四川广元市旺苍县 2026年春九年级学业水平考前诊断测试数学试卷

**基本信息** 旺苍县2026年九年级数学三模试卷以核心素养为导向，通过新定义“三等角四边形”探究、二次函数与平行四边形存在性等综合题，结合天问二号里程科学记数法等科技情境，实现基础巩固与创新能力的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、图形性质、统计量|数轴与方程根的关系（第5题），体现几何直观| |填空题|6/24|因式分解、科学记数法、几何计算|天问二号里程科学记数法（第12题），融入科技前沿| |解答题|10/96|代数运算、几何证明、函数综合|新定义“三等角四边形”探究（第25题）、二次函数存在性问题（第26题），发展推理能力与创新意识|

旺苍县 2026年春九年级学业水平第三次诊断测试数学试卷 说明：1.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题26个小题. 3.考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效.选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题. 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、单选题(每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共30分) 1.若实数a的相反数是-4，则a等于（ ） A. 4 B. - 4 C. ±4 D. 2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） 3.下列计算正确的是（ ） A. 3a-2a=1 B. C. D. 4.某同学对数据12，12，18，2m，25进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差 5.已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（ ） A.有两个相等的实数根 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 6. 如图,在△ABC中,已知∠EFG+∠GDC=180°, ∠FED=∠C, ∠B=55°,则∠BED的度数是（ ） A. 135° B. 125° C. 115° D. 75° 7.如图,已知AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于P点,若∠APB=120°.则 的值为（ ） A. B. C. D. 8.《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客.下列解题方案：①设客房有x间,则 7x+7=9 (x-1); ②设客人有y位,则 ③设客房有x间，客人有y位，则 正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D 3个 9. 如图①, Rt△ABC中, ∠A=90°,点D、E分别是边BA、BC的中点,动点P从点 C 出发,以每秒2(cm)的速度沿 C→A→D→E的方向运动,到达点E时停止.设点P运动x(s)时,△CPE的面积为y(cm²),如图②是y关于x的函数图象，则图②中a，b的值分别是（ ） A. 2, 5 B. 2, 6 C. 4, 5 D. 4, 6 10. 二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，那么过点M(2a+b, - c)和点 的直线一定不经过（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 第Ⅱ卷 非选择题(共120分) 二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分) 11.分解因式: (x-1)(x+2)-x-7= 12.2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米.其中数据720000000用科学记数法表示为 . 13.如图,在正五边形ABCDE中,连接AD, CE相交于点 F,则∠AFE的度数为 度. 14.如图,在数轴上点A表示原点,点C表示的数是-2, ∠ACB=90°且BC=1.以点A为圆心、AB长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点 D表示的数是 . 15.如图，过原点的直线与双曲线 交于B, C两点,点A在x轴上,且CO=CA,若 则k的值为 . 16.如图,四边形ABCD是菱形, BC=12,且∠B=120°, P为对角线AC上任意一点(不与C重合)，则 的最小值为 . 三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分) 17. (6分)计算: 18. (8分)先化简,再求值: 从-3，-1，3中选择合适的x的值代入求值. 19.(8分)我们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明.如图,已知在△ABC中, D、E分别为AB、AC的中点. (1)请在图中按要求完成尺规作图：在线段AC右侧作射线CF,使得∠ACF=∠BAC,射线CF交DE的延长线于点F(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)所作的图形中，求证： 20.(9分)某社区开展了“志愿者时长星级评定”活动，随机抽取部分居民的评定结果统计如下，结果分为四个等级：A级为五星志愿者，B级为四星志愿者，C级为三星志愿者，D级为一星志愿者，统计结果如图所示.根据不完全统计图中的信息解答下列问题： (1)求本次抽样调查的总人数，并补全条形统计图； (2)若该社区共有1350名居民参与评定，请估计该社区能获得五星、四星等级的志愿者共有多少人? (3)本次评定中排名前五的居民里，有两名女生、三名男生，现从中随机抽取两人分享心得，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两人恰好是一男生一女生的概率. 21.(9分)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行120海里至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向. (1)求∠ACB的度数; (2)若该船从C港直接返回A港，航速为20海里/小时，求返回大约所需的航行时间.(参考数据： 结果精确到0.1小时) 22.(10分)某校为保障化学实验课正常开展，决定采购托盘天平和铁架台两种常用实验器材.市场调查发现购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240 元. (1)求每套托盘天平和每套铁架台的费用； (2)学校计划一次性购进两种实验器材共30套，采购总费用不超过 1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半.请设计最省钱的采购方案，并计算最低总费用. 23. (10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形, AC是⊙O的直径, DE∥AB交BC的延长线于点 E,CD 恰好平分∠ACE. (1)求证: DE是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为 求BC的长. 24. (10分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(4, 0),点B的坐标是(0, 6),点C为OB中点.将△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△A₁BC₁. (1)反比例函数 的图象过点 C₁，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过A、A₁两点，求△ACA₁的面积. 25.(12分)综合与探究 新定义：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，这个四边形叫做三等角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”. (1)如图①,在▱ABCD中, ∠B=135°,点E、F分别为边AB, BC上的动点,若四边形 BFDE为三等角四边形，求∠EDF 的度数； (2)如图②，折叠平行四边形纸片ABCD，使顶点A，C分别落在边AB，BC上的点E，F处，折痕分别为DG，DH.求证：四边形 EBFD 是三等角四边形； (3)如图③,在三等角四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C且∠A为锐角, AB=AD=8,求BC长的最大值. 26.(14分)如图,二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0, 6) ,顶点D坐标为(2,8) (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 旺苍县 2026年春九年级学业水平第三次诊断测试 数学解答参考及评价建议 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C B A D C B 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 题号 11 12 13 14 15 16 答案 (x-3)(x+3) 72 -5 6 说明：第16题每选择出一个正确序号得1分，错选无分。 三、解答题(本大题共10个小题，满分96分) 17. (6分)解: 5分 =-2 6分 18.(8分)解: 2分 4分 5分 ∵x≠1,-3 ∴x=3 6分 原式 8分 19. (8分)解: (1)如图,直线 EF即为所求. 3分 (2)证明: ∵点E为AC中点, ∴△AED≌△CEF(ASA), ·5分 ∵点 D为AB边上的中点， ∴BD=AD, 即 BD=CF. ∵∠ACF=∠BAC, ∴BD∥CF, ∴四边形 DBCF 是平行四边形， 7分 ∴DF∥BC,DF=BC, 8分 20. (9分) 解: (1) 解: 由题意可得, 总人数为 9÷20%=45 (人), ⋯⋯1分 C 级人数:45-3-21-9=12 (人),补充完整的条形统计图如图所示: 3分 (2)由题意可得： (人), 5分 (3)树状图如下所示： 7分 一共存在 20种等可能性结果，抽到的两人恰好是一男生一女生的结果有 12种，∴抽到的一男生一女生的概率为 …………………9分 21.(9分) (1)解: 过点C向正南作垂线得l₃, 记A、B两处南北方向直线为l₁、l₂.C港在A港北偏东20°方向，在 B港北偏西40°方向，∵l₁∥l₂∥l₃ 3 分 (2) 解: 由题意得, ∠CAB=65°-20°=45°, ∠ACB=60°, AB=120海里,如图, 过点 B作BE⊥AC于 E, ∴∠AEB =∠CEB =90°, 在 Rt△ABE中, ∠ABE = 45°, ∴△ABE是等腰直角三角形， 海里， 6分 在 Rt△CBE中, ∠ACB = 60°, tan∠ACB =BE, 海里， 海里， 小时 答：从C港直接返回A港，大约需航行6.7小时. 9分 22.(10分)(1)解：设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元， 依题意得： 解得： 4分 所以，托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元. (2)解：设购进托盘天平m套，则购进铁架台(30-m)套， 依题意得： 6 分 解不等式①得: m≤15. 解不等式②得: m≥10. ∴m的取值范围为: 10≤m≤15, 7 分 ∵采购总费用W =60m+40(30-m)=20m+1200, k = 20>0, ∴W随m的增大而增大， ∴当m = 10 时最省钱, 此时, 30-m=20, W=1400 元 10分 ∴安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元. 23. (10分) (1) 证明: 如图, 连接OD, ∵AC是⊙O直径, ∴∠ABC=90°, ∵DE∥AB, ∴∠DEB=180°-∠ABC=90°, ∵OC=OD, ∴∠1=∠3, 又∵CD平分∠ACE, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴OD∥BE, ∴∠ODE=180°-∠DEB=90°, 又∵OD为半径， ∴DE为⊙O切线; 4分 (2)解:延长DO交AB于点 F, ∵∠ODE=∠DEB=∠B=90°, 四边形 FDEB为矩形， 6分 ∠DFB=90°,即 OF⊥AB, ∵OF过圆心, BF=DE=5 ∴AB=2BF=10, 8分 ∵⊙O的半径为 ∴在直角三角形ABC中， ∴BC=4. 10分 24.(10分) (1)解: ∵点B的坐标是(0, 6),点C为OB中点, 将△ABC绕着点顺时针旋转90°得到△A₁BC₁,即 BC₁=BC=3, ∠CBC₁=90°, ∴C₁(-3, 6), ∵反比例函数 的图象经过点 C₁,故将(-3,6)代入 求得k=-18, ∴反比例函数的表达式为 4分 (2)解:如图作A₁H⊥y轴于 H, ∵∠AOB=∠A₁HB=∠ABA₁=90°, ∴∠ABO+∠A₁BH=90°, ∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠BAO=∠A₁BH ∴在△AOB和△BHA₁中 ∴△AOB≌△BHA₁(AAS), ∴OA=BH, OB=A₁H, ∵OA=4, OB=6, ∴BH=OA=4, A₁H=OB=6, ∴OH=BO-BH=2, ∴A₁(-6, 2), 8分 过A₁作A₁G⊥x轴于 G,如图: 10分 25.(12分) (1)解:如图, ∵四边形 BFDE为三等角四边形,∠B=135°,四边形 BFDE的内角和为360° ∴∠B为“异角” 3分 (2)证明：如图②，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC, ∴∠B+∠A=180°, 由折叠可知, ∠DEG=∠A, ∵∠DEB+∠DEG=180°, ∴∠DEB+∠A=180°, ∴∠B=∠DEB; 同理, ∠B=∠DFB, ∴∠B=∠DEB=∠DFB, ∴四边形 DEBF是三等角四边形. 7分 (3)解:如图,过点D作DE∥BC, DF∥AB, ∴四边形 EBFD是平行四边形, ∠AED=∠B=∠DFC, ∴DF=BE, DE=FB, ∵∠A=∠B=∠C, ∠AED=∠B=∠DFC, ∴△DFC∽△DAE, DA=DE=BF=8, EB=DF=DC,设 DC=EB=x, BC=y, ∴CF=BC-BF=y-8, AE=AB-EB=8-x, ∵△DFC∽△DAE, 即： 10分 ∴当x=4时, y有最大值10, ∴BC长的最大值为10 12分 26. (1)解: ∵抛物线的顶点为(2,8),设函数表达式为 图象过点点C(0,6), 解得， ∴二次函数的表达式为 即 3分 (2)解：如图，连接BM，由(1)得：二次函数的表达式为 当y=0时, 解得： ∴点A 的坐标为(-2, 0),点 B 的坐标为(6, 0), ∵A、B关于对称轴直线x=2对称，点 M在对称轴上， ∴MA=MB, ∴△ACM的周长=AC+CM+AM=AC+CM+BM, ∴当B、M、C三点共线时, △ACM的周长最小, ⋯⋯⋯⋯⋯6分 设直线 BC的函数解析式为y= mx+n,代入B(6, 0) , C(0, 6) ,得 解得 ∴直线 BC的函数解析式为y=-x+6, ∵点M的横坐标为x=2, ∴点M的坐标为(2, 4); 8分 (3)解：存在，理由如下：∵点Q在抛物线的对称轴上，点 P 在抛物线上， ∴设Q(2, q), ①当AB为对角线时， 解得： ∴P=2时, P(2, 8); 10分 ②当BQ为对角线时， 解得： ∴P=10时, 12分 ③当BP为对角线时， 解得： ∴P=-6时, 综上可知:点 P坐标为(2, 8)或(10, - 24)或(-6, - 24). 14 学科网（北京）股份有限公司 $