精品解析：四川省广元市旺苍县2025年 九年级第三次诊断性测试数学试卷

旺苍县2025年春九年级第三次诊断性测试数学试卷 说明： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某校合唱团共有50名成员，她们的年龄分布如下表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 24 由于表格污损，14岁、15岁的人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ） A 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 5. 如图，在等边三角形中，，垂足为点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在反比例函数（m为常数）图象上有和两点，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则应满足的条件是______． 12. 唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园．已知1公顷平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为______平方米． 13. 如图，在中，在边，，上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为______． 14. 已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则______ （填“”“”或“”）． 15. 如图，在中，，点为边上的动点，连接，过点作，交的延长线于点．当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为______． 16. 如图，在正方形纸片中，点E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长，交于点F．给出以下结论：①；②点F为的中点；③；④．其中结论正确的是______（填序号）． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：若，求代数式的值． 19. 如图，在矩形中，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）． （2）在（1）的条件下，线段的垂直平分线分别交，于，两点，求的长． 20. 为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对“昭化肥肠、太守麻花、宫保鸡丁、火锅鱼”四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）本次抽取游客 人，扇形统计图中m的值为 ． （2）请补全条形统计图． （3）该旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的概率． 21. 如图，点A是“某纪念碑”顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．某测量小组在纪念碑前水平地面的点M处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C处时，测得点A的仰角，然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E处，测得点A的仰角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：）． 22. 某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元． （1）A，B两种客房每间的定价分别是多少元？ （2）该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求这两个函数解析式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）在x轴上作一点P，使的值最大，并求出点P的坐标． 24. 如图，点在的边上，以为直径的交于点，交于点，连接，，，． （1）求证：直线是的切线． （2）若的半径，求的长． 25. （1）已知和都等腰直角三角形，． ①如图1，当点在线段上时，连接，请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接，请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点在线段上，，点是延长线上的动点，连接，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，连接．当时，求的长． 26. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点． （1）求该二次函数解析式和，两点的坐标． （2）以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离． （3）设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 旺苍县2025年春九年级第三次诊断性测试数学试卷 说明： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 根据绝对值的意义和倒数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，的倒数是； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则逐一验证即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：与不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； C：，故该选项不符合题意； D：，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据原点对称的性质，两个对称点的横、纵坐标均互为相反数，直接计算即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为． 故选：D． 4. 某校合唱团共有50名成员，她们的年龄分布如下表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 24 由于表格污损，14岁、15岁的人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ） A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据众数和中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：14岁和15岁的人数总和为人，13岁有24人，人数最多，故众数为13； 总人数50人，中位数为第25、26个数据平均数，第25、26人均为13岁，故中位数为13； 14岁、15岁人数未知，总年龄和无法确定，故平均数和方差无法计算． 故选：B． 5. 如图，在等边三角形中，，垂足为点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据是等边三角形以及可求出的长，进而求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴．   故选：B ． 6. 若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立体图形以及平面展开图之间的关系，灵活运用空间想象力是解题的关键． 根据正方体的平面展开图的特点求解即可． 【详解】解：线段所在的面和线段所在的面在正方体中是相对的面，且与呈现异面垂直的位置关系， 只有选项符合要求．   故选：B ． 7. 如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由圆内接四边形的性质推出，求出，由平行线的性质即可求解． 详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．   故选：A ． 8. 在反比例函数（m为常数）的图象上有和两点，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 首先确定反比例函数的比例系数符号，再根据点的横坐标符号判断对应纵坐标的符号，进而比较大小． 【详解】解：反比例函数为，其中， ， 由于，故，即恒为正数， ∴当时，反比例函数图象位于第一、第三象限， 当时，；当时，； 点中，故， 点中，故， 由上述分析可知，． 故选：D． 9. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：．   故选：A ． 10. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标特点逐一分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，，故①②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零，掌握不等式解集的求法是解决问题的关键．根据分式有意义的条件：分母不为零，直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故答案为：． 12. 唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园．已知1公顷平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4万公顷平方米平方米， 故答案为：． 13. 如图，在中，在边，，上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形中线的性质，根据题意求得前几个三角形的面积，找到规律的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ 同理可得 以此类推，的面积为 的面积为 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则______ （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点为边上的动点，连接，过点作，交的延长线于点．当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，求弧长，直角所对的弦是直径，中位线的性质，解，得，设的中点为，连接，取的中点，连接，，得出在以为圆心，为半径的圆上运动，进而求得，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴ 如图，设的中点为，连接，取的中点，连接，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接， 当与点重合时，重合， ∴ ∵， ∴是等边三角形，则 ∴， ∴当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为 故答案为：． 16. 如图，在正方形纸片中，点E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长，交于点F．给出以下结论：①；②点F为的中点；③；④．其中结论正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】首先由图形翻折可知，翻折前后边长相等以及角相等，可得为等腰三角形，再由为等腰三角形即可判断①；由角角边的证明方法可证明，由全等三角形可得，即可判断②；设出，根据勾股定理可求解出与a的关系，即可判断③；根据③中边的关系即可判断④． 【详解】解：因为是由翻折得到， 所以，， 所以， 又因为点E是边的中点， 所以， 所以， 则为等腰三角形，即， 又因为， 所以， 所以为等腰三角形， 所以，①正确； 由①知，， 又因为是由翻折得到， 所以， 又因为是的外角， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因为四边形为正方形， 所以，， 所以在和中， 由，则有， 所以， 因为点E是边的中点， 所以， 即， 所以可得点F为的中点，故②正确； 设，， 则， ， 由①知，， 所以， 所以， 在中，， 即， 整理可得， 解得， 所以，，， 所以有，即，③正确； 由③知，，， 在中，，④错误， 所以结论正确的是①②③． 故答案：①②③． 【点睛】本题考查了图形的翻折，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的求解以及余弦值的求解，由翻折前后边长不变以及角相等可得到相等关系，再由勾股定理得到边的关系是解决本题的关键． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据负指数运算、特殊角的三角函数值、绝对值化简以及二次根式的化简计算各项，再根据实数的混合运算进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了负指数运算、特殊角的三角函数值、绝对值化简以及二次根式的化简，牢记各运算法则并正确化简计算是解题的关键． 18. 先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将转化为，再整体代入计算可得． 【详解】解： ； ， ， ∴原式． 19. 如图，在矩形中，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）． （2）在（1）的条件下，线段的垂直平分线分别交，于，两点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图以及矩形的性质是解题的关键； （1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解； （2）连接，设与交于点．勾股定理求得，在中，根据勾股定理得出．在中，根据勾股定理，得，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问2详解】 如图，连接，设与交于点． 在矩形中， 根据作图过程可知，是的垂直平分线， ， ． 在中，根据勾股定理，得， 解得． 在中，根据勾股定理，得 ， ，． 又， ． 20. 为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对“昭化肥肠、太守麻花、宫保鸡丁、火锅鱼”四种美食喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）本次抽取游客 人，扇形统计图中m的值为 ． （2）请补全条形统计图． （3）该旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的概率． 【答案】（1）240，35 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． （1） 用“太守麻花”的人数除以所占的比例，求出抽取的游客总人数，然后再算出“宫保鸡丁”所占的比例，求出的值即可； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“火锅鱼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次抽取的游客总人数为(人)， ， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 喜好火锅鱼的人数为，补全条形统计图如下： 【小问3详解】 把四种美食分别记为A：昭化肥肠，B：太守麻花，C：宫保鸡丁，D：火锅鱼．画树状图如下： 共有12种等可能出现的结果，其中选到“A和D”的结果有2种， ∴选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”概率为 21. 如图，点A是“某纪念碑”顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．某测量小组在纪念碑前水平地面的点M处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C处时，测得点A的仰角，然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E处，测得点A的仰角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：）． 【答案】约为19米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 延长交于点H，延长交于点N，设的长为h．在和中，根据正切定义，分别表示出和，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点H，延长交于点N，易得四边形为矩形， ． 设点A到地面的距离的长为h， 由题意，得和均为直角三角形． 在中，，， ， ， 同理可得， ， ， ， 解得． 答：纪念碑顶部点A到地面的距离的长约为19米． 22. 某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元． （1）A，B两种客房每间的定价分别是多少元？ （2）该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？ 【答案】（1）A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元 （2）当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，二次函数的实际应用，二次函数最值，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，根据“全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设B种客房每间的定价为a元，根据题意建立W与a的关系式，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元， 由题意，得 解得 答：A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元． 【小问2详解】 解：设B种客房每间的定价为a元，则： ∴当时，W取最大值，最大值为1280． 答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求这两个函数的解析式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）在x轴上作一点P，使的值最大，并求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与不等式的关系，轴对称的性质等． （1）把点代入反比例函数，即可求出k，得到反比例函数解析式； （2）根据图象即可解答； （3）作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，则点P即为所求．由轴对称可得，根据待定系数法求出直线的解析式为，令，则可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵反比例函数过点， ∴， ∴． ∵一次函数过点，， 解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最大， ∴如图所示，点P即为所求． ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为 令，则， 解得， ∴． 24. 如图，点在的边上，以为直径的交于点，交于点，连接，，，． （1）求证：直线是的切线． （2）若的半径，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及圆周角定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据是的直径，得出，由，等量代换得出，即可得证； （2）勾股定理求得，的长，进而求得，再证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：是的直径， ． ． ， ． ，即． 又是的直径， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：在中， ，， 在中， ，， 是的直径， ． ，， ． 又， ． 即 解得即的长为． 25. （1）已知和都是等腰直角三角形，． ①如图1，当点在线段上时，连接，请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接，请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点在线段上，，点是延长线上的动点，连接，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，连接．当时，求的长． 【答案】（1）①，见解析；②，见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）①如图，过点作，交的延长线于点，根据条件易证，再进行线段转化易得答案； ②过点作，交的延长线于点，与第①小问思路一样，证出即可； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，由，可得是等腰直角三角形，再由为直角三角形，设，根据可得，再求解即可． 【详解】解：（1）①如图，过点作，交的延长线于点， 由已知可得，，， ， ∴． ，． ， ． ． ． ． 为等腰直角三角形． ． ②如图，过点作，交的延长线于点， 由已知可得，，， ， ． ，． ， ． ． ． ． 为等腰直角三角形． （2）如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 则为等腰直角三角形． ． 同（）可得， ，． ， ． ． ． ． 是等腰直角三角形． ． 又， ． 为直角三角形． 设，则． ∴ 又， 26. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点． （1）求该二次函数的解析式和，两点的坐标． （2）以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离． （3）设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的性质，圆的有关概念，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）连接，由为的直径，，，则，，由勾股定理得，从而即可求出点与上的点的最短距离； （）点的横坐标为，点的横坐标为，则点，点，然后分当直线轴时，当直线与轴不平行时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，设，将代入，得， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的直径，，， ∴，， ∴的直径为， ∴半径为， 由勾股定理，得， ∴点与上的点的最短距离为； 【小问3详解】 解：存在， 由（）得该二次函数的解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点，点， 当直线轴时， ∴，解得：， ∴点，点， ∴， 当直线与轴不平行时，，如图，设直线交轴于点， 由点，点， 设解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴的面积 ， ， 综上所述，的面积存在最小值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$