精品解析：广西梧州市2024—2025学年初中学业水平考试第二次模拟测试数学

梧州市2024—2025学年度初中学业水平考试第二次模拟测试 数学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 绝对值是（ ） A B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 平陆运河改变了广西临海但没有江河直接通航入海的现状．截至年6月，平陆运河项目累计完成投资约为元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点，，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形内接于，为直径，，连接．若半径为3，．则的长为（ ） A. B. C. D. 2 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图像上，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 14. 分解因式：______． 15. “海棠花窗”是中国建筑中常见的一种设计．如图是一个海棠花窗的制作示意图，点是正方形的边心距上的一点，以点为圆心，长为半径画弧，同样的作法得到其余三条和弧一样的等弧，已知正方形的边长是6，当时，这个海棠花窗的周长是______． 16. 如图，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕；将纸片展平，连接，把沿翻折得到，点恰好落在的中点处．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．） 17. （1）计算； （2）解方程组：． 18. 如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接．求证：四边形是菱形． 19. 某校在推进新课程改革的过程中，自主开发了五门校本课程，分别是：．人工智能探索；．传统文化寻根；．体质与健康；．山歌唱四方；．书香润心．每名同学根据自己的爱好只能选择其中一门课程，学校对全校同学的选课情况进行了随机抽样调查，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）补全条形统计图，课程所在的扇形的圆心角的度数是____； （2）若该校有名学生，请你估计该校选择课程的学生有多少名？ （3）某班有名同学，其中名同学选择课程，名同学选择课程，名同学选择课程．若从这名同学中随机抽取名同学，请你用列表法或画树状图的方法求抽取的这名同学都是选择课程的概率． 20. 如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮向左牵引小船靠岸，已知长绳段与水面平行，且岸边，当长绳段与水平方向的夹角时，船头离岸边的距离为米，已知甲板始终保持与水面平行，且到水面的距离为0.65米． （1）求定滑轮到水面的距离． （2）当小船受长绳牵引，船头前进到点处，此时长绳段与水平方向的夹角，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 21. 若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． （1）运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． （2）类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． （3）若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 22. 数学活动课上，同学们在刘老师指导下对二次函数进行了研究． （1）甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确． （2）刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围． 乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围． （3）刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值． 23. 在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． （1）当时，如图1，求证：圆与相切； （2）如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； （3）如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梧州市2024—2025学年度初中学业水平考试第二次模拟测试 数学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，熟记绝对值的意义是解题的关键；根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是 故选：D． 2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选B． 3. 平陆运河改变了广西临海但没有江河直接通航入海的现状．截至年6月，平陆运河项目累计完成投资约为元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于10的数，解题关键是理解科学记数法的一般形式． 用科学记数法的表示，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：，   故选：C ． 4. 如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等边对等角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得的度数，又由线段垂直平分线的性质可得，继而求得的度数，继而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选A． 8. 如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 9. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟进站旅客的人数是人，根据300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人． 根据题意，得， 故选：A． 10. 已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合． 分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求． 【详解】A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意． 故选：C． 11. 如图，四边形内接于，为直径，，连接．若半径为3，．则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，如图，连接，交于，求解，证明，求解，，，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于， ∵为直径， ∴， ∵半径为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图像上，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出点的横坐标，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入一次函数解析式中，求出，再求出点的坐标，过点作轴于点，过点作于点，可得，从而可证明（），再利用全等三角形的性质可得，，从而可求得的坐标，再求得中的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图象上， ∴，解得：， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数与轴相交于点， ∴， 过点作轴于点，过点作于点，则， ∵把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图像上， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 又点在反比例函数的图像上， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与反比例函数的综合运用，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的性质与判定（）综合，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 利用平方差公式来分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15. “海棠花窗”是中国建筑中常见的一种设计．如图是一个海棠花窗的制作示意图，点是正方形的边心距上的一点，以点为圆心，长为半径画弧，同样的作法得到其余三条和弧一样的等弧，已知正方形的边长是6，当时，这个海棠花窗的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，则，，解，求出，，则可求，再由弧长公式求出，再由海棠花窗的周长等于，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴这个海棠花窗的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，边心距，解直角三角形，求弧长，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 16. 如图，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕；将纸片展平，连接，把沿翻折得到，点恰好落在的中点处．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，根据矩形的性质得出，根据折叠可得，则，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理表示出，根据折叠可得，又点是中点，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，在中，勾股定理表示出，列出等式，即可得出，即． 【详解】解：连接， 设， 则在矩形中，， 根据折叠可得， 则， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 根据折叠可得， 又点是中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】该题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．） 17. （1）计算； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先开方，进行乘除运算，再进行加减运算，有括号的先算括号； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：． 18. 如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的画图步骤作图即可； （2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，，证明四边形是平行四边形，进一步可得结论. 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查的是作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等角对等边，熟记判定定理是解本题的关键. 19. 某校在推进新课程改革的过程中，自主开发了五门校本课程，分别是：．人工智能探索；．传统文化寻根；．体质与健康；．山歌唱四方；．书香润心．每名同学根据自己的爱好只能选择其中一门课程，学校对全校同学的选课情况进行了随机抽样调查，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）补全条形统计图，课程所在的扇形的圆心角的度数是____； （2）若该校有名学生，请你估计该校选择课程的学生有多少名？ （3）某班有名同学，其中名同学选择课程，名同学选择课程，名同学选择课程．若从这名同学中随机抽取名同学，请你用列表法或画树状图的方法求抽取的这名同学都是选择课程的概率． 【答案】（1）补全统计图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息综合，求扇形统计图圆心角度，样本估计总体，列表法求概率； （1）根据题意先求得样本的人数，进而求得的人数，补全统计图，根据的占比乘以求得圆心的度数； （2）用乘以的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的人数为：人， 选择课程的人数为：人， 选择课程的人数为：人， 补全统计图，如图， 课程所在的扇形的圆心角的度数是 故答案为：． 【小问2详解】 ∴估计该校选择课程的学生有名 【小问3详解】 解：列表如下， 共有种等可能的选法；抽取的这名同学都是选择课程的有2种， ∴抽取的这名同学都是选择课程的概率为． 20. 如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮向左牵引小船靠岸，已知长绳段与水面平行，且岸边，当长绳段与水平方向的夹角时，船头离岸边的距离为米，已知甲板始终保持与水面平行，且到水面的距离为0.65米． （1）求定滑轮到水面的距离． （2）当小船受长绳牵引，船头前进到点处，此时长绳段与水平方向的夹角，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【答案】（1） （2）卡车向左移动了 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形： （1）延长交于点，解直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）解直角三角形，求出的长，解直角三角形，求出的长，根据卡车移动的距离等于的长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， ∵， ∴， 由题意，得：， 在中，， ∴， ∴； 答：定滑轮到水面的距离为； 【小问2详解】 由（1）知：，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴卡车移动的距离； 答：卡车向左移动了． 21. 若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． （1）运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． （2）类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． （3）若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，解一元二次方程； （1）利用根与系数的关系可求出的值； （2）根据，代入求值即可； （3）先利用根与系数关系可求出，，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两根分别是，，则， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：由题意可得，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， 整理得， 解得， ∴． 22. 数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究． （1）甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确． （2）刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围． 乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围． （3）刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值． 【答案】（1）甲同学的说法正确 （2） （3）的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键． （1）根据可得结果； （2）把代入求出解析式，再结合函数图象求最大值和最小值即可得到的取值范围． （3）比较抛物线对称轴与的位置关系，分情况讨论分别结合增减性和顶点的特征求最值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴该函数的图象与轴都有两个交点． 故甲同学的说法正确． 【小问2详解】 解：把代入得到， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 当时，函数图象如图： 由图可得，在顶点处有最小值，当时有最大值， ∴的取值范围为． 【小问3详解】 解：（2）的函数解析式为， ∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小， ①当，即时，随增大而减小， ∴当时，有最大值；当时，有最小值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得，符合题意； ②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时， ∴在顶点处有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得， ∵，， 此时不符合题意； ③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时， ∴在顶点处有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得， ∵，， 此时符合题意； ④当，即时，随增大而增大， ∴当时，有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或． 23. 在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． （1）当时，如图1，求证：圆与相切； （2）如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； （3）如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）最小值为，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为长，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； 【小问2详解】 解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； 【小问3详解】 解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$