安徽省明光中学等校2026届高三5月最后一卷数学试题

高三最后一卷 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.(3+2i)i的虚部为 A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.设集合A={1,2,3},B={a-b|a∈A,b∈A},则A∩B= A.{1 B.{1,2 C.{1,2,3 D.☑ 3.某班级去历史博物馆参观，全班同学分成A,B,C三个小组，并从5名班委中安排3人分别 担任组长，则组长的不同安排方法共有 A.10种 B.20种 C.30种 D.60种 4.已知向量a=（1,2),b=（m,-1),若a⊥（a+b),则实数m的值为 A.2 B.-2 C.3 D.-3 圆C名+1经过点(2，D,则C的 A③ B② 2 C.6 D 6.已知函数八)=sin(or+p)(u>0)的图象经过点A0,-)和B(号，且八)在区间 (0,)内没有极值点，则@= A B.1 C.2 D 数学第1页（共4页） 7.已知一个圆柱、一个圆锥、一个圆台，它们的高均为h,圆柱的底面半径为，圆锥的底面半 径为2r,圆台的上、下底面半径分别为1，r2,且，1+2=2r,记圆柱、圆锥、圆台的体积分别为 V,V2,V,则 A.VI<V2<V3 B.V<V<V2 C.V2<V,<3 D.V3<V,<V2 8.已知a,b,c都是非零实数且a+b+c≠0，设甲：(a+b+c)3=a3+b3+c3,乙：(a+b+c)5= a+5+,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知ae(侵8ep,引，且cas2a=务，amB-号，则 A.tan a=- B.sin a-cos a=- 1 4 5 C.sin(a +B)=-33 D.sin 28+4cos'B 1 65 sin'B-4cos2B5 已知双曲线C:-X=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点A(3,4),左、右焦点分别 F,F2,且IFF21=10,点P为C的右支上任意一点，则下列结论中正确的是 A.C的离心率为3 B.IPF I-IPF2 I =8 C.过点A且与双曲线C只有一个公共点的直线有2条 D.IPA1+IPF,I的最小值为25+6 1.已知函数()的定义域为R,值域为(-1,1)，若(x+)=)+2,且(1)>0，则 1+f(x)f(y) 下列说法正确的是 A.f(x)I≤(2x)I≤2lf(x)I B.0≤/(x)f(2x）<1 C.设函数g()=±人0，则g(x+y)=g()+g) -1-f(x) D.设函数h(n)=1+[f(2"-)](neN),则2f1)<h(1)h(2)h(n)<2" 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记Sn为等差数列1an}的前n项和，若a2+a=2,a3+a4=6,则S5= 2x,x<a, 13.已知函数x)= 的值域为R,则a的取值范围是 2,x≥a 14.一个箱子里有5个球，分别以1~5标号，甲从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球 的编号集合为A,乙也从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为B.记随 机变量X为集合A∩B中元素的个数，则E(X)= 附：已知X,Y为两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 随着信息技术的普及，阅读内容的载体逐渐实现了从纸质到数字化的转变.某机构为了解 不同年龄段人群阅读偏好的差异，随机调查了100人，调查结果如下： 偏好数字化阅读 偏好纸质阅读 青少年 36 24 中老年 16 24 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异？ (2)采用按比例分层随机抽样的方法，从被调查的偏好纸质阅读的人中抽取6人体验新型 数字化阅读产品，再从这6人中任选2人进行深度采访，求深度采访的这2人中恰有1 名青少年的概率 n(ad-bc)2 P(X2≥k) 0.05 0.01 0.001 :X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) k 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 在△MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a66,已知，e+a。=1 (1)求C; (2)若△ABC是锐角三角形，a=1,延长BC至点D,使LCDA=T,求CD的取值范围. 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为等 边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD,M为AD的中点. (1)证明：AD⊥PB; (2)点Q在棱PC上（含端点），且直线MQ与平面PAB所成角 的正弦值为，求出所有满足条件的点Q,指出其位置 D 18.(17分) 已知函数f(x)=alnx-e,a∈R (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴交于点(-2,0)，求a; (2)当a=1时，证明：f(x)<-2; (3)若存在a>0,使得f(x)≤b-a对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求实数b的取值范围. 19.（17分) 已知抛物线C:=2py(p>0)的焦点为F,P,是C上横坐标为1的点，1P,F1=子，且直线 PF的倾斜角为锐角. (1)求C的方程； (2)若按照如下方式依次构造点Pn+1（n=1,2,3,…):作PQn1x轴，垂足为Qn,过点Q 作直线与C第一象限的部分相切于点Pn+1,记点Pn的坐标为(xn,yn),证明：{xn}是等 比数列； (3)若以P,为圆心作圆与x轴相切于点Q1,按照如下方式依次构造点P.+1和Q+1（n=1, 2,3,…):在C上找一点Pn+1,以Pn+1为圆心作圆与圆Pn外切，同时与x轴相切于点 Qn+1,且点Qn+1在线段OQn上(0为坐标原点)，设Sn=IP,Q1+IP2Q21+…+1PnQn1,证 明：8≤导 数学第4页（共4页）高三最后一卷 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.AC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.10 13.[1,2] 4器 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析（1)零假设H:不同年龄段的人群阅读偏好没有差异.…(1分) -”002016-9-386>3.81 (5分) 52×48×60×40 根据小概率值α=0.O5的独立性检验，推断H。不成立，故可以认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异 …(7分) (2)因为偏好纸质阅读的人中，青少年与中老年一样多，故抽取的6人中，有3名青少年和3名中老年， …………(10分） 设事件“深度采访的这2人中恰有1名青少年”为A, 则P(A)= CC 3 -5 (13分) 16解折（①油平e+7在e=1得a(a+e)+6以6+e)=6+ea+e. 整理得a+6=ab+c2,所以cosC-+B-c-1 (3分) 2ab 2乡 因为C∈(0，π)，所以C=T. 3 (5分) (2)如图，分别作BQ⊥AC,垂足为Q,BP⊥BC,垂足为B,与射线CA交于点P. P D B 当点A在线段PQ上（不含P,Q)时，满足△ABC是锐角三角形 因为BC=a=1,∠PCB=牙，所以CQ=7,PC=2, 放4ce(22 (10分) 在AACD中，因为C4D=∠BCA-LCDA-号-平=5 所以s血LC0=snm(胥-）=6：2 由正弦定理得，CD=AC,得cD=5,- (14分）》 sin 12 sin 4 放D的取值范围是(5。厅- …(15分） 17.解析(1)如图，连接PM,因为△PAD为等边三角形，M为AD的中点，所以PM⊥AD.…(1分) 连接BD,BM,因为四边形ABCD是菱形，所以AD=AB,又∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形，则BM LAD. ……(2分) 因为PM∩BM=M,所以AD⊥平面PMB. 又因为PBC平面PMB,所以AD⊥PB.…(4分) (2)因为PM⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥平面ABCD. 如图，以M为坐标原点，M匠，M⑦，M的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由已知可得M(0,0,0),P0,0,5),A(0,-1,0),B(5,0,0),C(3,2,0),PA=(0,-1,-5),A=(5,1,0). …(7分） 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), m-0=0取 取n=(1,-5,1).…(9分) Ln.AB=0,5x+y=0, M2=(0,0,5),P元=(5,2，-5)，设Pd=AP元=(5入，2A,-5),0≤A≤1， 则M0=M+P=(5入，2入，万-乃).…(10分) 设直线MQ与平面PAB所成的角为0， 2 则sim0= In.Mol 15-23+5-5则 15-251 1·1M01√P+(-5)2+1下×√(5)2+(2)2+(3-5入)25×√10x-6A+3 ……(12分） 由题套得二专基理得--0，因为0≤A≤1所以A:0 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合.… (15分) 18解折(1)f'(x)=-e,x>0,…(1分) 则f'(1)=a-e,又f1)=-e,故切线方程为y=(a-e)(x-1)-e.… (3分) 令y=0,得x=e+1=-2, a-e 解得a=2e 3 (4分) (2)当a=1时f"(x)=1-e,x>0 易知f(x)单调递减，又f'(2）=2-E>0f()=1-e<0, 所以存在∈（分，1使得∫(x)=0,即oe0=1.…(7分） 当x∈(0，x)时f'(x)>0f(x)单调递增；当xe(xo,+o)时f'(x)<0,f代x)单调递减 故)≤)=h-e=h(e)-=-(+） -2 …(10分) (3)由题意，知存在a>0,使得对任意的xe(0,+o),都有f(x)≤b-a,即b≥f代x)+a=alnx-e+a ………(11分） 令g(x)=alnx-e+a,则g'(x)=a-e, 因为g'(x)单调递减，且当x0+时，g'(x)→+∞，当x→+∞时，g'(x)→-0， 故存在xoe(0,+∞)，使得g'(x)=0,即xoe0=a,且g(x)在(0，o)上单调递增，在(x,+o）上单调递减， g(x)m=g(xo)=aln %o-e"0 +a=a(In xo+1)-e0 =xoe"0 (In %o+1)-e0 =e (xoln xo+o-1). 条件等价于：存在x0>0,使得b≥e0(xnx0+x0-1).…（14分)》 h(x)=e"(xln x+x-1),h'(x)=e"(xln x+Inx+x+1)=e"(1+In x)(1+x), 令()=0，则x=日，可得()在(0，日上单调递减，在（合，+上单调递增， 所以()=A(白)=-e，则6≥-e, 即b的取值范围为[-e产，+o). ………… (17分) 19.解析(1)设P,(1,,由题意知12=2p1,所以1=2D …(1分) C的准线方程为y=一号，由抛物线的定义可知1P1+号=子，解得=2或 ,…(3分)》 一3 当p=2时，C:=4,F(0,),P(1,4）,kn<0,不符合题意； 当p=时，C:2=y,F(0,4）P(1,1),kn>0,符合题意 故C的方程为X2=火.… …(4分)） (2)由题意知Pn(x,x),Pn+1(x+1,x1),Q(x.,0), 直线PQ.的斜率6=女L …(5分) Xn+l-xn 由C:y=x2可得y’=2x,所以C在点P.+1处的切线斜率为2xm+1,…(6分) 则，=2x+1,因为点P.都在第一象限，所以x+1>0, n+1- 放2整理得无2 …(8分） 所以{xn}是首项x1=1,公比为2的等比数列.…(9分) (3)由题意知圆P1:(x-1)2+(y-1)2=1,P(1,1),Q(1,0),1PQ1=1, 记Pn（xn,x2),由圆Pn与x轴相切，得圆Pn的半径rm=x.…(10分) 由圆P.与圆P+外切，得1PP11=rn+rn1,所以√(x1-x)+(x1-)=x+x+…（I1分) 两边平方得(x+1-xn)2+(x+1-x2)2=(x+x+)2,整理得(x+1-x)2=4x+1 由于点Q在线段00.上，所以1<无，则x-1=2x,1,即1-1=2， Xn+l xn 所以{}是以1为首项，2为公老的等差数列、 (13分) 所以=2n-1sx,=2n-户1P0.1=-(2n-1 1 x. …(14分） 当2时，0，a<an可（点） 故=P01+1n01++1P0.1s1+-方+日古+百)子 …(7分) 一4