安徽合肥市第十中学等校2026届高三年级高考适应性考试数学试题

2026届高三年级高考适应性考试 数学试题 注意事项: 1,答卷前,务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂R。 如需改动,务必擦净后再选涂其它答秦标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知i是虚数单位,复数z=1+i,则zz= A.1 B.√2 C.2 D.4 2.样本数据3,5,6,8的第75百分位数是 A.4 B.5 C.6 D.7 3.己知x=无是函数f)=sin ox+COS Qx的对称轴,则a 的值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 4.向量a=(1,2)在b=(2,2)上的投影向量为 A.b B.4b C.3 D.动 5.已知函数f(x)=x(x-c)(ceR)的极小值点为3,则不等式∫(x)<4的解集为 A.(-0,4) B.(-o,1)U1,4) C.(-0,2) D.(-o,1)U(1,2) 6.股票是一种有价证券,代表持有者对股份公司的所有权,股票交易是一种重要的金融市 场行为.已知某支股票的当前价格为12元每股,交易所规定每个交易日该股票价格的最大 涨幅为20%(达到最大涨幅时称为“涨停板”),最大跌幅也为20%(达到最大跌幅时称 为“跌停板"),现在不考虑其他限制,设x个交易日后该股票价格达到60元每股,则x的 最小值为(参考数据:g2=0.301,lg3≈0.477) A.7 B.8 C.9 D.10 7.己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于A,B两点,与x 轴负半轴交于点P,PA,PB与y轴分别交于点M,N,若|PA=2|MN=4,则p= A.3 3 B.1 c.2⑤ 3 D. 8.下列曲线上,不存在四个点能构成正方形的是 A.Ix|+|y=2 B.(x-0y-1)=1 [3-x2,x>0 C.y= x2-3,x<0 D.y=x-1 数学试题第1页(共4页) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分. 9.已知集合A=(a|a是第一象限角},B=(0,),则 A.A≤B B.An8=0,2 C.寸a∈A,sina+cosa>l D.3B∈B,sinB-cosB=2 0:已知双曲线C:-y=lQ>0的左,右焦点分别为,乃,过点乃与双曲线C的一多 渐近线平行的直线1交C于点M,则 A.双曲线的离心率为 sin∠MfF3 B.若∠FMF2=90 ,则|MF2=2 c.若1w52,则a=月 D.若 MF2的面积为1,则|MR=2a 11.某闯关游戏中,玩家初始积分1分,每次闯关成功的概率都为p(0<p<1),闯关成 功则玩家积分+1,失败则积分-1,每次闯关结果相互独立.记第n(n∈N)关后玩家 累积积分为X.,X,的数学期望为E(X),则 A若p=克则X)=1 B.若p=克则Px01X0=名 1 2 c.若p=号,则x)>x) D.事件“X,=2”与事件“X2=3”相互独立 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12.在 ABC中,已知B=30 ,b=√3,c=3,则C= 13.已知2+4'=8,当x+2y取得最大值时,则x+y= 14.在四棱锥P-ABCD中,底面正方形ABCD边长为2N2,PB=PC=2√5,PA=PD=6, 则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为 四、解答题:本题共5题,共77分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。解答写在 答题卡上的指定区城内, 15.(13分) 设数列{an}的前n项和为Sn,已知{an-n川是公比大于0的等比数列,a=2,S,=13. (1)求{a}通项公式: (2)求数列 2-小+1 的前n和T. 数学试题第2页(共4页) 16.(15分) 如图,四棱台ABCD-AB,C,D,中,DD,⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形, AB∥CD,AD=CD=2,AB=C,D,=1,∠BAD=60 . (1)证明:平面ABD⊥平面CDD,C, (2②)若直线CC与平面4BD所成角正弦值为285 ,且B<D0,求四校台 ABCD-AB,C,D1体积. D C A B 17.(15分) 某A1研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率,对10道高中数学概率统计题 进行测试,记录了每道愿的解愿成功率(单位:%).已知该助手解答同类型题目的成功率X近 似服从正态分布N( ,c),其中 =82,g=2.5. (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道,求其成功率X满足77≤X≤84.5的概率; (附:若Z-N(4,g2),则P(-o≤Z≤H+o)=0.6827,P -2a≤Z≤ +2o)=0.9545) (2)现有N(N∈N ,N≥6)同类型的题目,其中成功率不低于80%的题目共有6道.现从这 N道测试题中随机抽取3道进行人工复核,记抽到成功率不低于80%的题目数量为随机变 量y. (i)当N=10时,求Y的分布列及数学期望E(: ()若Y=2,试估计N的值(即使得P(Y=2)取得最大值时的W的值). 数学试恩第3项(共4页) 18.(17分) 片+京=1a>b>0的离心率为三,-2,0为椭圆的左媚点。 设椭圆c:上+ 2 (1)求椭圆C的标准方程: (2)设动点M,N在椭圆C上且M在第三象限,点P(0,2),射线PM,PN关于直线PA 对称,记PM,PN的斜率分别为k,k (1)若k=2,求k2: ( )求证:直线MN过定点,并求出该定点的坐标 19.(17分) 已知函数f(x)=x-ae2x. (1)求(x)的单调区间: (②)若≤-2恒成立,求实数a的取值范围: ③若存在x[-3,-川,且x+1≤为,使f心)=),证明:。≤a≤。二 e 数学试题第4页(共4页) 高三教学质量监测 数学 注意事项: 1.答卷前,务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知i是虚数单位,复数z=1+i,则zz= A.1 B.√2 C.2 D.4 【答案】C 2.样本数据3,5,6,8的第75百分位数是 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D B.已知x=是函数f)=sin wx+-COS的对称轴,则o的值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 4.向量a=(1,2)在b=(2,2)上的投影向量为 A.b B. C. 5 D动 【答案】C 5.己知函数f(x)=x(x-c)(c∈R)的极小值点为3,则不等式f(x)<4的解集为 A.{x|x<4} B.{x|x<4且x≠1} C.{x|x<2} D.{x|x<2且x≠1} 【答案】B 6.股票是一种有价证券,代表持有者对股份公司的所有权,股票交易是一种重要的金融市 场行为.已知某支股票的当前价格为12元每股,交易所规定每个交易日该股票价格的最大 涨幅为20%(达到最大涨幅时称为“涨停板”),最大跌幅也为20%(达到最大跌幅时称 为“跌停板”),现在不考虑其他限制,设x个交易日后该股票价格达到60元每股,则x的 最小值为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477) A.7 B.8 C.9 D.10 答案:C 数学试题第1页(共9页) 7.已知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于A,B两点,与x 轴负半轴交于点P,PA,PB与y轴分别交于点M,N,若|PA=2MN=4,则p= A. B.1 C. 23 3 D. 3 【答案】选C. 【解析】 方法一:过A做准线得垂线,分别交y轴、准线于点R,Q, 则四边形AQPF为菱形,且OF=PQ=号 故AR=PO,从而M为AP的中点,由OM=l,PM=2得 AR=P0=√5,故点A的坐标为A(3,2),带入y2=2Px(P>0) 解得p= 2W3 3 B 方法二:如图,设圆的方程为x-+少=户(>孕,则 Ar-号2m-p,M0,wP号-r0) 由AP=4 4r-2pr=16,4M,P哄线 2pr-p=4,联立解得p=25 3 8.下列曲线上,不存在四个点能构成正方形的是 A.+以=2 B.(x-1)y-1)=1 C.y= [3-x2,x>0 x2-3,x<0 D.y=x-I 答案:B 【解析】A:取(0,2),(2,0),(0,-2),(-2,0)四点即可构成正方形: B:化简为y=+山,图象关于仙,)中心对称,渐近线分别为x=1,y=1,由于两条渐 近线夹角为90 ,所以四边形对角线不可能垂直,故无法构成正方形: C:若存在正方形ABCD,则正方形的中心必然是坐标原点,设第一象限一点A(x,y),和第 y=3-x2 四象限内一点B(y,-x)同时在曲线上,则OA⊥OB且IOA月OB|,此时{-x=3-y2, x>0,y>0 解得:x=1,y=2.所以曲线过点A(1,2),B(2,-1),同理,曲线过点C(-1,-2),D(-2,1),这 4个点可以构成一个边长为√0的正方形: D:曲线的渐近线为y轴和直线y=x,且曲线所在的一侧两渐近线夹角为135>90 ,所以 存在对角线相互垂直的四边形,分析对角线长度的变化可知对角线长度可以相等,即可以构 成正方形 数学试题第2页(共9页) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分 9.已知集合A={a|a是第一象限角},B=(0,),则 A.A∈B B.4B-0. C.Ha∈A,sina+cosa>1 D.3BEB,sin B-cos B=2 【答案】BC 10,已知双曲线C:=(Q>0)的左,右焦点分别为,飞,过点与双曲线C的一条溺 近线平行的直线I交C于点M,则 1 A.双曲线的离心率为 B.若∠FMF,=90 ,则MF=2 in∠MfF C.若MR2,则a=4 D.若 MFF的面积为1,则MF=2a 【答案】选BCD 【解析】由对称性不妨设1平行于直线y=上x,则k,=an∠MRE=,则 -台+-m- 故A错误; cos∠MEF MFE中,FE=2c,设M=m,MF,=n,由余弦定理得 r2=m2+2c2-2m-2c-cos∠M5=m2+2c2-2m*2c.=m2+2c2-4am 又n-m=2a,消去n得2am=c2-a2=b2=1,即m= ,故C正确: 20 ∠乐M,=90 时,m=2cas∠MFR=2c是=2a=2 1 m=2a=1,n=2a+m=2,故B正 确:若 M5的面积为1,由SaM5=oMF5=ot5=1=∠M5=90, 2 2 从而m=2a=1,故D正确. 11.某闯关游戏中,玩家初始积分1分,每次闯关成功的概率都为p(0<p<1),闯关成 功则玩家积分+1,失败则积分-1,每次闯关结果相互独立.记第(n∈N)关后玩家累积 积分为Xn,X,的数学期望为E(X),则 A若p日则)=1 B.若P=方则P比,>0I名>0=号 c.若p-号则E0X>Ex) D.事件“X,=2”与事件“X2=3”相互独立 【答案】ABC 【解析】由条件E(X)=p 2+(1-p)0=2p, 数学试题第3页(共9页) E(Xm)=E(Xn)+p1+(1-p)(-l)=E(Xn)+2p-1(neN),故A,C正确: 易知X1,X2,X,X4的分布列 X 2 0 X2 -1 3 P 1-p 1-p)2 21-p)P -2 0 2 4 p (1-p)3 31-p)2p 3(1-p)p2 Xa -3 -1 1 3 (1-p)4 41-p)3p61-p)2p241-p)p p 故P(X,=2,X2=3)=p2≠P(X,=2)P(X2=3)=p,故D错误: P(X2>0)=1-(1-p)2=2p-p2, P(X4>0,X2>0)=P(X4>0,X2=1)+P(X4>0,X2=3) =P(X4>0,X2=1,X,=0)+P(X4>0,X2=1,X3=2)+P(X,>0,X2=3) =21-p)p1-p)p+21-p)p2+p2=p2(5-2p2-6p) PX>01X>0)=PX,>0,X>0_P6+2p-6D,故p=时,PX,>01X,>0= P(X2>0) 2-p 6 故C正确.(也可用树状图求条件概率) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12.在 ABC中,己知B=30 ,b=√3,c=3,则C= 【答案】60 或120 13.己知2+4'=8,当x+2y取得最大值时,则x+y= 【答案】3 14.在四棱锥P-ABCD中,底面正方形ABCD边长为2W互,PB=PC=2W5,PA=PD=6, 则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为 【答案】41 【解析】 2为 D 设P在能面的投影为R,取AD,8C的中点ST,易求得cos∠PN=行,PR=4记正方形 ABCD,三角形PBC的外心分别为O,O2,外接球球心为O,球的半径为R 数学试题第4页(共9页) 方法一(几何法):四边形OOT0,中,可求得 ea0=-w00g=-0=490-=5o0=食-4.00-R- 故00:2=072+0,72-20T-0,7-(}=002+0,02-200-0,03 整理得R25=R4R2-故R2>9 平方得36R4-641R2+2788=(4R2-41)(9R2-68)=0, 故R2=4,球得表面积为4R2=41元 方法二(解析法)建系如图,则C(√2,√2,0),D(√2,32,0),P(0,0,4),设00,m,m,则 R2=0P2=0C2=0D2 R2=m2+0m-4)2=2+(m-32)}2+n2=2+m-V2)2+n2 解得m=2√2,n=5,R2=4,球得表面积为4 R2=41元 4 四、解答题:本题共5题,共77分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写在 答题卡上的指定区域内. 15.(13分) 设数列{an}的前n项和为Sn,己知{a。-n)是公比大于0的等比数列,a,=2,S,=13. (1)求{a}通项公式: (2)求数列 2”-1+1 的前n和Tn adn 【解析】(1)设b。=an-n,则b=1, 由题可设b,=g-,则b+b,+b=S,-6=7, 则1+q+q2=7(g>0),解得q=2, 所以bn=2n-小,所以an=2-小+n:…6分 (2)2+1_01-0-1-1 andn andnt an an 故=T=(-马)+-马++-1)=1⊥1 ,11 …13分 `a。a1aa122"+n+1 数学试题第5页(共9页) 16.(15分) 如图,四棱台ABCD-AB,C,D,中,DD,⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形, AB∥CD,AD=CD=2,AB=C,D,=1,∠BAD=60 (I)证明:平面ABD⊥平面CDD,C (2若直线C ,与平面4BD所成角正弦值为2 且AB<DD,求四棱台ABCD-AB,C,D, 85 体积. D B 【解析】(I)证明:BD2=AB2+AD2-2AB ADcos∠BAD,解得BD=√5 所以AB+BD=AD,则AB⊥BD,又AB∥CD所以BD⊥CD 因为DD,⊥面ABCD,BDc面ABCD,所以BD⊥DD 又BD⊥CD,DD,∩CD=D,所以BD⊥面CDD,C又BDC面ABD 所以面ABDL面CDD,C…6分 (2)因为BD⊥CD,DD,⊥面ABCD,分别BD,CD,DD,所在直线为x,y,z轴建系。 设DD,=1>1),则D=(0,0,0),B(N5,0,0),4A√5,-1,0),C(0,2,0),D(0,0,) 由CD=2CD得C=(0,l,),故CC=(0,-1,0) 丽-西+a4-西+号m-50,0丽-65a0 设平面ABD法向量为n=(x,y,z),则 Ji-D-x- -2y+=0 2 取n=(0,2 nDB=√3x=0 设直线CC与平面ABD所成角为O 则sin0cos<CD,i> 1CC i川_2W⑧5 ICC 85 ,化简得(162-12-4)=0,又1>1,故得t=2 设梯形ABCD与梯形A4CD面积为S,S则S=4B+cD-BD=35 2 因为受-字s-所以men+8+网m-39 …9分 8 4 注:其他解法酌情给分。 数学试题第6页(共9页) 17.(15分) 某AI研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率,对10道高中数学概率统计题 进行测试,记录了每道题的解题成功率(单位:%).已知该助手解答同类型题目的成功率X近 似服从正态分布N(4, 2),其中4=82,o=2.5. (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道,求其成功率X满足77≤X≤84.5的概率, (附:若Z~N(4, 2),则P(4-o≤Z≤4+o)=0.6827,P(-2o≤Z≤4+2o)=0.9545) (2)现有N(W∈N”,N≥6)同类型的题目,其中成功率不低于80%的题目共有6道.现从这 N道测试题中随机抽取3道进行人工复核,记抽到成功率不低于80%的题目数量为随机变 量Y. (i)当N=10时,求Y的分布列及数学期望E(Y); (ii)若Y=2,试估计N的值(即使得P(Y=2)取得最大值时的N的值), 【解析】 (1)P(77≤X≤84.5)=P(u-2o≤X≤+o)=P(u-2o≤X≤)+P(u≤X≤H+o) _Pu-2o≤X≤1+2+Pu-g≤X≤L+@)=0.8186…3分 2 2 (2)(i)Y服从超几何分布,且N=10,M=6,n=3, 故Y的所有可能取值为:0,1,2,3 A- CiC 3 P(Y=2)=C2=3)==1 C10 6 故Y的分布列为 Y 0 2 w3 1 30 10 6 M 9 期望E(Y)=n= …10分 N 5 (i)i记aw=PY=2)=CC4,N≥6, C CiCk-s 则u C CiCk-n N-5N-2≥1,解得N≤8, (N+1)(N-6) C 故当6≤N≤8时,1≥1,当N≥9时,L<1 ax av 故a。<a,<a=a,>ao>a1>…,故N=8或N=9时,P(Y=2)最大.…15分 数学试题第7页(共9页) 18.(17分) 设椭圆c:上+2 后+京=1(a>b>0)的离心率为 ,4(-2,0)为椭圆的左端点. 2 (1)求椭圆C的标准方程: (2)设动点M,N在椭圆C上且M在第三象限,点P(0,2),射线PM,PN关于直线PA 对称,记PM,PW的斜率分别为k,k. (1)若k=2,求k2: (i )求证:直线MN过定点,并求出该定点的坐标, 【解析】(1)由题意,b=2,又离心率a= 故a2=8, 所以椭圆C的标准方程为上+亡=1. …4分 8 4 (2)(i)由题,∠PAO=45 ,设直线PM,PN的倾斜角分别为a,B, 由题意,∠MPA=∠NPA,即a-45 =45 -B,故a+B=90 . 于是,k:k3=tan a tanB=1, 故k=2时,k=2 …10分 (i )设直线MN:y=x+m,由M在第三象限可知k,m<0. y=kx+m与椭圆y2+2x2=-8联立得(k2+2)x2+2kx+m2-8=0. 2km1。 则 >0,且x+w=+2'x,= m2-8 k2+2 由(i)知kesk=-2.少-2=1,即低w+m-2X,+m-2)=Xw, XM XN 即(k2-1)xvxw+k(m-2xw+xw)+(m-2)2=0, 即(k2-10m2-8)-k(m-2)2km+(0m-2)2(k2+2)=0, 即m2-4k2-8m+16=0,即(m+2k-4)(m-2k-4)=0. 又k,m<0,故m-2k-4=0,因此直线MW:y=+2k+4恒过定点(-2,4).…17分 注:其他解法酌情给分. 放学试题第8页(共9页) 19.(17分) 已知函数f(x)=x-ae2. (1)求f(x)的单调区间: 回若代)≤一担成立,求实数a的取值范国 )若存在x∈-3,-的,且+1≤,使s)=f),证明:。≤a≤。- e e 【解析】(1)f'(x)=1-2ae 当a≤0时,f'(x)20,函数f(x)在R上单调递增: 当a>0时, 由厂(20,即1-2ae2≥0,解得≤分: 2a 由f'(x)<0,即1-2ae2r<0,解得x>n(), 2a 所以,函数f(x)在(-o,l(二》上单调递增,在(m(),+o)上单调递减, 2a 2a 综上,当a≤0时,函数∫(x)在R上单调递增: 当a>0时,函数)在( -n(宁》上单调递增,在兮n分+m)上单调递减:…5分 2a 2a (2)由(D知,当a≤0时,f0)=-a≥0,与)≤-号盾,舍: 1 当a>0时,fx)的最大值为f兮(云》=2(分-2 分即宁0,解得a 2 综上,实数a的取值范围是+0:…10分 (3)因为x,x∈[-3,-,且x+1≤x,可得-3≤x≤-2≤x≤-1 则fx)在[-3-不单调,故a>0,且n∈(-3,-少,解得aG兰 22a ∫f(-3)≤f(x)≤f(-2)m∫f(-3)≤f(-2) 由)=/.则有s化)s2即1 f(-1)≤f(-2) -3-ae6≤-2-ae4 1-ae2≤-2-ae,解得e 即 e ≤a≤ e2-1 2-1 的e 2e-1e-12政 e < < e2-1 ≤a e2-1 …17分 注:其他解法酌情给分。 数学试题第9页(共9页)