2 结果有2种，因此抽到红球的概率为3， 16.已知 Rt△MBC中，∠ACB=90°，1C=4米，BC=3米，点D是M 边上的动点，点E是BC 边上定点，CE=1米，连接DE,则线段DE的最小值为米. 【答案】1.6 【解析】 【分析】线段DE的最小值即点E到AB的距离.作EH⊥AB,利用相似三角形对应边成比例求出EH 即可 【详解】解：过点E作EH⊥AB,垂足为H, B :R△MBC中，∠ACB=90,4C=4米.BC=3 米， ， 第10页/共25页 学科网命组卷网 :AB=VBC2+AC2=32+4=5(米)， .CE=1米， .BE=BC-CE=3-1=2(米)， :∠B=∠B,∠EHB=90°=∠C, .△ABCP△EBH, EH BE EH 2 .ACAB,即45， 解得：EH=1.6 .ED≥EH, ∴.当点D与点H重合时，线段最小，线段DE的最小值为1.6米. 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.计算、化简： x2-y2 x (2)先化简，再求值：xx-y,其中x=1,y=2 【答案】(1)2(2)x+y,3 【解析】 【小问1详解】 1 ×4+1 解：原式4 =1+1 第11页/共25页 命学科网 组卷网 =2: 【小问2详解】 (x+y)(x-y)x 解：原式 x-y =x+y 将=1y= 代入，原式=1+2=3 18.社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好.某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周 参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用x表示，单位：h)进 行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图.根据提供的信息回答问题： 抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表 组别 时间x(h) 频率 0.5≤x<2 0.16 B 2≤x<3.5 ? C 3.5≤x<5 0.36 D 5≤x<6.5 0.18 E x≥6.5 0.10 合计 1 第12页/共25页 6学科网 组卷网 频数 18 16 14 12 10 9 8 8 6 4 21 0 ABCDE 组别 抽取的学生一周参与社团活动时间 频数分布直方图 (1)填空：α=一，此次调查中共抽取了一名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注 相应数据)： (2)调查所得数据的中位数落在_组（填组别）； (3)该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于3.5h的学生人数. 【答案】(1)0.2,50，见解析 (2)C (3)768人 【解析】 【小问1详解】 解：a=1-0.16-0.36-0.18-0.1=0.2, 抽取学生总人数：8÷0.16=50人， B组频数：50-8-18-9-5=10 所以频数分布直方图如图： 第13页/共25页 6学科网命组卷网 不频数 18 16 14 12 10 10 9 8 6 5 【小问2详解】 0 ABCDE 组别 抽取的学生一周参与社团活动时间 频数分布直方图 因为抽取学生总人数为50人，所以中位数为第25,26人一周参与社团活动时间的平均数，所以中位数落 在C组： 【小问3详解】 1200×(1-0.16-0.2)=768 人 答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于3.5h的学生人数约为768人. 19.某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全 校900名师生及若干后勤设备 (1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人：在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量 巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车.求每辆大容量巴士与每辆舒适型 客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆.本次研学活动所 租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍.请计算租车的单日最低总费用. 【答案】(1)每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 (2)最低费用为48000元 【解析】 (x+15) 【分析】(1)可设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为 人，根据等量关系： 租用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车，列出方程组求解即可： (2)设租设舒适型客车"辆，则大容量巴士为 18-m) ,单日总租赁费用为”元，根据题意列出不等式， 第14页/共25页 学科网命组卷网 求出m的取值范围，进而列出W关于m的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设每辆舒适型容车载客量为人，每辆大容量巴士载容量为 x+15) 人， 900900 =5 依题意得：xx+15 解得：=45.名=-60 (不合题意，舍去) 经检验，七=45 原方程的解且符合题意， 则每辆大容量巴士载客量为：x+15=45+15=60 答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 【小问2详解】 解：设舒适型客车m辆，则大容量巴士为 18-m) ,单日总租赁费用为”元，则： 2m≤18-m 45m+6018-m)≥900 解得：m≤6 w=2000m+3000(18-m) 又有： =-1000m+54000 .k=-1000<0 .w随m的增大而减小， 当m=6时，W小=-1000×6+54000=48000 (元) 答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元 20.在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 D为装饰分剥线，点P是BD上一点，点E是BC上一点，达接E、P1、 BD 第15页/供25页 6学科网组卷网 PE PC AE BD F 交于点 A D (I)求证：△ABP≌△CBP: (2) PE=PCAP⊥PE,求证： PE2=PF.PB 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】(I)根据正方形的性质得到AB=CB,∠ABP=∠CBP=45°，根据SAS即可证明 △ABP≌△CBP: (2)证明△PEF∽aPBE 得到PE=F-B,即得PE=P8 【小问1详解】 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CB,∠ABP=∠CBP=45o 在△ABP和△CBP中 (AB=CB ∠ABP=∠CBP BP=BP ∴.AABP≌ACBP(SAS) 【小问2详解】 证明：由(1)得△ABP≌△CBP. ..PA=PC PE=PC 第16页/供25页 学科网列组卷网 :PE=PA, 又AP⊥PE ∴.∠APE=90 ∴.∠PEA=∠PAE=45o 又∠EPF=∠BPE(公共角)， .△PEF∽△PBE ∴.PE2=PF.PB :PE、PB PF PE A D D E 21.如图，在Rt△ACE中，∠ACE=90°，点B是AE的中点，点O是AC上一点，以O为圆心作圆，B, CD三点均在 0上，B,4D是O0的两条切线，连接 CB CD D B E (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若CE=4, Cost= ,求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)见解析 (2)8V3 【解析】 第17页/供25页 6学科网命组卷网 【分析】(I)由切线长定理可得AD=AB,∠I=∠2，进而证明CD=CB,利用直角三角形斜边中线的 性质得BC=AB,据此证明即可： (2)连接DB交AC于点F,解RtAACE可得AC和AE的长，利用中位线定理可得BF的长，最后利用 菱形的性质求解即可。 【小问1详解】 证明：ABAD。O0 是 的两条切线， .AD=AB,∠I=∠2 .AC垂直平分BD(三线合一)， .'CD=CB ,在RtAACE中，点B是AE的中点， BC=AB=-AE 2 .AD=AB=CB=CD. 四边形ABCD是菱形. 【小问2详解】 解：连接DB交AC于点F, B O :在RtAACE中，CE=4, 2 第18页/供25页 6学科网6组卷网 .AE=8 .AC=VAE2-CE2=V82-42=4V3 ,四边形ABCD是菱形， BD⊥AC,AF=CF, AB=BE, :BF是△ACE 是 中位线， F-CE-2 ∴.BD=2BF=4. SgMC=4C-BD=x ×4V3x4=83 22.综合与实践。 素材：2026年央视春晚的武术节目《武B0T》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精 彩动作（如图1、图2所示)·某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型 请你结合所学知识，解决下列问题： 图1 图2 任务一：如图3，机器人肩膀固定点0离地面高度OH=1.6米.长棍AB长2.4米，初始时水平（与地面 平行)，A端与点O重合.机器人让长棍绕A点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为30°时，长棍 的位置为AC 第19页/共25页 6学科网命组卷网 B Q(4) 30°T C H 77777777777777777777777 图3 (1)求此时长棍的C端到地面的高度； PO OR 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子 和1 0.3 通过链条连接而成，每段长0,3米。机器人手握P PO 端，使 保持竖直向上，同时让 袋P点在竖直平面内匀速旋转《链条长度忽略不计)。在某一时刻， .3 tana OR与竖直方向的夹角为：（α为锐角），测得 4.已知P点离地面MW高度为1.2米。 P M 图4 (2)求此时R点离地面MN的高度. 【答案】(1)0.4米 (2)0.66米 【解析】 【分析】(I)过点A作AH⊥DH于点H,过点C作CE⊥AB,并反向延长交地面DH于点D,则四 第20页/供25页 6学科网命组卷网 边形EDHA为矩形，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数求出CE的长，即可求解； (2)过点e作eF⊥M RK⊥FQ 于点F,过点R作 于点&，过点R作RG⊥MN 于点G,则四边形 RG次是后，求0点滨意为度在2，设K为3，K2为，为2R=5 ,然后在 Rt△RKQ KO 中，求出，即可求解 【小问1详解】 解：如图，过点A作AH⊥DH于点H,过点C作CE⊥AB,并反向延长交地面DH于点D,则四边形 EDHA为矩形， BE Q(4) 30° D H 77777777777777777777777 ∴.DE=OH=1.6 米， 在Rt4CE中，sin∠CAE=CE AC .AC=2.4,∠CAE=30° 米， ∴.sin30°= CE 2.4, ∴.CE=2.4×sin30°=2.4×0.5=1.2 (米) ∴C端到地面高度：CD=DE-CE=1.6-1.2=0.4(米) 答：长棍的C端到地面高度为0.4米. 【小问2详解】 QF⊥MN RK⊥FQ 解：如图，过点Q作 于点F,过点R作 于点K过点R作RG LMN于点G,则 第21页/供25页 6学科网6组卷网 四边形RGFK为矩形， R--K M P9=0.3 ,1.2 PO 米 ,P点离地高度为米，且 竖直向上， .FP=1.2 (米) ∴.9 FQ=1.2-0.3=0.9 点离地高度 (米) 3 tana 4,a为锐角， 在RaRK中，设KR为3张，K0为4， 由勾股定理，得QR=√KR+KQ2=5k cosa=ke4k4 =0.8 在Rt△RKQ中， OR 5k 5 QR=P9=0.3 (米) ∴.KQ=QR.cosa=0.3×0.8=0.24 (米) R RG=FK=FP-P9-K9=1.2-0.3-0.24=0.66 点离地高度 (米) 答：此时R离地面MW的高度为0.66米. 23.如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可 第22页/供25页 学科网命组卷网 y=--x2+bx+c 近似看成抛物线 4 (如图2)，已知小球从斜轨末端A(-2,0)抛出，轨迹经过y轴上的 点C,再经过 B(6,0).设P是抛物线上的动点，P的横坐标为 12 G B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)请写出抛物线的顶点坐标 (3)如图3，抛物线上两点M、N之间的部分记作抛物线弧MN(含端点)·过M、N分别作x轴的 重线人，与，过抛物线N的最高点和最低点分别作轴的垂线，么，直线，飞，，4用成的矩 MGNH MN 的特征矩形.若点P在第一象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为， CP 形 叫做抛物线弧 求√关于'的函数解析式. 【答案】(1)少=- 4 x2+x+3 (2) (2,4) (3)当0<1≤4时，f=21+2:当4<1<6时，f 2+2 2 【解析】 A(-2,0)B(6,0) 【分析】(1)因为抛物线经过点 和 ,所以将两点坐标代入抛物线交点式，即可得到抛物 线解析式. 第23页/共25页 6学科网6组卷网 b 4ac-b2 (2)如果已经得到抛物线的一般式，那么可以通过配方法或者顶点坐标公式 2a’4a 计算项点 坐标 (3)首先求出点C的坐标，再根据P的横坐标为t得到P的纵坐标；因为P在第一象限，所以分t不大于 顶点横坐标和t大于顶点横坐标两种情况，分别确定抛物线弧CP的最高点、最低点的纵坐标，以及特征 矩形的长和宽，结合矩形周长公式得到了关于的函数解析式 【小问1详解】 1 x2+bx+c 解：，抛物线 过点A(-2,0)和B(6,0), ∴抛物线的解析式为 4x+2x-可 y=- =-x2+x+3 4 y= 12+x+3 4 【小问2详解】 y=-x+x+3=-x-2y+4 解：对抛物线配方： 4 4 (2,4) 因此顶点坐标为 【小问3详解】 解：抛物线与y轴交点C(0,3),点P在第一象限，故0<t<6, T(2,4)、CP 抛物线顶点 为孤 最高点，分两种情况讨论最低点： 第24页/供25页 6学科网 命组卷网 ①当0<t≤4时： x2+x+323 yp=-- 4 CP最低点为C(0,3), 特征矩形的长为，宽为4-3=1，周长/=2(+0=21+2 4产+x+3<3 ②当4<1<6时：= ,弧CP最低点为P, 特征矩形的长为4宽为4-(4+x+3-4刊 周长了=2+7-1+刊小+2 第25页/共25页 梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第二次模拟测试数学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列四个选项中，为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 了解某批次灯泡的使用寿命 B. 了解某班级学生的数学作业完成情况 C. 了解某考场考生准考证的核对情况 D. 了解某班级学生的视力情况 4. 一个角是，则可化为多少分（ ） A. B. C. D. 5. 如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（ ） A. 44，38 B. 50，44 C. 60，54 D. 66，60 8. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 小宇从家到景区，小宇的路程为公里 B. 小宇途中停车观光的时间为分钟 C. 小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时 D. 小宇全程一共用时分钟 11. 现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 13. 点关于原点对称的点为______． 14. 若实数满足，则代数式的值为______． 15. 袋中有个球，红白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽个球，抽到红球的概率是______． 16. 已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 三、解答题（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题： 抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B a C 0.36 D 0.18 E 0.10 合计 1 （1）填空： ，此次调查中共抽取了 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； （3）该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数． 19. 某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． （1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ （2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 20. 在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：． 21. 如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以O为圆心作圆，，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． （1）求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． （2）求此时点离地面的高度． 23. 如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）请写出抛物线的顶点坐标 ； （3）如图3，抛物线上两点、之间的部分记作抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $