云南昆明市东川区铜都中学2025-2026学年下学期七年级数学期末测试试卷

**基本信息** 融合神舟十八号、新繁棕编等科技文化热点，梯度覆盖实数、坐标、方程组等七下核心知识，通过情境化问题与变式探究，培养数学抽象、推理及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/30|平方根、平移、坐标确定位置|甲骨文平移（文化）、天津位置描述（生活）| |填空题|4/8|无理数识别、长方形顶点坐标|平面直角坐标系应用| |解答题|7/62|方程组求解、几何证明、统计分析、棕编应用题、变式探究|新繁棕编成本与方案设计（非遗+实际应用）、平行线性质多图变式（创新思维）|

昆明市东川区铜都中学初中数学七年级下册 期末测试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题2分，共30分） 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．2025年上海合作组织峰会于8月31日至9月1日在天津举行，下列说法能表述天津具体位置的是（   ） A．中国华北地区 B．距离天安门广场 C．在北京的东南方向 D．北纬、东经 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．2026马年中央广播电视总台春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，传递奋进向上的文化内涵．为了解本校全体学生对“骐骥”文化寓意的了解程度，校学生会计划开展抽样调查，下列抽样方案中最具代表性与广泛性的是（    ） A．分别从各年级各班中按的比例随机抽取学生 B．从七、八、九年级各抽取成绩前50名的学生 C．在校园随机抽取课间休息的60名学生 D．在学校公众号发布问卷，收集自愿提交的有效答卷 7．点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（   ） A．2 B．或6 C． D．2或 8．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，小明家相对于学校的位置下列描述最准确的是（    ） A．距离学校处 B．北偏东方向上的处 C．南偏西方向上的处 D．南偏西方向上的处 11．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．  B．  C．  D．  12．下列命题，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．相等的角是对顶角 D．若，，则 13．已知是方程的一个解，则（   ） A．2 B． C．3 D． 14．如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 15．某小区车库入口的“曲臂直杆道闸”在某一时刻的位置（如图1）可抽象成如图2所示的几何图形，表示地面，，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题2分，共8分） 16．实数 ，，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有 个. 17．一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为 . 18．不等式的解集为___________． 19．如图，，，，则的度数是_____________． 三、解答题 20．解方程组：（8分。每题4分） (1) (2) 21．（8分） 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出其非负整数解． 22．如图，已知，为的平分线，与相交于点F，．求证：． （7分，每空1分） 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵，(已知) ∴ _，（ ） ∵，(已知) ∴．（等量代换） ∵为的平分线，(已知) ∴，（ ） ∴，（等量代换） ∴ ，( ) ∴．( ) 23．年月日时分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为______度； (3)规定本次航天知识竞赛活动成绩在分及以上的成绩为优秀，全校共有名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？ 24．新繁棕编是成都市新都区新繁镇的传统手工艺品之一，起源于清代嘉庆未年，早在200多年前就已走出国门，远销东南亚，2011年新繁棕编被列入第三批国家级非物质文化遗产名录，某代表团到成都进行业务考查期间发现新繁棕编这一手工艺品新奇有趣，大为赞叹，于是甲乙两人均购买了部分产品打算回家赠送亲友，已知甲买了3个A类产品和4个B类产品，共花了215元，乙买了5个A类产品，2个B类产品，共花了195元 (1)求A类产品和B类产品的单价分别是多少元？ (2)该代表团考虑到端午节临近，决定投入不超过1550元给单位的每一位员工都买一个棕编作为端午节的慰问礼物之一，但要求购买的A类产品数量不超过B类产品的．已知该单位有50名员工，请问该代表团共有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 25．已知：如图所示，，．求证：． 26．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）写出点的坐标为______； （2）将向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后得到的并直接写出点的坐标； （3）的面积为______． 27．【变式】已知：，在平面内任意选取一点．利用平行线的性质，探究满足的数量关系．    (1)将探究之间的数量关系填写下表： 图形 满足的数量关系 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） (2)请选择其中一个图形进行说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《初中数学2026年05月28日》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D D A D A B C 题号 11 12 13 14 15 答案 B B B D C 1．C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根的个数和性质是解题的关键． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 【详解】解：∵且， ∴的平方根是， 故选C． 2．C 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到， C是利用图形的平移得到． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了算术平方根，有理数的乘方，绝对值，掌握，那么叫做的平方根，其中正的平方根叫做算术平方根，记作是解题的关键． 分别根据有理数的乘方运算，绝对值的性质，算术平方根的定义去判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键． 根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：能够准确表示天津市这个地点位置的是：东经，北纬， 故选D． 5．D 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数时，需要改变不等号的方向，按步骤化简即可得到结果. 【详解】解：∵ ∴ 6．A 【分析】抽样调查的样本需要具有代表性与广泛性，能反映总体的特征，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．选项从各年级各班按比例随机抽取学生，覆盖了全校不同年级不同班级的学生，抽样随机，样本最具代表性与广泛性； B．选项只抽取成绩靠前的学生，样本局限于特定群体，不具有代表性； C．选项只抽取课间休息的学生，样本范围窄，不具有广泛性； D．选项收集自愿提交的答卷，样本偏向主动参与的人群，不具有代表性． 7．D 【分析】本题考查了点的坐标的特征，解题关键是明确到两坐标轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等， 则或， 解得，或， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 9．B 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 10．C 【详解】解：， ∴小明家相对于学校的位置描述最准确的是南偏西方向上的处． 11．B 【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为：  ， 故选B． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别． 12．B 【分析】利用平行线的性质、邻补角的定义及性质、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 、邻补角的角平分线互相垂直，正确，是真命题，符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意； 、平面内，若，，则，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、邻补角的定义及性质、对顶角的定义等知识，难度不大． 13．B 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．D 【分析】根据题意，被盖住的点在第四象限，得到，，根据要求，确定坐标即可． 本题考查了坐标与象限，熟练掌握象限的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据题意，被盖住的点在第四象限，得到，， 故选：D． 15．C 【分析】利用平行线的性质可得，，然后根据垂直定义可得，则，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．，（相邻两个1之间依次多一个0） 【分析】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环有规律的数，③含有的数． 【详解】解：，， 则实数 ，，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有，（相邻两个1之间依次多一个0）， 故答案为：，（相邻两个1之间依次多一个0）． 17． 【分析】根据长方形对边平行于坐标轴的坐标特征，分析已知三个顶点的坐标关系，即可确定第四个顶点的横纵坐标． 【详解】解：设第四个顶点的坐标为，已知三个顶点坐标分别为，，，观察可得点与点的纵坐标相等，两点连线平行于轴， 点与点的横坐标相等，两点连线平行于轴， 根据长方形的性质，第四个顶点的横坐标与的横坐标相等，纵坐标与的纵坐标相等， 因此得，， 即第四个顶点的坐标为． 18． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．移项合并、化系数为1即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 移项合并得：， 化系数为1得：， 故答案为：． 19．/40度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，作，得到，进而推出，由，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）将方程组中的第一个方程代入第二个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程可得的值，由此即可得； （2）将方程组中的第一个方程的两边同乘以3，再与第二个方程相加，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 所以方程组的解为． （2）解：， 由①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为． 21．，数轴表示见解析，不等式组的非负整数解为，， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键，分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 数轴表示如下； 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的非负整数解为，，． 22．2 ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】证明：∵，(已知) ∴，（ 两直线平行，同位角相等 ） ∵，(已知) ∴．（等量代换） ∵为的平分线，(已知) ∴，（角平分线的定义） ∴，（等量代换） ∴ ，( 内错角相等，两直线平行 ) ∴．( 两直线平行，同旁内角互补 ) 23．(1)50，画图见解析 (2) (3)估计全校取得优秀成绩的同学约有名． 【分析】此题考查了频数（率）分布直方图，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）根据组的人数除以占的百分比，求出本次调查的学生总数，进而求出组的学生数，补全条形统计图即可； （2）求出C组占的百分比，乘以360求出C组在所在扇形的圆心角度数即可； （3）根据样本中优秀的百分比，乘以2000估计出全校成绩优秀的学生数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（名）， 组的学生为（名）， 补全条形统计图，如图所示： 故答案为：50； （2）解：根据题意得：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：（名）， 则估计全校取得优秀成绩的同学约有名． 24．(1)A类产品的单价是25元，B类产品的单价是35元 (2)共有3种购买方案，购买20个A类产品，30个B类产品费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组，设A类产品的单价是x元，B类产品的单价是y元，根据“甲买了3个A类产品和4个B类产品，共花了215元；乙买了5个A类产品，2个B类产品，共花了195元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，设购买m个A类产品，则购买个B类产品，根据“总费用不超过1550元，且购买的A类产品数量不超过B类产品的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该代表团共有3种购买方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A类产品的单价是x元，B类产品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A类产品的单价是25元，B类产品的单价是35元； （2）解：设购买m个A类产品，则购买（50−m）个B类产品， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21， ∴该代表团共有3种购买方案， 方案1：购买20个A类产品，30个B类产品； 方案2：购买21个A类产品，29个B类产品； 方案3：购买22个A类产品，28个B类产品． ∵， ∴方案1费用最低． 答：该代表团共有3种购买方案，购买22个A类产品． 25．见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．先根据内错角相等，两直线平行证明，得出，，结合已知可得，进而证明，得出，最后等量代换即可得证． 【详解】证明∶∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 26．（1）；（2）见解析，；（3）7.5 【分析】(1)根据平面直角坐标系过点B作x轴的垂线，垂足在x轴上的坐标为4，过点B作y轴的垂线，垂足在y轴上的坐标为4，则得出点B坐标即可; (2)先平移点，再顺次连结A1B1、B1C1、C1A1,利用平移性质写A1坐标即可; (3)由正方形面积-三个直角三角形的面积即可. 【详解】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足在x轴上的坐标为4，过点B作y轴的垂线，垂足在y轴上的坐标为4，则点B ， 故答案为； （2）先将点A、B、C向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点A1、B1、C1，最后顺次连结A1B1、B1C1、C1A1， ∴为所求作的三角形． ∴即（-4，-2）； （3） = . 【点睛】本题考查点的坐标，平移作图，平移性质，三角形面积求法，掌握点的坐标求法，平移作图方法，平移性质，解题的关键是用割补法求三角形面积． 27．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质即可求解． （2）过点作，即可得出，由平行线公理的推论可得出，故，即可得出，即可得出与之间的数量关系是：． 【详解】（1）解：图（1）与之间的数量关系是：．    理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 图（2）与之间的数量关系是：．    理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 图（3）与之间的数量关系是：．    理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 图(4)与之间的数量关系是：．    理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 图（5）与之间的数量关系是：．    理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 图（6）与之间的数量关系是：．    理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故之间的数量关系如下表： 图形 满足的数量关系 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） （2）选择图（1）进行证明，证明如下： 理由：过点作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴与之间的数量关系是：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $