精品解析：2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题

梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第二次模拟测试数学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列四个选项中，为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 了解某批次灯泡的使用寿命 B. 了解某班级学生的数学作业完成情况 C. 了解某考场考生准考证的核对情况 D. 了解某班级学生的视力情况 4. 一个角是，则可化为多少分（ ） A. B. C. D. 5. 如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（ ） A. 44，38 B. 50，44 C. 60，54 D. 66，60 8. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 小宇从家到景区，小宇的路程为公里 B. 小宇途中停车观光的时间为分钟 C. 小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时 D. 小宇全程一共用时分钟 11. 现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 13. 点关于原点对称的点为______． 14. 若实数满足，则代数式的值为______． 15. 袋中有个球，红白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽个球，抽到红球的概率是______． 16. 已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 三、解答题（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题： 抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B a C 0.36 D 0.18 E 0.10 合计 1 （1）填空： ，此次调查中共抽取了 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； （3）该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数． 19. 某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． （1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ （2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 20. 在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：． 21. 如图，在中，，点是的中点，点是上一点，且，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． （1）求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． （2）求此时点离地面的高度． 23. 如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）请写出抛物线的顶点坐标 ； （3）如图3，抛物线上两点、之间的部分记作抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第二次模拟测试数学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列四个选项中，为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数小于判断即可． 【详解】解：A选项：既不是正数也不是负数，不是负数，故A选项不符合题意； B选项：，是正数，故B选项不符合题意； C选项：，是负数，故C选项符合题意； D选项：，是正数，故D选项不符合题意． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要判断图形是否同时满足轴对称和中心对称的定义，轴对称图形是指图形沿某直线折叠后两侧完全重合，中心对称图形是指图形绕某点旋转180度后与原图形完全重合． 【详解】解：选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形； 选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 了解某批次灯泡的使用寿命 B. 了解某班级学生的数学作业完成情况 C. 了解某考场考生准考证的核对情况 D. 了解某班级学生的视力情况 【答案】A 【解析】 【分析】当调查具有破坏性，或调查范围广、难以进行全面调查时，适合抽样调查，若调查范围小、对结果准确性要求高且不具有破坏性，适合全面调查（普查）． 【详解】解：∵了解某批次灯泡的使用寿命，调查过程会对灯泡造成破坏，无法对所有灯泡进行测试， ∴适合抽样调查， ∵选项B，C，D的调查范围均较小，可进行全面调查，结果准确性要求高， ∴适合普查． 4. 一个角是，则可化为多少分（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角度单位中， ∴． 5. 如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 7. 已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（ ） A. 44，38 B. 50，44 C. 60，54 D. 66，60 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出两种词牌每阕的总字数，再根据数量差、总字数差的关系列方程组求解即可． 【详解】解：∵《浣溪沙》每阕6句，每句7字， ∴每阕字数为， ∵《采桑子》每阕8句，每句6字， ∴每阕字数为， 设《浣溪沙》收录阕，《采桑子》收录阕，根据题意列方程组： ， 解得：． 8. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角可得 ，再由折叠可得 ． 【详解】∵， ∴， 由折叠可得． 9. 如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，然后根据角平分线的性质定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点到边的距离为． 10. 小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 小宇从家到景区，小宇的路程为公里 B. 小宇途中停车观光的时间为分钟 C. 小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时 D. 小宇全程一共用时分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的信息，结合路程、速度、时间的关系，对各选项逐一进行分析． 【详解】对于A，由函数图象可知，从家到景区，小宇的路程为公里，故A正确，不符合题意； 对于B，小宇途中停车观光的时间为分钟，故B正确，不符合题意； 对于C，小宇到景区的整个过程中，共花了分钟，即个小时，平均速度是公里/小时，故C正确，不符合题意； 对于D，小宇全程一共用时分钟，故D错误，符合题意. 11. 现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 解得． 12. 《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 13. 点关于原点对称的点为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，点的横纵坐标分别取相反数，可得点关于原点对称的点的坐标为． 14. 若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 【解析】 【详解】解：∵， ， 将代入得． 15. 袋中有个球，红白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽个球，抽到红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，如果一个事件有种等可能结果，事件包含种结果，那么事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，袋中共有个球，随机抽取1个球，所有等可能的结果共种，其中抽到红球的结果有种，因此抽到红球的概率为． 16. 已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 【答案】1.6 【解析】 【分析】线段的最小值即点到的距离．作，利用相似三角形对应边成比例求出即可． 【详解】解：过点E作，垂足为， ∵中，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， ∴当点与点重合时，线段最小，线段的最小值为米． 三、解答题（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 将，代入，原式． 18. 社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题： 抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B a C 0.36 D 0.18 E 0.10 合计 1 （1）填空： ，此次调查中共抽取了 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； （3）该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）0.2，50，见解析 （2）C （3）456人 【解析】 【小问1详解】 解：， 抽取学生总人数：人， ∵B组频数：， 所以频数分布直方图如图： 【小问2详解】 因为抽取学生总人数为50人，所以中位数为第25，26人一周参与社团活动时间的平均数，所以中位数落在C组； 【小问3详解】 人 答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数约为768人． 19. 某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． （1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ （2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 【答案】（1）每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 （2）最低费用为48000元 【解析】 【分析】（1）可设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人，根据等量关系：租用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车，列出方程组求解即可； （2）设租设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，根据题意列出不等式，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去） 经检验，是原方程的解且符合题意， 则每辆大容量巴士载客量为： 答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 【小问2详解】 解：设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，则： 解得： 又有： 随的增大而减小， 当时， （元） 答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元 20. 在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据即可证明； （2）证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ， 在和中 ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ， 又 又（公共角）， 21. 如图，在中，，点是的中点，点是上一点，且，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由切线长定理可得，，进而证明，利用直角三角形斜边中线的性质得，据此证明即可； （2）连接交于点，解可得和的长，利用中位线定理可得的长，最后利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，是的两条切线， ∴， ∴垂直平分（三线合一）， ∴． ∵在中，点是的中点， ∴ ． ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接交于点， ∵在中，，， ∴． ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴ ， ∴． ∴． 22. 综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． （1）求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． （2）求此时点离地面的高度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形，在中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解； （2）过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形，求出Q点离地高度，在 中，设为，为，则 ，然后在 中，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形， 米， 在中，， 米，， ， （米） ∴C端到地面高度： （米） 答：长棍的C端到地面高度为0．4米． 【小问2详解】 解：如图，过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形， 米，点离地高度为米，且竖直向上， （米） 点离地高度 （米） ，为锐角， ∴在 中，设为，为， 由勾股定理，得 ， ∴在 中， ， （米） （米） 点离地高度 （米） 答：此时R离地面的高度为米． 23. 如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）请写出抛物线的顶点坐标 ； （3）如图3，抛物线上两点、之间的部分记作抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式． 【答案】（1） （2） （3）当时， ；当时， 【解析】 【分析】（1）因为抛物线经过点和，所以将两点坐标代入抛物线交点式，即可得到抛物线解析式． （2）如果已经得到抛物线的一般式，那么可以通过配方法或者顶点坐标公式 计算顶点坐标． （3）首先求出点的坐标，再根据的横坐标为得到的纵坐标；因为在第一象限，所以分不大于顶点横坐标和大于顶点横坐标两种情况，分别确定抛物线弧的最高点、最低点的纵坐标，以及特征矩形的长和宽，结合矩形周长公式得到关于的函数解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线 过点 和 ， ∴抛物线的解析式为 ． ∴． 【小问2详解】 解：对抛物线配方：  ， 因此顶点坐标为 ． 【小问3详解】 解：抛物线与y轴交点，点P在第一象限，故， 抛物线顶点为弧最高点，分两种情况讨论最低点： ①当时： 弧最低点为， 特征矩形的长为t，宽为，周长 ， ②当时： ，弧最低点为P， 特征矩形的长为t，宽为 ， 周长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $