第15章 轴对称图形与等腰三角形（习题课件）2026-2027学年数学沪科版八年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称图形的定义及对称轴性质，通过“九达天衢”篆体字等中华传统文化实例导入，衔接图形认识基础，为后续等腰三角形学习搭建直观认知支架。 特色在于融合传统文化与数学探究，如围棋棋盘轴对称设计、正多边形对称轴规律探究，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识和数学思维的推理能力。采用问题驱动与动手操作结合的教学方法，帮助学生深化概念理解，教师可借助丰富题型提升教学实效。

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 角的平分线 第3课时 三角形的角平分线 　　三角形三条内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，这一结论便于求点到线段的距离；反之，到三角形三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，利用这一结论，可以通过作角平分线的交点，找出到三边距离相等的点. 知识点1 三角形的角平分线的性质 1.如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠C＝46°，D是AC上一点，连接BD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若DE＝DF，则∠DBF的度数为(　　) A.20°　　 B.25°　　 C.31°　　 D.35° (第1题) 返回 C 基础提优题 2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，50，AO，BO，CO分别是三个内角的平分线，则S△AOB∶S△BOC∶ S△AOC等于(　　) A.3∶4∶5　　 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4　　 D.1∶1∶1 (第2题) 返回 A 基础提优题 知识点2 三角形的角平分线的性质的应用 3.如图所示，这是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在　 　. (第3题) △ABC的三条角平分线的交点处 返回 基础提优题 4. ［2026亳州模拟］如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③∠C＋∠ABD＝180°；④AC－AB＝2BE，其中正确的结论序号为　　　　　　. (第4题) ①②③④ 综合应用题 【点拨】∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠E＝∠DFC ＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△BDE ≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF，故①正确； (第4题) 综合应用题 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∴AD平分∠BAC，故②正确；∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠EBD＝∠C.又∵∠EBD＋∠ABD＝180°，∴∠C＋∠ABD＝180°，故③正确； (第4题) 综合应用题 在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌ Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∴AB＋BE＝AC－FC，∴AC－AB＝BE＋FC＝2BE，故④正确.综上所述，正确的结论序号为①②③④. 返回 (第4题) 综合应用题 5. 已知点C是∠MAN平分线上的一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC＋∠ADC＝180°.过点C作CE⊥AB，垂足为E. (1)如图①，求证：BC＝DC； 【证明】证法1：如图①，过点C作CF⊥AN，垂足为F. ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AN，∴CE＝CF，∠CEB＝∠CFD＝90°. 综合应用题 ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF. 在△BCE和△DCF中，∵ ∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴BC＝DC. 综合应用题 证法2：如图②，在射线AM上取一点O，使AO＝AD. 在△ACD和△ACO中，∵ ∴△ACD≌△ACO，∴CD＝CO，∠ADC＝∠AOC. 又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠AOC＋∠COB＝180°， ∴∠COB＝∠OBC. 又∵∠CEO＝∠CEB＝90°，CE＝CE， ∴△CEO≌△CEB，∴CO＝CB，∴BC＝DC. 综合应用题 (2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB，AD与BE之间的等量关系，并说明理由； 【解】AD－AB＝2BE.理由如下：如图③，过点C作CF⊥AD，垂足为F.∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，∴CE＝CF.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE. 综合应用题 在△BCE和△DCF中，∵ ∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴DF＝BE. ∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)， ∴AF＝AE，∴AD＝AF＋DF＝AE＋DF＝AB＋BE＋DF＝AB＋2BE，∴AD－AB＝2BE. 综合应用题 (3)如图③，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G.若BG＝1，DF＝2，请直接写出线段DB的长. 【点拨】如图④，在BD上截取BH＝BG，连接OH. ∵BO平分∠ABD，∴∠OBH＝∠OBG. 又∵OB＝OB，∴△OBH≌△OBG(SAS)，∴∠OHB＝∠OGB，∠BOH＝∠BOG. 综合应用题 ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴DO是∠ADB 的平分线，∴∠ODH＝∠ODF.∵∠OHB＝∠ODH ＋∠DOH，∠OGB＝∠ODF＋∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF. 综合应用题 返回 在△ODH和△ODF中，∵ ∴△ODH≌△ODF(ASA)，∴DH＝DF， ∴DB＝DH＋BH＝DF＋BG＝2＋1＝3. 【解】线段DB的长为3. 综合应用题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的性质与判定 1.角平分线上的点到角两边的距离是指角平分线上的点到角两边的垂线段的长. 2.角平分线的性质是证明线段相等的一个重要方法，应用时要注意两点：一是不要漏掉垂直关系这个关键条件；二是直接得到线段相等，而不必再证两三角形全等. 知识点1 角平分线的性质 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　) A.PC＝PD B.OC＝OD C.∠CPO＝∠DPO D.∠CPD＝∠DOC 返回 D 基础提优题 2.已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　) A.　　 B.2　　 C.3　　 D. 返回 C 基础提优题 3. 如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　　. (第3题) 7 基础提优题 【点拨】∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.∵点O到BC的距离为3.5，∴点O到AB的距离为3.5.∵AB＝4，∴△ABO的面积为×4×3.5＝7. 返回 (第3题) 基础提优题 知识点2 角的平分线的判定 4.［2026东莞期末］如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是(　　) A.3 cm　　 B.2 cm　　 C.2.5 cm　　 D.3.5 cm (第4题) A 返回 基础提优题 5.如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，BM⊥AC于点M，ND⊥BC于点D，且AM＝NM＝ND，若∠A＝70°，则∠C的度数为　　　. 50° 基础提优题 【点拨】∵BM⊥AC，∴∠AMB＝∠NMB＝90°.又∵AM＝NM，BM ＝BM，∴△ABM≌△NBM，∴∠ABM＝∠NBM.∵∠A＝70°，∴∠ABM＝90°－70°＝20°，∴∠NBM ＝20°.∵ND⊥BC，NM⊥BM，NM＝ND，∴BN平分∠MBD，∴∠DBN＝∠NBM＝20°，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝180°－70°－60°＝50°. 返回 基础提优题 6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求证：DE平分∠ADC； 【证明】过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图所示， ∵EF⊥BF，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝40°. 又∵∠BAD＝100°，∴∠DAE＝180°－∠BAD－∠FAE＝40°＝∠FAE，∴AC平分∠FAD. 基础提优题 又∵EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG. ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH，∴EG＝EH. 又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC. 基础提优题 (2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则S△ABE＝　 . 【点拨】∵S△ACD＝15，EG＝EH＝EF，∴×AD×EG＋×CD×EH＝15，即×4×EG＋×8×EG＝15，解得EG＝，∴EF＝EG＝，∴△ABE的面积为×AB×EF＝×7×＝. 返回 基础提优题 易错点 因考虑问题不全面而漏解 7.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　　处. 4 基础提优题 到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点共有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易因认为满足条件的点只有1处而导致漏解. 返回 基础提优题 8. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE和CD交于点F，连接AF.下列结论中不一定成立的是(　　) A.BE＝CD B.∠EFC＝90° C.AF平分∠BFC D.∠DAF＝∠DCA • • • • • D 综合应用题 【点拨】由题意得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC， ∴△BAE≌△DAC(SAS)， ∴BE＝CD，故A正确，不符合题意； 综合应用题 如图①，∵△BAE≌△DAC， ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4， ∴∠DFB＝∠DAB＝90°， ∴∠EFC＝90°，故B正确，不符合题意； 综合应用题 如图②，过点A作AM⊥BE于点M，作AN⊥DC于点N. ∵△BAE≌△DAC， ∴S△BAE＝S△DAC， ∴BE•AM＝CD•AN. ∵BE＝CD，∴AM＝AN. 又∵AM⊥BE，AN⊥DC， ∴FA平分∠BFC，故C正确，不符合题意； 现有条件不足以证明∠DAF＝∠DCA，故D错误，符合题意，故选D. 返回 综合应用题 9. ［2026宿州模拟］如图，钝角三角形ABC的面积为14，最长边AB＝7，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值为　　. (第9题) 4 综合应用题 【点拨】如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，此时CM＋MN有最小值.∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴CM＋MN＝CM＋ME＝CE.∵三角形ABC的面积为14，AB＝7，∴×7•CE＝14， ∴CE＝4，即CM＋MN的最小值为4. 返回 综合应用题 10. 如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝24°，且满足OF＝4.若点B是射线ON上的一个动点(不与点O重合)，连接AB，作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B的运动过程中，当CF取最小值时，∠OFC的度数为　　　　. (第10题) 69° 综合应用题 【点拨】如图，作CE⊥PQ于点E，CG⊥MN于点G，CH⊥AB于点H，连接OC.∵AC平分∠PAB，CE⊥PQ，CH⊥AB，∴CE＝CH.同理可得CG＝CH，∴CE＝CG，∴OC平分∠AOB，即点C在∠AOB的平分线上.∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∴∠AOC＝45°. 综合应用题 ∵∠AOF＝24°，∴∠FOC＝45°－24°＝21°.作FC′⊥OC于点C′，则C′F≤CF，即当CF取最小值时，点C与C′重合.∵∠FC′O＝90°，∴∠OFC′＝90°－21°＝69°，∴当CF取最小值时，∠OFC的度数为69°. 返回 综合应用题 11. ［2026池州期末］如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN.若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB. (1)求证：OP平分∠AOB； 【证明】如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E. ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， 综合应用题 ∴PC＝PD. ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE，∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB. 综合应用题 (2)若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，则线段OM与ON的长度之和为　　　. 20 【点拨】∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16，即×8•PD＝16，∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4. ∵△OMN的面积是24，∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积＋△OMN的面积＝16＋24＝40， 综合应用题 ∴△POM的面积＋△PON的面积＝40， ∴OM•PC＋ON•PE＝40， ∴OM•4＋ON•4＝40，∴OM＋ON＝20， 即线段OM与ON的长度之和为20. 返回 综合应用题 12. 【材料探究】如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等.反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？ 创新拓展题 如图①，点Q在∠AOB内，且QC⊥OA，QD⊥OB， 垂足分别为C，D，QC＝QD，作射线OQ.因为 ∠QCO＝∠QDO＝90°，QC＝QD，OQ＝OQ， 所以Rt△QCO≌Rt△QDO，所以∠AOQ＝∠BOQ， 即点Q在∠AOB的平分线上. (1)材料中证明两个三角形全等的方法是　 　　. HL 创新拓展题 (2)【拓展探究】如图②，点P在∠AOB内，点M，N分别在OB，OA上，连接PM和PN，若PM＝PN且∠PMO＋∠PNO＝180°，能否说明点P在∠AOB的平分线上？请说明理由. 【解】能.理由如下：如图①， 过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，则∠PEM＝∠PFN＝90°. 创新拓展题 ∵∠PMO＋∠PME＝180°，∠PMO＋∠PNO＝180°， ∴∠PME＝∠PNO. 在△PME和△PNF中，∵ ∴△PME≌△PNF(AAS)，∴PE＝PF， ∴点P在∠AOB的平分线上. 创新拓展题 (3)【拓展应用】如图③，△ABC是边长为4的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长. 【解】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝30°. ∵△ABC是边长为4的等边三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝AC＝4， ∴∠DBA＝∠DCA＝90°. 创新拓展题 如图②，延长AB至点F，使BF＝CN，连接DF， 则∠FBD＝90°＝∠DCN. 在△BDF和△CDN中， ∵ ∴△BDF≌△CDN(SAS)， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN. 创新拓展题 ∵∠MDN＝60°，∴∠BDM＋∠CDN＝60°. ∴∠FDM＝∠BDM＋∠BDF＝60°. ∴∠MDN＝∠FDM. 在△DMN和△DMF中，∵ ∴△DMN≌△DMF(SAS)，∴MN＝MF. ∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋MF＋AN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AM＋MB＋CN＋AN＝AB＋AC＝8. 返回 创新拓展题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的边角的性质 “等边对等角”是针对同一个三角形而言的，若在两个三角形中，这个结论不成立. 知识点1 等腰三角形的“等边对等角”的性质 1.如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝　 . (第1题) 65° 返回 基础提优题 2.如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为　　　　. (第2题) 返回 100° 基础提优题 3.如图，在点O处用钉子将木条AB，CD钉在一起，P是木条CD上一点，用橡皮筋连接AP，BP，固定木条AB，把木条CD绕点O转动.若O是AB的中点，当△PAB的面积最大时，∠PAO与∠PBO之间存在的数量关系为　　　 　　　. (第3题) 返回 ∠PAO＝∠PBO 基础提优题 4.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是(　　) A.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE (第4题) 返回 A 基础提优题 知识点2 等边三角形的性质 5.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H.小花放入一张等边三角形纸片BDE，点E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，点G在BC上.小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片底边BC的长应为　　. (第5题) 返回 11 基础提优题 6.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB的长为半径作弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则∠DEC＝(　　) A.20°　　 B.25°　　 C.30°　　 D.35° (第6题) 返回 C 基础提优题 7.如图，△ABC，△ADE都是等边三角形，且AD是∠BAC的平分线，连接BE，有下列结论： ①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD. 其中正确的个数为(　　) A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.0 (第7题) A 基础提优题 【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC＝60°.∵AD是角平分线，∴∠BAD ＝30°，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，①正 确.∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°， AE＝AD.∴∠BAE＝30°＝∠BAD.又∵AF＝AF，∴△EAF≌△DAF(SAS)，∴EF＝FD，∠AFE＝∠AFD＝90°，即AF垂直平分DE，∴BE＝BD.故②③正确.∴正确结论的个数是3. 返回 (第7题) 基础提优题 易错点 求角的度数时考虑问题不全而漏解 8. 在等腰△ABC中，若AB最长，且∠B＝30°，则∠C＝　　　 　. 75°或120° 返回 基础提优题 9. 如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”(　　) A.1对　　 B.2对　　 C.3对　　 D.4对 D 综合应用题 【点拨】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABE和△ACD中，∵ ∴△ABE≌△ACD(SAS). ∴AD＝AE.又∵AB＝AB，∠B＝∠B，∠BAD≠∠BAE，∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.同理可得，△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”，△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”，△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”.∴题图②中共有4对“伪全等三角形”.故选D. 返回 综合应用题 10. 如图，A1，A2，A3是∠MON的边ON上顺次排列的三个不同的点，B1，B2是∠MON的边OM上顺次排列的两个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3. (1)当∠MB1A2＝45°时，∠MON＝　　； 15° 综合应用题 【点拨】∵OA1＝A1B1＝B1A2，∴∠MON＝∠A1B1O，∠B1A1A2＝∠B1A2A1.∵∠B1A1A2＝∠MON＋∠A1B1O，∠MB1A2＝∠MON＋∠B1A2A1，∴∠B1A2A1＝∠B1A1A2＝2∠MON，∴∠MB1A2＝3∠MON＝45°，∴∠MON＝15°. 综合应用题 (2)若OM边上不存在点B3，使得A3B3＝B2A3，则∠MON的度数最小是　　　. 18° 综合应用题 【点拨】∵B1A2＝A2B2＝B2A3，∴∠A2B1M＝∠A2B2B1＝3∠MON，∠B2A2A3＝∠B2A3A2.∵∠B2A2A3＝∠MON＋∠A2B2B1＝4∠MON，∴∠MB2A3＝∠MON＋∠B2A3A2＝5∠MON.∵OM边上不存在点B3，使得A3B3＝B2A3，∴∠MB2A3的度数最小是90°，∴5∠MON＝90°，∴∠MON的度数最小是18°. 返回 综合应用题 【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°. ∵∠EFD＝60°，∴∠BAC＝∠EFD. ∴∠HAF＋∠CAD＝∠HAF＋∠AHG. ∴∠CAD＝∠AHG. 11. 如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边上一点(点D不与端点重合).作点D关于直线AB的对称点E，连接AE，在射线DA上取一点F，使∠EFD＝60°，延长EF与AC所在直线交于点G. (1)求证：∠CAD＝∠AHG； 综合应用题 (2)若AD＝2，求EG的长； 【解】∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴AE＝AD＝2，∠BAE＝∠BAD. 设∠BAE＝∠BAD＝α， 则∠EAG＝∠BAC＋∠BAE＝60°＋α，∠FAG＝∠BAC－∠BAD＝60°－α.∵∠AFG＝∠EFD＝60°， ∴∠AGF＝180°－∠AFG－∠FAG＝180°－60°－(60°－α)＝60°＋α. ∴∠EAG＝∠AGF.∴EG＝AE＝2. 综合应用题 (3)当点D在BC边上运动时，△ABC，△ABD，△AEG的面积之间的数量关系为　　　　　　　　 　　. S△ABC＝2S△ABD＋S△AEG 综合应用题 【点拨】如图，在BC上截取CQ＝BD，连接AQ，设∠BAE＝∠BAD＝x.易得△ABD≌ △ACQ.∴S△ABD＝S△ACQ，∠CAQ＝∠BAD＝x，AD＝AQ.∴∠DAQ＝60°－2x，同(2)得 返回 ∠EAG＝∠AGF＝60°＋x，∴∠AEG＝180°－2(60°＋x)＝60°－2x.∴∠AEG＝∠DAQ.易知AE＝AD＝EG＝AQ， ∴△EAG≌△ADQ(SAS)，∴S△AEG＝S△ADQ.∴S△ABC＝S△BAD＋S△ACQ＋S△ADQ＝2S△ABD＋S△AEG. 综合应用题 12. 如图①，已知直线y＝2x＋2与y轴、x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形ABC. (1)求点C的坐标，并求出直线AC，BC的表达式. 【解】如图①，过点C作CH⊥x轴，垂足为H. 在直线y＝2x＋2中，令x＝0，可得y＝2， ∴A(0，2). 令y＝0，可得x＝－1，∴B(－1，0). 创新拓展题 ∴OA＝2，OB＝1. ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°. ∴∠CBH＋∠ABO＝90°. ∵∠AOB＝90°， ∴∠BAO＋∠ABO＝90°. ∴∠BAO＝∠CBH. 创新拓展题 在△CBH和△BAO中，∵ ∴△CBH≌△BAO(AAS). ∴CH＝OB＝1，HB＝OA＝2. ∴OH＝OB＋HB＝3.∴C(－3，1). 创新拓展题 设直线AC的表达式为y＝kx＋b，把A(0，2)，C(－3，1) 的坐标代入，得解得 ∴直线AC的表达式为y＝x＋2. 创新拓展题 设直线BC的表达式为y＝mx＋n，把B(－1，0)，C(－3，1)的坐标代入，得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x－. 创新拓展题 (2)如图②，直线CB交y轴于点E，在CB的延长线上取一点D，连接AD，且AD＝AC，则点D的坐标为　　　 　. (1，－1) 创新拓展题 【点拨】如图②，过点D作DF⊥y轴于点F，过点C作CG⊥y轴于点G. ∵C(－3，1)，∴OG＝1， ∴AG＝OA－OG＝1. ∵在等腰直角三角形ABC中， AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴∠CAD＝180°－45°－45°＝90°，即∠CAG＋∠DAF＝90°. 创新拓展题 又∵∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠CAG＝∠ADF. 在△CAG和△ADF中，∵ ∴△CAG≌△ADF(AAS)，∴DF＝AG＝1，AF＝CG＝3，∴OF＝AF－OA＝3－2＝1，∴D(1，－1). 创新拓展题 (3)如图③，在(1)的条件下，直线AC交x轴于点M，P是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】在线段BM上存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积.如图③. ∵直线BC的表达式为y＝－x－，P是线段BC上一点， ∴k＝－×－＝， ∴P. 创新拓展题 返回 将y＝0代入直线AC的表达式y＝x＋2，得0＝ x＋2，解得x＝－6， ∴M(－6，0)，∴BM＝－1－(－6)＝5， ∴S△BCM＝×5×1＝. ∵S△PBN＝S△BCM，∴BN×＝×，解得BN＝， ∴ON＝OB＋BN＝1＋＝，∴N. 创新拓展题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线的作法 作图的一般步骤：首先明确已知、求作，其次画出草图分析，按照作图的步骤，准确叙述作法，并完成作图. 知识点1 用尺规作图法作线段的垂直平分线 1.如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是(　　 ) 返回 D 基础提优题 2.［2026池州模拟］如图，已知△ABC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若AE＝5，△ABD的周长为20，则△ABC的周长是　　　. (第2题) 30 基础提优题 【点拨】由作图得，DE垂直平分AC，∴CE＝AE＝5，DA＝DC.∵△ABD的周长为20，∴AB＋BD＋DA＝20，∴AB＋BD＋DC＝20，即AB＋BC＝20，∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝20＋5＋5＝30. 返回 (第2题) 基础提优题 3.如图，按以下步骤作图：(1)在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；(2)作直线MN交BC于点D；(3)连接AD.若AB＝AC，∠CAD＝54°，则∠C的度数为　　　. (第3题) 42° 基础提优题 【点拨】由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝2∠C.在△ADC中，∠CAD＋∠ADC＋∠C＝180°，∴54°＋2∠C＋∠C＝180° ，∴∠C＝42°. 返回 (第3题) 基础提优题 知识点2 垂直平分线的实际应用 4. A，B，C三名同学玩“抢凳子”游戏.他们所站的位置围成一个△ABC，在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的(　　 ) A.三边垂直平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高的交点 A 返回 基础提优题 5.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是(　　) A.点E B.点F C.点G D.点H B 基础提优题 【点拨】易知，到△ABC三个顶点距离相等的点为三边垂直平分线的交点，由题图可得，FH垂直平分BC，故排除A，C选项；点H很明显不在AC的垂直平分线上，故排除选项D. 返回 基础提优题 6.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置. 【解】(方法不唯一)如图，点P即为售票中心. 返回 综合应用题 7. 某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站点E，按要求完成下列作图(保留作图痕迹，不要求写作法). (1)如图①，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置(要求利用尺规作图)； 【解】如图①，点D即为所求. 综合应用题 (2)如图②，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站点E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站点E的位置. 返回 【解】如图②，点E即为所求. 综合应用题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 第3课时 平面直角坐标系中的轴对称图形 1.两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；横、纵坐标顺序不能颠倒. 2.作已知图形关于直线x＝m或y＝n的对称图形的方法：(1)求出特殊点的对称点的坐标；(2)描点；(3)连线. 知识点1 关于x轴对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是(　　) A.(－2，－3)　　 B.(－2，3) C.(2，－3)　　 D.(2，3) D 返回 基础提优题 2.在直角坐标系中，△ABC各点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2，1)，则点A2的坐标为　　　　. 返回 (1，3) 基础提优题 知识点2 关于y轴对称的点的坐标 3.如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是(　　) A.　　 B. C.(0，3)　　 D.(0，－3) (第3题) 返回 A 基础提优题 4.如图，四盏相同的灯笼(看成点)放置在平面直角坐标系中，坐标分别是A(－3.5，b)，B(－2，b)，C(－1，b)，D(1，b)，将其中一盏灯笼向右平移m个单位长度，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值是(　　) A.3　　 B.4　　 C.4.5　　 D.5.5 (第4题) D 基础提优题 【点拨】∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b.∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴.∵C(－1，b)，D(1，b)，∴C，D关于y轴对称，∴平移只需使A，B关于y轴对称即可.∵A(－3.5，b)，B(－2，b)，∴可以将点 (第4题) A(－3.5，b)向右平移到(2，b)，平移5.5个单位长度，也可以将B(－2，b)向右平移到(3.5，b)，平移5.5个单位长度. 基础提优题 由题可知点C，D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需平移A或B，进而可求解. 返回 基础提优题 易错点 混淆轴对称点的横、纵坐标的变化特征导致出错 5.在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称.已知A1(1，2)，则点A2的坐标是　　 　 　. (－1，－2) 返回 基础提优题 6.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(　　) A.点A　　 B.点B　　 C.点C　　 D.点D B 返回 综合应用题 7. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a，b)，则经过第2 026次变换后，点A的对应点的坐标为　　 　　. (－a，－b) 综合应用题 【点拨】A(a，b)第1次变换后的坐标为(a，－b)，第2次变换后的坐标为(－a，－b)，第3次变换后的坐标为(－a，b)，第4次变换后的坐标为(a，b)，…，∴每4次一个循环.∵2 026÷4＝506……2，∴经过第2 026次变换后点A的对应点的坐标是(－a，－b). 返回 综合应用题 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是 第一、三象限的角平分线. 【实验与探究】 (1)观察图易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的 坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)，C(－2，5)关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出他们的坐标：B′　　　，C′　　　　. (3，5) (5，－2) 【解】点B′，C′的位置如图. 综合应用题 【归纳与发现】 (2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为　　　　. (b，a) 综合应用题 【运用与拓广】 (3)已知两点D(1，－3)，E(－1，－4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D，E两点的距离之和最小，则点Q的坐标为 　　　 　. 综合应用题 【点拨】作点D关于直线l的对称点D′，连接ED′交直线l于点Q，连接QD，点Q即为所求. D(1，－3)关于直线l的对称点为D′(－3，1).设直线ED′的表达式为y＝kx＋b(k≠ 0)，把E(－1，－4)，D′(－3，1)的坐标分别代入，得 ∴∴直线ED′的表达式为y＝－x－.联立得解得 ∴Q. 返回 综合应用题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的“三线合一” 　　应用“三线合一”性质的前提必须是等腰三角形，在这个前提下，已知“三线”中任意一条，便可直接得到另外两条线段.等腰三角形“三线合一”的性质常常用来证明角相等、线段相等和线段垂直. 知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质 1.如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大 于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点 E，若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为　　　°. (第1题) 返回 55 基础提优题 2. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件中不能说明AD⊥BC的是(　　) A.∠ADB＝∠ADC　　 B.∠B＝∠C C.BD＝CD　　 D.AD平分∠BAC (第2题) 返回 B 基础提优题 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC中点，连接AD，若∠BAD＝y，∠B＝2x，则y与x之间的函数关系图象 是(　　) (第3题) 返回 D 基础提优题 4. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　　) A.18　　 B.9　　 C.9　　 D.6 (第4题) C 基础提优题 【点拨】连接AD，如图.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴AD＝BD＝DC.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF.∴S四边形AEDF＝S△AED＋S△ADF＝S△CFD＋S△ADF＝S△ADC＝S△ABC.又∵S△ABC＝6×6×＝18，∴S四边形AEDF＝S△ABC＝9. 返回 基础提优题 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为(　　) A.10　　　　　B.11 C.12　　　　　D.13 C 综合应用题 【点拨】如图，连接AD，AG， ∵AB＝AC，D为边BC的中点，BC＝6， ∴AD⊥BC，BD＝BC＝3. ∵S△ABC＝27， ∴BC•AD＝×6AD＝27， 综合应用题 解得AD＝9.∵直线EF垂直平分线段AB，∴AG＝BG， ∴△BDG的周长为BD＋BG＋DG＝3＋AG＋DG.由两点之间线段最短可知，当A，G，D三点共线时，AG＋DG的值最小，最小值为AD的长，∴△BDG周长的最小值为3＋AD＝3＋9＝12. 返回 综合应用题 6. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E是线段AD上一点.BF⊥CE于点F，BF交CD于点G. (1)如图①，求证： 【证明】①∵BF⊥CE， ∴∠CBG＋∠BCF＝90°. 又∵∠ACE＋∠BCF＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠CBG. 综合应用题 由①知∠ACE＝∠CBG， 在△AEC和△CGB中，∵ ∴△AEC≌△CGB(ASA)，∴AE＝CG. ②∵D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°. ∴∠CAE＝∠BCG. 综合应用题 (2)如图②，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请在图中找出与BE相等的线段，并证明. 【解】BE＝CM.证明如下： ∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°， ∴∠CMA＝∠BEC. 综合应用题 返回 由(1)②知∠ACM＝∠CBE＝45°. 在△BCE和△CAM中，∵ ∴△BCE≌△CAM(AAS)，∴BE＝CM. 综合应用题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 第1课时 轴对称图形 1.轴对称图形是对于一个图形而言的，反映的是其自身的对称性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上. 2.对称轴是一条直线，而不是射线或线段. 3.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条. 知识点1 轴对称图形 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是(　　) A 　　 B　　 C　　 D C 返回 基础提优题 2.已知下列4个图形：①角；②线段；③直角三角形；④正方形.其中一定是轴对称图形的有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 C 返回 基础提优题 知识点2 对称轴 3.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是(　　) A 　　 B　　 C　 D D 返回 基础提优题 4.下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴. 【解】①③④是轴对称图形.画对称轴如图. 返回 基础提优题 易错点 判断轴对称图形对称轴的条数出错 5.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( 　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.5 D 基础提优题 【点拨】如图所示，该图形有5条对称轴. 返回 基础提优题 6. 围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　　　　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上) A或C 返回 综合应用题 7.(1)观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①、图②、图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：　　 　　　　，　　　　 　　. 都是轴对称图形 面积相等(答案不唯一) 综合应用题 (2)动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在(1)中发现的共同特征. 返回 【解】设计的新图案如图.(答案不唯一) 综合应用题 8. 如图所示的图形都是正多边形. (1)通过观察或折纸的方法找对称轴完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 … n 对称轴的条数             …   3 4 5 6 7 8 n 综合应用题 (2)通过(1)，你有什么发现？用自己的语言写一写. 返回 【解】通过(1)，发现正多边形对称轴的条数等于正多边形的边数. 综合应用题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 第2课时 轴对称 轴对称图形和成轴对称的性质中关键有两点：一是对应图形的全等性，根据全等的性质可得到对应的边、角相等；二是对称轴的垂直平分性，揭示对称轴与对应点所连线段之间的位置关系. 知识点1 两个图形成轴对称 1.如图所示的4组图形中，成轴对称的是(　　) 返回 D 基础提优题 2.如图，关于虚线成轴对称的有(　　) A.1组　　　　 B.2组　　　　 C.3组　　　　　 D.4组 返回 B 基础提优题 知识点2 线段的垂直平分线 3.已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是(　　) A.若MN交AB于点O，则OM＝ON，且MN⊥AB B.AB平分线段MN C.线段AB的垂直平分线有且只有MN这一条 D.MN可以是射线，也可以是直线或线段 返回 C 基础提优题 4.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中，正确的说法有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.0个 返回 B 基础提优题 知识点3 轴对称及轴对称图形的性质 5.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的(　　) A.中线 B.高线 C.角平分线 D.以上都不是 返回 C 基础提优题 6.如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列不一定正确的 是(　　) A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 返回 A 基础提优题 7.［2026淮北期末］如图，在△ABC中，∠B＝35°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是(　　) A.55°　　 B.65°　　 C.70°　　 D.75° (第7题) C 基础提优题 【点拨】如图. 由折叠的性质可知∠B＝∠D＝35°， 根据外角的性质可知∠1＝∠B＋∠3，∠3＝∠2＋∠D，∴∠1＝∠B＋∠2＋∠D＝∠2＋70°，∴∠1－∠2＝70°. 返回 基础提优题 8.［2025徐州］如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE.若△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，则BD∶DC＝　　　　. (第8题) 2∶3 基础提优题 【点拨】∵△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，∴△ACE的面积为8－5＝3.由折叠可得△DCE的面积为3，∴△BDE的面积为2，∴BD∶DC＝2∶3. 返回 (第8题) 基础提优题 知识点4 画轴对称图形 9.在下面各图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称. 【解】△A′B′C′如图所示. 返回 基础提优题 10.［武汉武昌区自主招生］在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在下图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画(　　) A.5个　　 B.6个　　 C.7个　　 D.8个 C 综合应用题 【点拨】如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称.故选C. 综合应用题 返回 正方形网格中，对称轴的位置有三种情况：水平的，竖直的，沿对角线的.按分类逐个尝试即可. 综合应用题 11.如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是点P分别以直线AB，BC，AC为对称轴的对称点，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝　　　　. (第11题) 360° 综合应用题 【点拨】连接AP，PB，PC.∵D，E，F是点P分别以直线AB，BC，AC为对称轴的对称点，∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°. 返回 (第11题) 综合应用题 12. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的值最小，则这个最小值为　　. (第12题) 6 综合应用题 【点拨】连接BP.∵点B与点D关于直线AC对称，∴PB＝PD.∴PD＋PE＝PB＋PE≥BE.∴PD＋PE的最小值即为BE的长.∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AB＝6.∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝6.∴PD＋PE的最小值为6. (第12题) 综合应用题 求两条线段和的最小值时，可以利用轴对称的性质，将其中一条线段转化到该直线的另一侧，利用或求两条线段和的最小值. 返回 综合应用题 13. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置，再沿AD边将∠A′折叠到∠H处，已知∠FEH＝12°，则∠AEF＝　　　　. (第13题) 116° 综合应用题 【点拨】根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A′EF，∠A′EG＝∠HEG.设∠AEF＝∠A′EF＝x°，则∠A′EH＝∠A′EF－∠FEH＝(x－12)°，∴∠A′EG＝∠HEG＝∠A′EH＝°.由∠AEF＋∠FEH＋∠HEG＝180°，可得x＋12＋＝180，解得x＝116，即∠AEF＝116°. 返回 (第13题) 综合应用题 14. 如图，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN分别交OA，OB于点E，F. (1)若MN＝20 cm，求△PEF的周长； 【解】设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T.∵点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，∴易证△MER≌△PER，△NFT≌△PFT， ∴ME＝PE，NF＝PF. ∴PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20 cm， 即△PEF的周长是20 cm. 综合应用题 (2)若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数. 【解】由(1)易知∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN. ∴∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N. 由题知∠PRE＝∠PTF＝90°， ∴在四边形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°. ∵∠MPN＋∠M＋∠N＝180°， ∴∠M＋∠N＝∠AOB＝35°. ∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝180°－2(∠M＋∠N)＝180°－35°×2＝110°. 综合应用题 (3)连接OM，ON，OP，若∠AOB＝45°，OP＝18 cm，求△OMN的面积. 返回 【解】由轴对称的性质可知∠MON＝2∠AOB＝90°，OM＝ON＝OP＝18 cm， ∴S△OMN＝OM•ON＝162 cm2. 综合应用题 15. 如图①，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称. (1)如图①，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝　　　　； 22.5° 创新拓展题 (2)如图②，∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，若OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数； 【解】如图①.∵OP和OP1关于OB对称，∴∠POP1 ＝2∠BOP. ∵OP和OP2关于OA对称，∴∠POP2＝2∠AOP. ∵∠P1OP2＝∠POP1＋∠POP2， ∴∠P1OP2＝2∠BOP＋2∠AOP＝2∠AOB＝90°. 创新拓展题 (3)如图③，∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，若OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数； 【解】如图②.∵OP和OP1关于OB对称， ∴∠POP1＝2∠BOP. ∵OP和OP2关于OA对称，∴∠POP2＝2∠AOP. ∵∠P1OP2＝∠POP1－∠POP2， ∴∠P1OP2＝2∠BOP－2∠AOP＝2∠AOB＝90°. 创新拓展题 (4)如图④，∠AOB＝45°，若OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP的度数.(直接写出答案) 【点拨】①当OP在∠AOB内部时，如图③.∵OP，OP1关于OB对称，∴∠BOP＝∠BOP1.∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝∠AOP1－∠BOP1＝3∠BOP1＝45°.∴∠BOP1＝15°.∴∠BOP＝∠BOP1＝15°.∴∠AOP＝∠AOB－∠BOP＝30°. 创新拓展题 返回 ②当OP在∠AOB外部时，∵∠AOP1＝4∠BOP1， ∴射线OP在射线OB的上面，如图④.∵OP，OP1 关于OB对称，∴∠BOP＝∠BOP1.∵∠AOP1＝ 4∠BOP1，∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1 ＝45°.∴∠BOP1＝9°.∴∠BOP＝∠BOP1＝9°.∴∠AOP＝45°＋9°＝54°.综上所述，∠AOP＝30°或54°. 【解】∠AOP＝30°或54°. 创新拓展题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定 1.等腰三角形的两种判定方法：(1)定义法，证三角形中有两条边相等；(2)判定定理法，证一个三角形中有两个角相等. 2.应用等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，必须是在同一个三角形中，切忌两个角在不同三角形中. 知识点1 等腰三角形的判定 1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　) A.3个　　 B.4个　　 C.5个　　 D.6个 (第1题) 返回 D 基础提优题 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。 海里. (第2题) 返回 80 基础提优题 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C. (1)求证：∠BDF＝∠A； 【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C. 又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED. ∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A. 基础提优题 (2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. 返回 【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°. 又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°. ∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A. ∴△ABC是等腰直角三角形. 【解】△ABC是等腰直角三角形. 基础提优题 知识点2 等边三角形的判定 4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.AB＝BC＝AC B.∠A＝∠B＝∠C C.AB＝AC，∠A＝60° D.∠A＋∠B＝2∠C D 返回 基础提优题 5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm. 2 基础提优题 【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°. 又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形. ∴AC＝BC＝3－1＝2(cm). 返回 基础提优题 6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE； 【证明】在△ABC与△ADE中，∵ ∴△ABC≌△ADE(SAS). 基础提优题 (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. 返回 【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°， ∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°. ∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°. 基础提优题 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　) A.8　　 B.7　　 C.6　　 D.5 (第7题) A 基础提优题 【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧： 在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长. 返回 (第7题) 基础提优题 8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s. (第8题) 1 基础提优题 【点拨】设点P移动t s时，点D落在BC边上，如图所示，AP＝2t cm，BP＝(6－2t) cm. ∵△PQD是等边三角形，∴PQ＝PD，∠DPQ＝60°. ∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°， ∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°. 基础提优题 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°.∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝180°－60°－30°＝90°， ∴∠BDP＝∠APQ＝90°.∴△BDP≌△APQ(AAS).∴BD＝AP＝2t cm.又∵∠BDP＝90°，∠BPD＝30°，∴BD＝BP，即2t＝(6－2t)，∴t＝1. 返回 基础提优题 9. 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为(　　) A.14°　　 B.16°　　 C.24°　　 D.26° B 综合应用题 【点拨】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D. ∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°， AC＝BC.∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP ＝∠BAC＝60°，∴∠ADP＝120°，△CDP为等边三 角形，∴CP＝DP＝CD，∴AD＝BP.∴△ADP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形.∵∠APC＝104°，∴∠APD＝∠APC－∠CPD＝44°，∠CAP＝180°－∠APC－∠C＝16°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°，∴最小内角的大小为16°. 返回 综合应用题 10. ［华师一附中自主招生］如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC＝　　. (第10题) 4 综合应用题 【点拨】如图，延长AD交BC于点N，延长ED交BC于点M，∵∠EBC＝∠BED＝60°，∴EM＝BM，∴△BEM是等边三角形，∴BE＝EM＝3＝BM，∠EMB＝60°.∵DE＝1，∴DM＝3－1＝2.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN， 返回 ∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝90°－∠EMB＝30°，∴MN＝DM＝1，∴BN＝BM－MN＝3－1＝2，∴BC＝2BN＝4. 综合应用题 11. 如图，AC＝DC＝3，BD垂直于∠BAC的平分线AD，E为AC的中点，AD与BE交于点O，则图中两个阴影三角形 (△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为　　　. (第11题) 综合应用题 【点拨】如图，延长BD，AC交于点H.∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH.∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD. 综合应用题 ∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC.∵E为AC中点，∴AE＝EC＝AH，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∴S△ABE＝S△CDH.∵S△OBD－S△AOE＝S△ADB－S△ABE＝S△ADH－S△CDH＝S△ACD.∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝. 返回 综合应用题 12. ［2025福建］如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小； 【解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. 综合应用题 又∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝30°. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. 综合应用题 (2)求证：△CEG是等边三角形. 【证明】由平移可知，CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 综合应用题 返回 又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC， ∴∠GEC＝∠AEC＝60°. 由(1)知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°， ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC， ∴△CEG是等边三角形. 综合应用题 13. 如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形. 【证明】∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC. ∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形. 创新拓展题 (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由. 【解】△AOD是直角三角形.理由如下： ∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°. ∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形. 创新拓展题 (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【解】∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°.∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO ＝∠ADC－∠ODC＝α－60°， 创新拓展题 返回 ∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，∴α＝140°；③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，∴α＝110°.综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形. 创新拓展题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“线段垂直平分线上的一点与这条线段两个端点的距离”. 2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A.AB＝AD　　 B.CA平分∠BCD C.AB＝BD　　 D.△BEC≌△DEC (第1题) 返回 C 基础提优题 2.［2025连云港］如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　　) A.5　　 B.6　　 C.7　　 D.8 (第2题) 返回 C 基础提优题 3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为　 　. (第3题) 35° 基础提优题 【点拨】∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC.∵∠A＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，∴∠AEC＝70°.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE. 又∵∠AEC＝∠B＋∠BCE，∴∠B＝35°. 返回 (第3题) 基础提优题 知识点2 线段的垂直平分线的判定 4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.以上都不正确 (第4题) A 基础提优题 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，但并不表示经过该点的直线都是线段的垂直平分线. 返回 基础提优题 5.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在某一线段的垂直平分线上.这条线段是(　　) A.AB　　 B.AC　　 C.BC　　 D.不确定 (第5题) B 基础提优题 【点拨】∵BC＝BD＋DC＝BD＋AD，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上. 返回 (第5题) 基础提优题 6.已知在同一平面内，C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上.若AP＝5，则BP的长为(　　) A.2.5　　 B.5 C.10　　 D.25 B 返回 基础提优题 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连接CO，BO.求证：点O在AB的垂直平分线上. 【证明】∵D是BC的中点，∴CD＝BD.又∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO.∵OE是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∴BO＝AO，∴点O在AB的垂直平分线上. 返回 基础提优题 易错点 对基本图形掌握不准确而出错 8.［2026安庆模拟］如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC，下列说法中错误的是(　　) A.若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC B.若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC C.若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC D.若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC D 【点拨】解本题的关键是证明三角形全等及掌握线段垂直平分线的性质. 基础提优题 证明两条线段相等的常用方法：1.通过证明两条线段所在的得到；2.用证明两条线段相等；3.用证明. 返回 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 基础提优题 9.如图，AD⊥BE于点D，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB＝6 cm，BD＝3 cm，则DC的长为(　　) A.3 cm　　 B.6 cm　　 C.9 cm　　 D.12 cm (第9题) C 综合应用题 返回 综合应用题 10. 如图，在△ABC中，线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线与边AB分别交于点M，N(M在N的左边)，设∠ACB＝y，∠MCN＝x，则y与x的函数表达式为　　　　　. (第10题) y＝x＋90° 综合应用题 【点拨】如图，根据垂直平分线的性质知MA＝MC，NB＝NC，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2. ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2＝y－x. 又∵∠A＋∠B＋y＝180°， ∴y＝x＋90°. 返回 综合应用题 11. (1)在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO 的长为　　　　； 5或11 【点拨】分两种情况讨论：当点O在△ABC内时，延长AO交BC于点M，如图①.∵AB＝AC，OB＝OC，∴AM为BC的垂直平分线，∴AM＝8，OM＝3，∴AO＝AM－OM＝8－3＝5；当点O在△ABC外时，设AO交BC于点M，如图②.∵AB＝AC，OB＝OC，∴AM为BC的垂直平分线，∴AM＝8，OM＝3，∴AO＝AM＋OM＝8＋3＝11.故AO的长为5或11. 综合应用题 (2)已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数为　　 　　. 返回 【点拨】如图③.∵C，D两点在线段AB的垂直平分线上，∴CA＝CB，DA＝DB，CD⊥AB，∴易得∠CAB＝∠CBA＝(180°－∠ACB)＝65°，∠DAB＝∠DBA＝(180°－∠ADB)＝47°.当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝112°；当点C与点D在线段AB同侧即点D在点D′处时，易知∠D′AB＝47°，∴∠CAD′＝∠CAB－∠D′AB＝18°.故∠CAD的度数为18°或112°. 18°或112° 综合应用题 12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E，连接DE交BC于点P.求证： (1)△ACD≌△BAE； 【证明】∵AF⊥CD于点H， ∴∠BAC＝∠AHD＝90°， ∴∠DAH＋∠ADH＝90°，∠ACH＋∠ADH＝90°， ∴∠DAH＝∠ACH，即∠BAE＝∠ACD. 综合应用题 ∵∠BAC＝90°，BE∥AC， ∴∠ABE＝∠CAD＝90°. 在△ACD与△BAE中，∵ ∴△ACD≌△BAE(ASA). 综合应用题 (2)BC垂直平分DE. 返回 【证明】∵△ACD≌△BAE，∴AD＝BE. ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD.∴BD＝BE.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°.∵∠ABE＝90°，∴∠EBF＝90°－45°＝45°.∴∠ABC＝∠EBF.又∵BP＝BP，∴△DBP≌△EBP(SAS).∴DP＝EP，∠DPB＝∠EPB＝90°.∴BC垂直平分DE. 综合应用题 13. 已知：如图①，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点. 求证：PA＝PB. 分析：图中有两个直角三角形，即△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB. 创新拓展题 (1)请结合以上分析，利用图①写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程. 【证明】∵MN⊥AB，∴∠ACP＝∠BCP＝90°. 在△ACP和△BCP中，∵ ∴△ACP≌△BCP(SAS)，∴PA＝PB. 创新拓展题 (2)定理应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB，若AB＝10 cm，△MBC的周长是18 cm. ①求BC的长. 【解】∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA. 又∵△MBC的周长是18 cm， ∴MB＋MC＋BC＝MA＋MC＋BC＝AC＋BC＝18 cm. ∵AC＝AB＝10 cm，∴BC＝8 cm. 创新拓展题 ②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由. 返回 【解】存在.点P的位置如图所示.∵AB的垂直平分线 交AB于点N，交AC于点M，点P是直线MN上一动点，∴连接PA，则有PA＝PB，∴△PBC的周长＝PB＋PC＋BC＝PA＋PC＋BC≥AC＋BC，∴当A，P，C三点共线，即点P与点M重合时，△PBC的周长最小，最小值为AC＋BC＝18 cm. 创新拓展题 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 角的平分线 第1课时 角的平分线与垂线的作法 尺规作图的注意事项：1.明确尺规作图的要求，只能使用直尺和圆规；2.作图前认真审题，理解题意和作图条件； 3.作图时，半径尽量大一点，避免圆心乱跑；4.画的辅助线一般要用虚线，求作的目标线用实线；5.作一条线画一条线，避免弧的交点太多导致连错. 知识点1 角的平分线的作法 1.如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线，能得出∠MOC＝∠NOC的依据是(　　) A.SSS　　 B.SAS　　 C.ASA　　 D.AAS (第1题) A 返回 基础提优题 2.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(　　) A.①②　　 B.①③　　 C.②③　　 D.只有① (第2题) B 基础提优题 【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断AD 平分∠BAC；在题图③中，如图，利用作法得 AE＝AF，AM＝AN.在△AFM和△AEN中， ∵ ∴△AFM≌△AEN(SAS)，∴∠AMD＝∠AND. ∵AM＝AN，AE＝AF，∴AM－AE＝AN－AF，即ME＝NF. 基础提优题 在△MDE和△NDF中，∵ ∴△MDE≌△NDF(AAS)，∴DM＝DN. 又∵AD＝AD，AM＝AN，∴△ADM≌△ADN(SSS)， ∴∠MAD＝∠NAD，∴AD是∠BAC的平分线. 在题图②中，利用基本作图得到点D为BC的中点，则AD为BC边上的中线.综上，仅①③可得出射线AD平分∠BAC. 返回 基础提优题 3.［2025陕西］如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法) 返回 【解】如图，点P即为所求. 基础提优题 知识点2 用尺规作图法作垂线 4.下列选项中的尺规作图，能推出AD＝BD的是(　　 ) D 返回 基础提优题 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D.过点B作BE⊥CD于点E.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【解】如图，BE即为所求. 返回 基础提优题 6.如图，在Rt△ABC中： (1)过点A作AB的垂线，并在这条垂线上通过作图找出点D，使点D到AB，BC两边的距离都相等；(要求：用尺规作图，不需要写出作法，只需保留作图痕迹) 【解】如图，过点A作AB的垂线即为AD，点D即为要找的点. 综合应用题 (2)若∠A＝40°，则∠ADB＝　　　　. 返回 65° 综合应用题 7.如图，AO，BO是两条笔直交叉的公路，C，D是两个社区，政府现准备在∠AOB内部的区域建一个社区集体充电桩，要求社区集体充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请用尺规作图在图中画出社区集体充电桩的位置. 返回 【解】如图所示，点P即为所求. 综合应用题 $