专题01 轴对称之将军饮马最值问题（四大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题01 轴对称之将军饮马最值问题 题型一：两点之间线段最短型 题型二：三角形周长最小型 题型三：四边形周长最小型 题型四：垂线段最短型 题型一：两点之间线段最短型 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 1．如图，等边中，于D，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】A 【分析】作点Q关于BD的对称点，连接交BD于E，连接，此时的值最小，最小值． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 作点Q关于BD的对称点，连接交BD于E，连接，此时的值最小，最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为5． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像性质与最短路径问题（轴对称法求线段和的最小值），解题的关键是通过作对称点将转化为线段长度，再结合一次函数解析式求解点坐标． 先求出、坐标，进而得、坐标；作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为；求出直线的解析式，令得的坐标． 【详解】解：对于， 令，则， 解得， 故； 令，则， 故； 是中点，故； 是中点，故 作关于轴的对称点，设直线的解析式为， 代入、，得，， 解得， 故直线的解析式为． 令，则，解得，故． 故答案为：． 3．如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 4．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【答案】 5 【分析】（1）由题易得，，因为，根据三线合一可知，根据中位线可知，进而即可得到答案． （2）要想的值最小，需要把这三条三段转化到一条线段上，进而分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，再根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：5． （2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为． 由题意和对称性可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可； （2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案； （3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 把点P坐标代入中得， ∴； （2）解：由（1）可得直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解为； （3）解：如图，作点A关于y轴对称点，则， 由两点之间线段最短可知的最小值为的长， ， 在中，当时，， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 点C的坐标为． 7.综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 题型二：三角形周长最小型 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 8．（2024安徽阜阳颍东区期末）如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是(   ) A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】作点关于、的对称点、，连接，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是3， 周长的最小值是3， 故选：A． 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上，当的周长最小时点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及坐标与图形，等腰三角形的性质，解题的关键是正确做出辅助线． 根据轴对称做最短路径得出，进而得出，即可得出的周长最小时点坐标． 【详解】解：作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，此时的周长，此时的周长最小， ∵点的坐标分别为和， ∴点坐标为：，则， 过点作垂直轴，则， 则，即， ， ， ， ， ∴点的坐标是，此时的周长最小． 故选：C． 10.如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 11．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短距离、等腰三角形的性质，熟练掌握利用轴对称的性质解决最短距离问题是解题的关键． 过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，证得是等边三角形，则，进而证得周长的最小值为的长，根据的面积，求得，进而得到周长的最小值即可． 【详解】解：过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，如图： 、， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， 、， 周长的最小值为的长， ，即， 解得， ， 因此周长的最小值为， 故答案为：． 12.如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 13.如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短，三角形的面积，三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出，再利用三角形的外角的性质求解； （2）如图，在上截取线段，使得，过点B作于点H．利用三角形面积公式求出，再根据垂线段最短求解． 【详解】解：（1）平分，， ． ． （2）如图，过点B作于点G，交于点，则． 平分， ． ，即点与点B关于对称． 过点作于点N，交于点M， 由轴对称的性质可知，点M即为使最小的点，． 过点B作于点E． ，解得． ， 是等腰三角形， ，即的最小值是3 15.（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 题型三：四边形周长最小型 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 16.如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称一最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，两直线的交点问题，作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要 最小，当三点共线时，最小， 设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，联立方程组即可求出点坐标，正确找出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴点在轴上， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴若使四边形周长最小，只要 最小， 当三点共线时，最小， 设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小， ∵， ∴， 设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式得， ， 解得， ∴点的坐标为， 故选：． 17.如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 分别作出点关于的对称点，连接与的交点即为点，再顺次连接即可，根据两点之间线段最短即可得到最小，继而四边形的周长最小． 【详解】解：如图，四边形即为所求： 18.（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数），找出各顶点的对称点，再顺次连接得到对称三角形． （2）利用轴对称的性质，将四边形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，通过作对称点，连接对称点得到直线，求直线与坐标轴交点来确定、坐标 ． 【详解】（1）解：如图所示的和即为所求作； （2）解：如图，连接交轴于点，交轴于点，则点，即为所求作.设直线的函数表达式为， 将点，分别代入得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得； 当时，解得． ∴点，的坐标分别为，． 题型四：垂线段最短型 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 19．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为4， 故选：A． 20．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 21.如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴ME=MN， ∴CM+MN=CM+ME=CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB， ∴， ∴10CE=6×8， ∴CE=4.8． 即CM+MN的最小值是4.8， 故选：B． 22．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作，    平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，    平分交于点， 点与点关于对称， ， 在中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 轴对称之将军饮马最值问题 题型一：两点之间线段最短型 题型二：三角形周长最小型 题型三：四边形周长最小型 题型四：垂线段最短型 题型一：两点之间线段最短型 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 1．如图，等边中，于D，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ． 3．如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 4．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 7.综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 题型二：三角形周长最小型 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 8．（2024安徽阜阳颍东区期末）如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是(   ) A．3 B． C． D．6 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上，当的周长最小时点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10.如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 12.如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 13.如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 15.（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 题型三：四边形周长最小型 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 16.如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 17.如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 18.（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 题型四：垂线段最短型 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 19．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．7 D．9 20．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 21.如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 22．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $