【期末冲刺】解答题满分讲义(5～9章 知识梳理+典例+练习) 2025-2026学年沪教版五四制数学六年级下册

【期末冲刺】解答题满分讲义(5~9章 知识梳理+典例+练习) 2026年沪教版数学六年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 比与比例 掌握化简比、求比值、比例分配、浓度配比及利用方程解决比例应用题，理解连比与整体思想。 · 圆与扇形 熟练运用弧长、扇形面积、圆环面积公式，能解决旋转扫过的路径长、组合图形面积及齿轮传动比等问题。 · 统计图表 能从条形图、扇形图中提取信息，计算百分比、圆心角，并运用样本估计总体解决实际问题。 · 圆柱与圆锥 掌握圆柱侧面积、体积及圆锥体积公式，解决等积变形、切割面积变化、容器倒置及最优用料策略。 · 二元一次方程组 熟练运用消元法、整体代入法解二元及三元方程组；能建立模型解决实际情境（行程、工程、销售方案、新定义运算）。 · 创新思维 学会“整体思想”求代数式的值，理解齿轮传动比与方向，能够运用方程思想解决最优方案问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 一、比与比例 · 化简比与求比值：比的前项和后项同时乘除同一个非零数，比值不变；求比值用除法，结果可以是分数或小数。注意单位统一。 · 连比：若 ，，则统一中间量b的份数得到 。 · 比例应用：利用比例的基本性质列方程，解决浓度配比、盈亏问题、百分数应用题。 · 浓度问题：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；混合前后溶质总质量不变，常用十字交叉法或列方程。 ☆ 二、圆与扇形 · 弧长：；扇形面积： 或 。 · 圆环面积：；齿轮传动比：外啮合传动比 = 齿数反比，方向相反；同轴联动转速相同、方向相同。 · 旋转路径长：图形绕某点旋转时，某点经过的路径是以旋转中心为圆心、该点到旋转中心距离为半径的圆弧。 · 组合图形面积：常用割补法、差量法（大扇形减小扇形、正方形减扇形等）。 ☆ 三、可能性与统计图表 · 条形统计图：能直观反映具体数量；扇形统计图：圆心角度数 = 百分比 × 360°，部分量 = 总量 × 百分比。 · 统计推断：由样本百分比估计总体数量，需注意样本的代表性。 ☆ 四、圆柱与圆锥 · 圆柱：侧面积 ，体积 ；圆锥：体积 。 · 等积变形：熔化铸造、倒置容器中水体积不变，利用体积相等列方程。 · 切面面积增加：沿高切开圆锥增加两个三角形面积；圆柱截断减少侧面积。 ☆ 五、二元一次方程组 · 解法：代入消元、加减消元；对于分式方程可换元转化为整式方程。 · 三元一次方程组：逐步消元，化三元为二元再为一元。 · 整体思想：不分别求每个未知数，通过对方程整体加减或倍分求出目标式的值。 ☑知识框架一览表 章节 核心公式/方法 常用技巧 典型题号索引 比与比例 化简比、连比、比例方程 统一中间量，十字交叉法解浓度 1-5 圆与扇形 弧长 ，扇形面积 旋转轨迹长、齿轮齿数比与方向 6-11 统计图表 扇形圆心角 = 百分比×360° 由部分求整体，补全统计图 12-15 圆柱与圆锥 ， 等积变形，切面增面积，侧面展开图 16-19 二元一次方程组 消元法、整体思想 换元法解分式方程组，定义新运算 20-28 创新压轴 齿轮传动比、旋转扫过面积、最优方案 数形结合，方程建模 29-32 核心考点 ·5大典型考点精讲 ☆ 考点一：比与比例的应用 题1-5 ※方法总结 · 题1（化简比与求比值）：整数比化简同除以最大公约数；分数比化整数比；单位不同先统一单位再求比值。 · 题2（连比与混合比例）：通过设参数或整体份数，利用混合后总质量列出方程，解出丙容器内A:B:C。 · 题3（重叠面积比）：设丙正方形面积为特殊值（如180），利用重叠面积关系列方程，求出甲、乙面积比。 · 题4（浓度漂洗模型）：根据公式 ，分次漂洗时前一次浓度为后一次的前浓度，通过比较决定用水策略。 · 题5（个税计算）：理解累进税率，分段计算应纳税额，并利用专项附加扣除优化家庭税负。 🎯 核心策略：设未知数、整体份数法、分段函数思想。 1．（2026春•宝山区期中）（1）化简比：； （2）求比值：125毫升：0.6升． 2．（2026春•上海校级月考）甲容器内有物质A和物质B，其质量比是3：2，乙容器内有物质B和物质C，其质量比是3：5，丙容器内有物质A、物质B和物质C．现将甲乙丙三容器中的物质以1：2：3的质量比例取出，混合，则所得新的混合物中，A，B，C三种物质的质量比是183：152：385．求丙容器内物质A、物质B和物质C的质量比． 3．（2026春•上海校级月考）如图所示，桌子上放有甲、乙、丙三个正方形，甲、丙有部分重叠，乙、丙有部分重叠．甲、丙重叠部分占甲正方形面积的；乙、丙重叠部分占乙正方形面积的．丙正方形与甲乙正方形重叠部分占丙正方形面积的．甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形的．求：甲正方形面积与乙正方形面积的比．（要求化为最简整数比） 4．（2026春•宝山区校级同步）在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【洗衣目标】． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：d后，其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度，w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）． 请按要求完成下列任务： （1）若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？ （2）若把4kg清水均分，经过两次漂洗能否达到洗衣目标？ （3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 5．（2026春•上海校级月考）阅读材料后，请解答下面的问题： （1）材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布《关于2018年第四季度个人所得税减除费用和税率适用问题的通知》明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元． 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 3% 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 10% 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 20% 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 25% … … 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小王 9500 645 　 　 小张 　 　 　 　 1290 （2）材料2：2019年1月1日起正式实施《中华人民共和国个人所得税法》．根据新修订的个税法，今后计算个税应纳税所得额（计税金额），在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，简略描述如下表． 子女教育 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每个子女每月扣除1000元 每个子女每月扣除1500元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小宋与丈夫都是独生子女，需要赡养四位老人和养育两个小孩，小孩在读小学和中学．小宋每月工资薪金为10000元（申报赡养两位老人），丈夫每月工资薪金为16000元（申报赡养两位老人）．那么请问“养育两个孩子的教育费用”扣除额可以计算在小宋一方，也可以计算在丈夫一方，两种不同方案的家庭个税差额是　 　 元． ☆ 考点二：圆的周长、弧长、扇形面积与旋转（题6-11） ※方法总结 · 题6（钟表指针路径）：分针1小时转1圈，时针12小时转1圈，利用弧长公式求特定时间内针尖路程。 · 题7（运动场跑道超前及追及速度比）：弯道差 = 2π×道宽；速度比 = 路程比，结合加速百分比求最小提速。 · 题8（环形步道面积）：圆环面积 = π(R²－r²)，地砖数量 = 面积×每平方米块数（进一法取整）。 · 题9（喷头浇灌面积）：固定点浇灌为圆面积；沿正方形轨道运动时，覆盖区域为四个扇形+四个矩形+中间正方形。 · 题10（正方形内圆弧分割面积）：利用整体与部分关系，通过割补得 S₃－S₄ = 2S扇－S正。 · 题11（圆台侧面展开与扇形面积）：利用弧长公式建立比例，求圆心角及侧面积，类比梯形面积公式证明 S = ½(l₁+l₂)d。 📌 技巧：数形结合，扇形面积与三角形面积类比，旋转扫过的图形为扇形。 6．（2026春•宝山区期中）某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（保留π） 7．（2026春•闵行区校级期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． （1）如图1，求最内侧跑道的直道AD（或BC）长是多少米？（π取3.14） （2）如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） （3）如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了 　 　 米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速 　 　 %．（结果精确到0.1%） 8．（2026春•黄浦区校级期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道． （1）这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14） （2）如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？ 9．（2025春•青浦区校级月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． （1）选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ （2）如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 10．（2026春•普陀区校级期中）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，两段圆弧将正方形分成了①、②、③、④的四个部分，它们的面积分别记为S1，S2，S3和S4（π取3.14）．则： （1）四个部分的周长之和为　 　 ； （2）S3﹣S4的值为　 　 ． 11．（2025春•浦东新区校级期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：S扇形＝ 　 　 ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝ 　 　 ②，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝ 　 　 ③．请解决下列问题： 问题I：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积． （1）请你解答问题I； （2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径AB＝8cm，杯底直径CD＝6cm，杯壁母线长AC＝BD＝6cm，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形BDFE面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径OE，OF的长以及圆心角∠BOE的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径OF＝ 　 　 ；它所对的圆心角∠BOE的度数为 　 　 ． ☆ 考点三：统计图表的分析与补全（题12-15） ※方法总结 · 题12（扇形统计图）：已知部分百分比差求未知百分比，再由部分量求总量，进而求另一部分的数量。 · 题13（条形图结合分数）：由手机观看人数及其占比求总人数，再用乘法求电脑观看人数，最后求电视机人数占比。 · 题14（频数分布直方图）：计算各部分人数与总人数之比，注意“少几分之几”是差值除以参照量。 · 题15（扇形与条形综合）：先由15-40岁人数及占比求总人数，再求0-14岁和60岁以上百分比，补全条形图，圆心角=百分比×360°。 📌 关键：从统计图中准确读取数据，理清部分与整体的关系。 12．（2026春•松江区期中）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国首次举办冬季奥运会．受冬奥会影响，北京市民对冰雪项目体验的热情高涨．如图是随机对北京市民冰雪项目体验情况的网络调查统计图，请根据图表信息回答问题： （1）都没参加过的人群占比，比参加过冰球的人群占比低6个百分点，那么“都没参加过”的人群占调查总人数的　 　 %，并在图中补全统计图； （2）此次调查中，体验过滑冰的有240人，则体验过冰壶的有　 　 人； （3）此次调查中，体验过滑雪的人数是体验过滑冰人数的百分之几？ 13．（2025秋•浦东新区校级月考）今年9月3日在首都北京举行了隆重的阅兵仪式．王老师了解到六年级部分学生观看国庆阅兵庆典的方式，并绘制了统计图．已知选择用“手机”观看的人数是调查总人数的，选择“电脑”方式观看的人数是选择“手机”人数的，根据图中提供的信息，求： （1）本次调查的总人数是多少人？ （2）选择用“电视机”方式观看的人数占调查总人数的几分之几？ 14．（2025秋•宝山区校级月考）某校六年级（1）班的一次数学测验的统计表如图所示．回答下列问题： （1）优秀（90分及以上）的人数是全班总人数的几分之几？ （2）及格（60分及以上）的人数是全班总人数的几分之几？ （3）80﹣90分段人数比70～80分段人数少几分之几？ 15．（2026春•青浦区校级期中）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小丽同学共调查了 　 　 名居民的年龄； （2）扇形统计图中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 （填写百分数），并补全条形统计图； （3）扇形统计图中，表示“年龄在0～14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 　 　 ． ☆ 考点四：圆柱圆锥的体积、表面积及实际应用（题16-19） ※方法总结 · 题16（陀螺体积）：组合体体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积，注意底面半径相同。 · 题17（漂浮木头接触面积）：一半露出水面，接触面积为半个侧面积 + 一个底面积。 · 题18（罐头商标与体积）：商标纸面积为侧面积的一部分（高4cm），体积用圆柱公式。 · 题19（圆台形杯套）：侧面展开为扇环，利用弧长比例求半径和圆心角，面积 = 大扇形－小扇形。 🎯 建模：将实际问题抽象为圆柱、圆锥的侧面积和体积计算，注意单位统一。 16．（2026春•普陀区校级月考）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留π） 17．（2026春•普陀区校级月考）一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上（如图），小浩哲发现它正好是一半露出水面．请试着求一求这根木头与水接触的面积有多少平方厘米？（结果保留π） 18．（2025春•上海校级期中）（本题保留π）罐头厂要做一种圆柱形的罐头包装盒（不考虑预留物料损耗等）．已知罐头盒的底面半径是4cm，高是6cm，同时要在盒外面贴一圈高4cm的商标，那么， （1）一个罐头盒需要商标纸多少cm2？ （2）一个罐头盒的体积是多少cm3？ 19．（2025春•黄浦区期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为 　 　 cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分． ①证明：弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比； ②求圆心角∠APA′的度数及杯套的面积．（结果保留π） ☆ 考点五：二元一次方程组及整体思想（题20-28） ※方法总结 · 题20-21（解二元、三元方程组）：加减消元法、代入法；对于三元组先消去一个未知数化为二元。 · 题22（“开心”方程组新定义）：先解方程组，再根据 列方程求参数；或利用整体相加得 表达式。 · 题23（整体求值）：通过方程组的线性组合直接求出目标代数式的值，避免分别解未知数。 · 题24-25（比例与购买问题）：根据数量关系列二元一次方程组求解。 · 题26（阶梯定价分段计费）：根据范围列出分段代数式，再根据吸管数量关系建立方程。 · 题27（水果利润）：先求各品种重量，再计算提价后除去损失的销售额及利润。 · 题28（电动汽车安装与续航）：方程组求熟练工与新工人效率；速度方程求续航里程。 📌 核心：整体思想、换元法、根据实际意义检验解。 20．（2026春•静安区期中）解方程组： （1）； （2）． 21．（2026春•浦东新区期中）解方程组： （1）； （2）． 22．（2025春•青浦区校级期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x+y|＝1，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　 （只填写序号）； ①；②；③． （2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值； （3）若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值． 23．（2025春•闵行区校级期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③ ③得，2x+y+z＝3 所以，2x+y+z的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 24．（2026春•黄浦区期中）用比例的知识解决问题： 某中学开展艺术节，活动包含话剧表演和舞蹈表演，参加话剧表演的人数与参加舞蹈表演的人数比是3：11．现因话剧表演的剧本修改，需要再增加6位演员，如果从参加舞蹈表演的学生中调6人过去，那么两支演出队伍的人数比是5：9．如果每人只能参演一个表演节目，那么最终这次参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为多少人？ 25．（2026春•静安区校级期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人．若买1台A型机器人、4台B型机器人，共需320万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）为传递爱心、助力贫困山区儿童改善学习与生活条件，某校六年级发起“奶茶暖冬•爱心助学”义卖活动，售卖摊位设置阶梯定价，方案如下： 档位 购买数量 超大杯单价 普通杯单价 第一档 不超出5杯 12元/杯 8元/杯 第二档 超出5杯不超出15杯的部分 10元/杯 6.8元/杯 第三档 超出15杯的部分 8.5元/杯 5.5元/杯 （1）小薇同学购买了12杯普通杯奶茶，那么小薇同学需支付的费用为　 　 元； （2）预初2班购买了m杯超大杯，n杯普通杯（其中5＜m≤15，n＞15），求预初2班需支付的总费用（用含m、n的代数式表示）； （3）在售卖奶茶时需要搭配吸管，已知1杯普通杯配1根吸管，1杯超大杯配2根吸管．若普通杯的数量是超大杯数量的，且吸管的总数比两种奶茶的总数多30，若所有奶茶与吸管都刚好配套，求超大杯、普通杯各有多少？ 27．（2025秋•杨浦区校级期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子占剩下的，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，苹果每千克的进价比桔子多． （1）求水果超市购进三种水果各多少千克？ （2）在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？ 28．（2025春•上海期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） ☆ 创新及压轴：齿轮传动、旋转扫过面积及最优方案 ※方法总结 · 题29（齿轮传动比与方向）：外啮合齿数比 = 转速反比，方向相反；同轴联动转速相同方向相同。利用齿数计算转速比。 · 题30（旗帜翻动轨迹与扫过面积）：点A经过的路程是以B为圆心、AB为半径的圆弧；AC扫过的面积 = 扇形BCF面积－扇形BAE面积。 · 题31（长方形铁皮做圆柱形容器）：根据侧面与底面圆的关系，设未知数列方程求半径；比较不同方案体积，选择最大者并计算材料利用率。 · 题32（整体思想拓展）：通过方程组整体运算求代数式的值；对于新定义运算，利用已知条件构造整体求值。 ✨ 思想：建模与优化、数形结合、整体代入。 29．（2026春•黄浦区期中）【综合与实践】 如图甲，这是地理模型中的“三球运动模型”，该模型是通过齿轮连杆传动来模拟地球、月球、太阳之间的运动关系．通过地理课的学习，我们知道地球绕太阳旋转的方向与月球绕地球旋转的方向是一致的．地球绕太阳公转一圈为一年，月球绕地球公转一圈为一月． （1）通过图乙的结构介绍，我们发现该模型主要由两组齿轮模型组成，分别是图丙和图丁． 【剖析原理】 齿轮传动方式 转动圈数比 转动方向 外齿合传动（图丙） 例如：大齿轮为120齿，小齿轮为10齿，则大小齿轮转动圈数比为　 　 大小齿轮转动方向　 　 （填“相同”或“相反”） 同轴联动传动（图丁） 大小齿轮转动圈数比为1：1 大小齿轮转动方向始终一致 【制作模型】 （2）学生根据原理制作了以下A、B、C三种不同的齿轮传动模型． 根据展示的三种齿轮传动模型方案，请回答： ①根据A、B、C三张图中标注的齿轮齿数，在连杆逆时针转动时（轴MN固定在底座上），则B图中地球模型与月球模型的转速比为　 　 ； C图中地球模型与月球模型的转速比为　 　 ； ②根据地、月公转比为1：12的地理知识，A、B、C三张图中既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向的是　 　 （填字母）． 30．（2026春•虹口区校级期中）小海同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形ABC是一个直角三角形，角ABC等于60°，边AB＝10厘米，BC＝20厘米，旗帜把手DC＝10厘米． （1）如图，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留π） （2）求边AC扫过的阴影面积；（结果保留π） （3）如图，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是　 　 厘米．（结果用含有a的式子表示） 31．（2025春•普陀区期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图1，已知长方形铁皮的长为16.56cm，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（π取3.14） 【任务二】如图2，用一块长为24cm，宽为18cm的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以24cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图2上画出裁剪示意图．（标注尺寸，π取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图3上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，π取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，π取3） 32．（2025春•闵行区校级月考）【阅读理解】已知方程组，求x﹣4y的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入x﹣4y得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． （1）【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求7x+5y的值； （2）【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ （3）【拓展延伸】对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28．求1*1的值． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1（连比化简）：已知 ，，求最简整数连比。方法：将百分数、分数化为整数比，再统一中间量y的份数。 · 练习2（扇形环形阴影面积）：已知大小扇形半径及圆心角，求阴影部分面积。方法：大扇形面积减小扇形面积。 · 练习3（圆柱圆锥倒置容器中的水）：先求水的体积；倒置后空白部分体积 = 整体体积－水的体积，再求空白圆柱的高，从而得到水面到圆锥顶点的高度。 · 练习4（篮球联赛胜负场）：设胜x场，负y场，根据总场数15和积分39列方程组求解。 · 练习5（换元法解分式方程组）：令 ，化为整式方程组，解出后回代求x,y。 【练习1】（2026春•黄浦区期中）已知，求x：y：z（结果写成最简整数比）． 【练习2】（2026春•崇明区期中）已知OB＝2cm，OA＝4cm，∠BOC＝112°，则图中的阴影部分的面积为多少平方厘米？（结果保留π） 【练习3】（2025春•崇明区期末）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）． （1）容器中水的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 【练习4】（2026春•长宁区校级期中）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【练习5】（2025春•闵行区校级期中）解方程组：． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：连比化简（分数与小数统一）。 · 作业2：百分数应用——购房优惠方案比较（直接打折 vs 送物业费）。 · 作业3：利息计算（本息和 = 本金+本金×年利率×年数）。 · 作业4：四个等圆重叠的阴影面积（割补转化为两个120°扇形面积）。 · 作业5：扫地机器人沿地毯边缘行走，圆心轨迹 = 长方形两长 + 半径为（外半径）的圆周长。 · 作业6：圆形面积比较：12寸披萨与两个8寸披萨的面积大小。 · 作业7：帐篷的帆布面积（圆柱侧面积+圆锥侧面积）及容积（圆柱+圆锥）。 · 作业8：圆柱形水杯盛水，每日需水量转化为杯数。 · 作业9：换元法解分式方程组。 · 作业10：解三元一次方程组（加减消元）。 · 作业11：新定义“解距”及“单位差”，求参数或整数解。 · 作业12：明代数学问题——和尚分碗（一元一次方程）。 · 作业13：包车费用问题，判断订单数据合理性（整数解检验）。 · 作业14：草莓包装方案设计，利用二元一次方程组及不等式求可行方案。 【作业1】（2026春•上海校级月考）已知，求a：b：c． 【作业2】（2026春•上海校级月考）某楼盘准备以每平方米9000元的平均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8050元的平均价开盘销售． （1）李伯伯准备以开盘平均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择．如果你是李伯伯，会选择哪种方案？请说明理由； （2）该楼盘其中一幢9号楼，开发商决定再让利于民，该楼的平均价为7800元/平方米，且每层价格不一，如下表（9号楼均为三室两厅，面积120平方米，买该号楼不享受优惠方案）． 一楼 二楼 三楼 四楼 五楼 六楼 减5% 平均价 加10% 加5% 减5% 减10% 陈叔叔家要买一套四楼的住房，请计算出购买这套房子的价钱． 【作业3】（2026春•金山区期中）小海的爸爸存入100000元准备三年后取出．如果小海的爸爸选择定期存款三年，年利率为1.25%，那么到期可以从银行取回多少元？ 【作业4】（2026春•浦东新区校级月考）如图，4个圆的半径都是1厘米．求阴影部分的面积（结果保留π）． 【作业5】（2026春•普陀区校级期中）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，求扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？（扫地机器人圆形底面的半径是1分米）（π取3.14） 【作业6】（2026春•普陀区期中）小明在外卖软件中订购了一个12寸的圆形披萨，不久后他接到电话，商家称12寸披萨售罄，愿意用两个8寸同类型圆形披萨来代替，请通过计算说明这种方案是否可行，并得出此方案多（或少）拿到多少平方英寸的披萨． （补充说明：披萨的寸数以直径计，单位为英寸，π取3.14） 【作业7】（2025春•崇明区期末）如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为28.26m2，母线AD＝2m，圆锥的高SO＝lm，母线SD＝3.16m． （1）制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到0.1m2）？ （2）帐篷的容积大约是多少（π取3.14，结果精确到0.1m3）？ 【作业8】（2025春•闵行区期末）水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为30～35毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升＝1000立方厘米，π的值取3） 【作业9】（2025春•徐汇区校级期中）解方程组：． 【作业10】（2025春•崇明区期末）解方程组：． 【作业11】（2025春•徐汇区校级期末）阅读材料；对于未知数为x，y的二元一次方程组，将|x﹣y|定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于|x﹣y|＝2，所以其解距为2；方程组的解为，由于|x﹣y|＝1，所以其解具有“单位差”． （1）判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； （3）若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数k． 【作业12】（2025秋•闵行区期末）明代《算法统宗》中记录着这样一个问题，“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座寺庙里、每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚分一碗汤，一共用了364只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 【作业13】（2025秋•嘉定区期末）小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下： 观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆； 观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆． 某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元． （1）求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？ （2）当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因． 【作业14】（2025春•闵行区校级期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末冲刺】解答题满分讲义(5~9章 知识梳理+典例+练习) 2026年沪教版数学六年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 比与比例 掌握化简比、求比值、比例分配、浓度配比及利用方程解决比例应用题，理解连比与整体思想。 · 圆与扇形 熟练运用弧长、扇形面积、圆环面积公式，能解决旋转扫过的路径长、组合图形面积及齿轮传动比等问题。 · 统计图表 能从条形图、扇形图中提取信息，计算百分比、圆心角，并运用样本估计总体解决实际问题。 · 圆柱与圆锥 掌握圆柱侧面积、体积及圆锥体积公式，解决等积变形、切割面积变化、容器倒置及最优用料策略。 · 二元一次方程组 熟练运用消元法、整体代入法解二元及三元方程组；能建立模型解决实际情境（行程、工程、销售方案、新定义运算）。 · 创新思维 学会“整体思想”求代数式的值，理解齿轮传动比与方向，能够运用方程思想解决最优方案问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 一、比与比例 · 化简比与求比值：比的前项和后项同时乘除同一个非零数，比值不变；求比值用除法，结果可以是分数或小数。注意单位统一。 · 连比：若 ，，则统一中间量b的份数得到 。 · 比例应用：利用比例的基本性质列方程，解决浓度配比、盈亏问题、百分数应用题。 · 浓度问题：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；混合前后溶质总质量不变，常用十字交叉法或列方程。 ☆ 二、圆与扇形 · 弧长：；扇形面积： 或 。 · 圆环面积：；齿轮传动比：外啮合传动比 = 齿数反比，方向相反；同轴联动转速相同、方向相同。 · 旋转路径长：图形绕某点旋转时，某点经过的路径是以旋转中心为圆心、该点到旋转中心距离为半径的圆弧。 · 组合图形面积：常用割补法、差量法（大扇形减小扇形、正方形减扇形等）。 ☆ 三、可能性与统计图表 · 条形统计图：能直观反映具体数量；扇形统计图：圆心角度数 = 百分比 × 360°，部分量 = 总量 × 百分比。 · 统计推断：由样本百分比估计总体数量，需注意样本的代表性。 ☆ 四、圆柱与圆锥 · 圆柱：侧面积 ，体积 ；圆锥：体积 。 · 等积变形：熔化铸造、倒置容器中水体积不变，利用体积相等列方程。 · 切面面积增加：沿高切开圆锥增加两个三角形面积；圆柱截断减少侧面积。 ☆ 五、二元一次方程组 · 解法：代入消元、加减消元；对于分式方程可换元转化为整式方程。 · 三元一次方程组：逐步消元，化三元为二元再为一元。 · 整体思想：不分别求每个未知数，通过对方程整体加减或倍分求出目标式的值。 ☑知识框架一览表 章节 核心公式/方法 常用技巧 典型题号索引 比与比例 化简比、连比、比例方程 统一中间量，十字交叉法解浓度 1-5 圆与扇形 弧长 ，扇形面积 旋转轨迹长、齿轮齿数比与方向 6-11 统计图表 扇形圆心角 = 百分比×360° 由部分求整体，补全统计图 12-15 圆柱与圆锥 ， 等积变形，切面增面积，侧面展开图 16-19 二元一次方程组 消元法、整体思想 换元法解分式方程组，定义新运算 20-28 创新压轴 齿轮传动比、旋转扫过面积、最优方案 数形结合，方程建模 29-32 核心考点 ·5大典型考点精讲 ☆ 考点一：比与比例的应用 题1-5 ※方法总结 · 题1（化简比与求比值）：整数比化简同除以最大公约数；分数比化整数比；单位不同先统一单位再求比值。 · 题2（连比与混合比例）：通过设参数或整体份数，利用混合后总质量列出方程，解出丙容器内A:B:C。 · 题3（重叠面积比）：设丙正方形面积为特殊值（如180），利用重叠面积关系列方程，求出甲、乙面积比。 · 题4（浓度漂洗模型）：根据公式 ，分次漂洗时前一次浓度为后一次的前浓度，通过比较决定用水策略。 · 题5（个税计算）：理解累进税率，分段计算应纳税额，并利用专项附加扣除优化家庭税负。 🎯 核心策略：设未知数、整体份数法、分段函数思想。 1．（2026春•宝山区期中）（1）化简比：； （2）求比值：125毫升：0.6升． 【答案】（1）9：10：12； （2）． 【分析】（1）各项乘8即可； （2）先换算单位，再计算即可． 【解答】解：（1）原式：： ＝9：10：12； （2）原式＝125毫升：600毫升 ＝5：24 ． 【点评】本题主要考查化简比，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 2．（2026春•上海校级月考）甲容器内有物质A和物质B，其质量比是3：2，乙容器内有物质B和物质C，其质量比是3：5，丙容器内有物质A、物质B和物质C．现将甲乙丙三容器中的物质以1：2：3的质量比例取出，混合，则所得新的混合物中，A，B，C三种物质的质量比是183：152：385．求丙容器内物质A、物质B和物质C的质量比． 【答案】111：14：235． 【分析】由题意得1份甲中：，，2份乙中：，，因为混合后A：B：C＝183：152：385，总份数和为183+152+385＝720，所以总取出6份对应总，总，总，求得丙中各物质质量：，，，从而求解． 【解答】解：∵甲中A：B＝3：2， ∴1份甲中：，， ∵乙中B：C＝3：5， ∴2份乙中：，， ∵混合后A：B：C＝183：152：385，总份数和为183+152+385＝720， ∴总，总，总， ∴减去甲乙的质量，得丙中各物质质量：，，， ∴丙容器内物质A、物质B和物质C的质量比． 【点评】本题考查比的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2026春•上海校级月考）如图所示，桌子上放有甲、乙、丙三个正方形，甲、丙有部分重叠，乙、丙有部分重叠．甲、丙重叠部分占甲正方形面积的；乙、丙重叠部分占乙正方形面积的．丙正方形与甲乙正方形重叠部分占丙正方形面积的．甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形的．求：甲正方形面积与乙正方形面积的比．（要求化为最简整数比） 【答案】4：5． 【分析】根据比的应用可设丙正方形的面积为180，进而求出甲正方形和乙正方形面积的和为60，再根据丙正方形与甲乙正方形重叠部分占丙正方形面积的，可得丙正方形与甲乙正方形重叠部分的面积为20，由甲、丙重叠部分占甲正方形面积的；乙、丙重叠部分占乙正方形面积的，得到，即可求出，即可得出结果． 【解答】解：设丙正方形的面积为180， ∴甲正方形和乙正方形面积的和为， ∴S甲+S乙＝60， ∴S乙＝60﹣S甲， 丙正方形与甲乙正方形重叠部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查比的应用及最简整数比，理解题意是解题的关键． 4．（2026春•宝山区校级同步）在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【洗衣目标】． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：d后，其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度，w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）． 请按要求完成下列任务： （1）若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？ （2）若把4kg清水均分，经过两次漂洗能否达到洗衣目标？ （3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】（1）若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水； （2）进行两次漂洗能达到洗衣目标； （3）由（1）和（2）的计算结果发现，经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水． 【分析】（1）代入公式即可得出答案； （2）代入公式即可判断； （3）从节约用水的角度进行回答即可． 【解答】解：（1）把d后＝0.01%，d前＝0.2%代入d后， ， 解得w＝9.5， 经检验符合题意， 答：若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水． （2）第一次漂洗：把w＝2kg，d前＝0.2%代入d后，得d后0.04%， 第二次漂洗：把ω＝2kg，d前＝0.04%代入d后得，d后0.008%， 而0.008%＜0.01%， ∴进行两次漂洗能达到洗衣目标． （3）由（1）和（2）的计算结果发现，经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水． 【点评】本题主要考查百分数的应用，理解题意是解题的关键． 5．（2026春•上海校级月考）阅读材料后，请解答下面的问题： （1）材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布《关于2018年第四季度个人所得税减除费用和税率适用问题的通知》明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元． 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 3% 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 10% 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 20% 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 25% … … 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小王 9500 645 　240　 小张 　18500　 　2745　 1290 （2）材料2：2019年1月1日起正式实施《中华人民共和国个人所得税法》．根据新修订的个税法，今后计算个税应纳税所得额（计税金额），在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，简略描述如下表． 子女教育 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每个子女每月扣除1000元 每个子女每月扣除1500元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小宋与丈夫都是独生子女，需要赡养四位老人和养育两个小孩，小孩在读小学和中学．小宋每月工资薪金为10000元（申报赡养两位老人），丈夫每月工资薪金为16000元（申报赡养两位老人）．那么请问“养育两个孩子的教育费用”扣除额可以计算在小宋一方，也可以计算在丈夫一方，两种不同方案的家庭个税差额是　105　 元． 【答案】（1）240，18500，2745； （2）105． 【分析】（1）根据税费计算方法求解即可； （2）分别计算了两种不同方案的家庭个税额，再相减即可． 【解答】解：（1）小王现应纳个税为：3000×3%+[（9500﹣5000）﹣3000]×10%＝240（元）， 因为3000×3%+（12000﹣3000）×10%＝90+900＝990（元）， 3000×3%+（12000﹣3000）×10%+（25000﹣12000）×20%＝90+900+2600＝3590（元）， 所以小张的工资薪金在3级， 1290﹣[3000×3%+（12000﹣3000）×10%]＝300（元）， 所以，小张工资薪金为300÷20%+12000+5000＝18500（元）， 小张原应纳税为：1500×3%+3000×10%+4500×20%+（18500﹣3500﹣1500﹣3000﹣4500）×25%＝2745（元）， 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小王 9500 645 240 小张 18500 2745 1290 故答案为：240，18500，2745． （2）方案二：假设子女教育和赡养老人专项附加扣除在丈夫一方扣除， 小宋应纳税所得额＝10000﹣5000﹣1500＝3500（元）， 小宋纳税＝3000×3%+500×10%＝140（元）， 丈夫应纳税所得额＝16000﹣5000﹣1500﹣2000＝7500（元）． 不超过3000元部分纳税＝3000×3%＝90（元）， 超过3000元到12000元部分为7500﹣3000＝4500（元）， 这部分纳税＝4500×10%＝450（元）， 丈夫纳税＝90+450＝540（元）， 家庭总纳税＝140+540＝680（元）， 方案一：假设子女教育和赡养老人专项附加扣除都在小宋一方扣除， 小宋应纳税所得额＝10000﹣5000﹣1500﹣2000＝1500（元）， 小宋纳税＝1500×3%＝45（元）， 丈夫应纳税所得额＝16000﹣5000﹣1500＝9500（元）， 不超过3000元部分纳税＝3000×3%＝90（元）， 超过3000元到12000元部分纳税＝（9500﹣3000）×10%＝650（元）， 丈夫纳税＝90+650＝740（元）， 所以，家庭总纳税＝45+740＝785（元）； 785﹣680＝105（元）， 故答案为：105． 【点评】本题主要考查了百分数的应用，正确理解题意是解答本题的关键． ☆ 考点二：圆的周长、弧长、扇形面积与旋转（题6-11） ※方法总结 · 题6（钟表指针路径）：分针1小时转1圈，时针12小时转1圈，利用弧长公式求特定时间内针尖路程。 · 题7（运动场跑道超前及追及速度比）：弯道差 = 2π×道宽；速度比 = 路程比，结合加速百分比求最小提速。 · 题8（环形步道面积）：圆环面积 = π(R²－r²)，地砖数量 = 面积×每平方米块数（进一法取整）。 · 题9（喷头浇灌面积）：固定点浇灌为圆面积；沿正方形轨道运动时，覆盖区域为四个扇形+四个矩形+中间正方形。 · 题10（正方形内圆弧分割面积）：利用整体与部分关系，通过割补得 S₃－S₄ = 2S扇－S正。 · 题11（圆台侧面展开与扇形面积）：利用弧长公式建立比例，求圆心角及侧面积，类比梯形面积公式证明 S = ½(l₁+l₂)d。 📌 技巧：数形结合，扇形面积与三角形面积类比，旋转扫过的图形为扇形。 6．（2026春•宝山区期中）某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（保留π） 【答案】2小时分针针尖运动的距离是4.8π米，时针针尖运动的距离是0.3π米． 【分析】分针1小时转1圈，2小时转2圈．分针长度为半径r分＝1.2米，根据圆的周长公式C＝2πr，则2小时分针针尖运动的距离为：2×2π×1.2＝4.8π（米）； 时针12小时转1圈，2小时转圈．时针长度为半径r时＝0.9米，根据圆的周长公式C＝2πr，则2小时时针针尖运动的距离为：（米）． 【解答】解：分针针尖运动距离：2×2π×1.2＝4.8π（米）， 时针12小时转1圈，2小时转（圈）， 时针针尖运动距离：（米）． 答：2小时分针针尖运动的距离是4.8π米，时针针尖运动的距离是0.3π米． 【点评】本题考查了圆的周长公式在实际问题中的应用，解决本题的关键是熟练运用圆的周长公式计算． 7．（2026春•闵行区校级期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． （1）如图1，求最内侧跑道的直道AD（或BC）长是多少米？（π取3.14） （2）如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） （3）如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了 　160　 米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速 　22.7%　 %．（结果精确到0.1%） 【答案】（1）最内侧跑道的直道长是105.8米； （2）超前7.85米； （3）160，22.7%． 【分析】（1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【解答】解：（1）最内侧跑道的直道长是AD＝（400﹣2π×30）÷2＝（400﹣2×3.14×30）÷2＝105.8（米）， （2）应该超前2π×1.25＝7.85（米）； （3）小海跑的路程为（米）， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：160，22.7%． 【点评】本题考查圆的周长的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．（2026春•黄浦区校级期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道． （1）这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14） （2）如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？ 【答案】（1）65.94平方米； （2）约需要792块地砖． 【分析】（1）用外圆的面积减去内圆的面积，即可得到答案； （2）用12乘以健身步道的面积，即可得到答案． 【解答】解：（1）20÷2+1＝11（米） 3.14×112﹣3.14 ＝3.14×（112﹣102） ＝3.14×21 ＝65.94（平方米）． 答：这条健身步道的面积是65.94平方米． （2）12×65.94＝791.28≈792（块） 答：铺设这条健身步道一共约需要792块地砖． 【点评】本题考查有关圆的应用题，圆的面积，关键是掌握圆的面积公式． 9．（2025春•青浦区校级月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． （1）选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ （2）如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）能够浇灌的最大面积是144π平方米； （2）能够浇灌的最大面积是（144π+1360）平方米． 【分析】（1）求出半径是11米的圆面积即可； （2）画出图形，由圆面积公式即可计算得到答案． 【解答】解：（1）∵某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”， ∴122π＝144π（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是144π平方米； （2）正方形轨道中，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，能够浇灌的最大面积如图： ∵“自动旋转喷头”射程为12米， ∴AE＝AG＝12米， ∴（平方米），S矩形ADFE＝20×12＝240（平方米），S正方形ABCD＝202＝400（平方米）， ∴36π×4+240×4+400＝（144π+1360）（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是（144π+1360）平方米． 【点评】本题考查了有关圆的应用，解题的关键是画出图形，掌握圆形面积公式的运用． 10．（2026春•普陀区校级期中）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，两段圆弧将正方形分成了①、②、③、④的四个部分，它们的面积分别记为S1，S2，S3和S4（π取3.14）．则： （1）四个部分的周长之和为　41.12　 ； （2）S3﹣S4的值为　9.12　 ． 【答案】（1）41.12； （2）9.12． 【分析】（1）根据①②③④四个部分的周长和为正方形的周长与半径为4的圆周长的和，再根据正方形、圆周长的计算方法进行计算即可； （2）根据各个部分面积之间的和差关系得到S③﹣S④＝2S扇形ABD﹣S正方形，再根据正方形面积、扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）①的周长＝AD，②的周长＝BC，③的周长＝AB，④的周长＝CD， 所以①②③④四个部分的周长和＝ADBCABCD， 即正方形的周长与半径为4的圆周长的和， 所以四部分的周长和为4×4+2×3.14×4＝41.12， 故答案为：41.12； （2）如图，S③＝S扇形ABD﹣S①，而S①＝S正方形﹣S扇形ABC﹣S④， 所以S③＝S扇形ABD﹣S正方形+S扇形ABC+S④， 即S③﹣S④＝2S扇形ABD﹣S正方形 ＝23.14×42﹣4×4 ＝9.12． 故答案为：9.12． 【点评】本题考查圆周长，圆面积的计算，掌握圆周长、圆面积的计算方法是正确解答的关键． 11．（2025春•浦东新区校级期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：S扇形＝ 　　 ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝ 　　 ②，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝ 　　 ③．请解决下列问题： 问题I：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积． （1）请你解答问题I； （2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径AB＝8cm，杯底直径CD＝6cm，杯壁母线长AC＝BD＝6cm，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形BDFE面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径OE，OF的长以及圆心角∠BOE的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径OF＝ 　18cm ；它所对的圆心角∠BOE的度数为 　60°　 ． 【答案】（1）12π；（2）正确，理由见解析；（3）42πcm2；（4）18cm，60°． 【分析】（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据AC＝BD＝6cm得出圆心角∠BOE的度数，进而求得OF＝18cm，即可求解． 【解答】解：已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为120°， 即， ∴R＝6， ∴； 故答案为：，；； （2）他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积S ； （3）∵AB＝8cm，CD＝6cm ∴，d＝AC＝BD＝6cm， 由（2）可得，侧面展开的图形BDFE面积为； （4）∵，， ∴， 由∵AC＝BD＝6cm，即， 解得：n＝60， ∴即OF＝18cm 故答案为：18cm，60°． 【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用．熟练掌握该知识点是关键． ☆ 考点三：统计图表的分析与补全（题12-15） ※方法总结 · 题12（扇形统计图）：已知部分百分比差求未知百分比，再由部分量求总量，进而求另一部分的数量。 · 题13（条形图结合分数）：由手机观看人数及其占比求总人数，再用乘法求电脑观看人数，最后求电视机人数占比。 · 题14（频数分布直方图）：计算各部分人数与总人数之比，注意“少几分之几”是差值除以参照量。 · 题15（扇形与条形综合）：先由15-40岁人数及占比求总人数，再求0-14岁和60岁以上百分比，补全条形图，圆心角=百分比×360°。 📌 关键：从统计图中准确读取数据，理清部分与整体的关系。 12．（2026春•松江区期中）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国首次举办冬季奥运会．受冬奥会影响，北京市民对冰雪项目体验的热情高涨．如图是随机对北京市民冰雪项目体验情况的网络调查统计图，请根据图表信息回答问题： （1）都没参加过的人群占比，比参加过冰球的人群占比低6个百分点，那么“都没参加过”的人群占调查总人数的　4　 %，并在图中补全统计图； （2）此次调查中，体验过滑冰的有240人，则体验过冰壶的有　120　 人； （3）此次调查中，体验过滑雪的人数是体验过滑冰人数的百分之几？ 【答案】（1）4， ； （2）120； （3）112.5%． 【分析】（1）参加过冰球的人群占比减去6个百分点即可求出百分比，按照百分比补全统计图即可； （2）用240人除以体验过滑冰的百分比求出总人数，再乘以体验过冰壶的百分比即可； （3）用体验过滑雪的人数的百分数除以体验过滑冰人数的百分数即可． 【解答】解：（1）都没参加过的人群占比，比参加过冰球的人群占比低6个百分点， 那么都没参加过的人群占调查总人数的百分比为： 10%﹣6%＝4%， 补全统计图如图： 故答案为：10； （2）由题意可得：调查的总人数为：240÷48%＝500（人）， ∴体验过冰壶的人数为：500×24%＝120（人）， 故答案为：120； （3）体验过滑雪的人数是体验过滑冰人数的百分之几：54%÷48%＝112.5%， 体验过滑雪的人数是体验过滑冰的人数的112.5%． 【点评】本题考查扇形统计图，正确进行计算是解题关键． 13．（2025秋•浦东新区校级月考）今年9月3日在首都北京举行了隆重的阅兵仪式．王老师了解到六年级部分学生观看国庆阅兵庆典的方式，并绘制了统计图．已知选择用“手机”观看的人数是调查总人数的，选择“电脑”方式观看的人数是选择“手机”人数的，根据图中提供的信息，求： （1）本次调查的总人数是多少人？ （2）选择用“电视机”方式观看的人数占调查总人数的几分之几？ 【答案】（1）本次调查的总人数是165人； （2）． 【分析】（1）用选择用“手机”观看的人数除以，进行计算即可； （2）求出用电脑观看的人数，再用总人数减去其它两种方式的人数求出用手机观看的人数，再除以总人数进行求解即可． 【解答】解：（1）选择用“手机”观看的人数为35人， （人）； 答：本次调查的总人数是165人； （2）（人）， 165﹣35﹣14＝116（人）； 故选择用“电视机”方式观看的人数占调查总人数的． 答：选择用“电视机”方式观看的人数占调查总人数的． 【点评】本题考查条形图，分数运算的实际应用，从条形图中有效的获取信息，正确的列出算式进行计算是解题的关键． 14．（2025秋•宝山区校级月考）某校六年级（1）班的一次数学测验的统计表如图所示．回答下列问题： （1）优秀（90分及以上）的人数是全班总人数的几分之几？ （2）及格（60分及以上）的人数是全班总人数的几分之几？ （3）80﹣90分段人数比70～80分段人数少几分之几？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）过先计算全班总人数以及对应分数段的人数，再用）优秀（90分及以上）的人数除以总人数，最后约分得到结果； （2）通过先计算全班总人数以及对应分数段的人数，再用及格（60分及以上）的人数除以总人数，最后约分得到结果； （3）分别算出80﹣90分段，70～80分段的比例，再相减即可． 【解答】解：（1）由图可得：六（1）班总人数是 5+10+15+10+5＝45人，优秀（90分及以上）人数是5人， 则， 故优秀（90分及以上）的人数是全班总人数的； （2）及格（60分及以上）的人数是5+10+15+10＝40， 则， 故及格（60分及以上）的人数是全班总人数的； （3）80﹣90分段人数为：10人， 70﹣80分段人数为：15人， ， 故80﹣90分段人数比70～80分段人数少． 【点评】本题考查条形统计图和比例问题，属于中档题． 15．（2026春•青浦区校级期中）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小丽同学共调查了 　500　 名居民的年龄； （2）扇形统计图中a＝ 　20%　 ，b＝ 　12%　 （填写百分数），并补全条形统计图； （3）扇形统计图中，表示“年龄在0～14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 　72°　 ． 【答案】（1）500； （2）20%，12%； （3）72°． 【分析】（1）由条形统计图可知15～40岁的有230人，由扇形统计图可知15～40岁的占被调查总人数的46%，由230÷46%即可求得单位“1”的量，即是被调查的小区居民的总人数； （2）求a时，用0～14岁的人数除以调查的总人数；用60岁以上的人数除以调查的总人数即可求出b，进而求得41～59岁居民人数，再补全统计图； （3）用0～14岁居民所占的百分率乘以360°，即可求解． 【解答】解：（1）被调查的居民的总人数：230÷46%＝500（人）； 故答案为：500； （2）0～14岁居民所占的百分率：a＝100÷500＝0.2＝20%； 60岁以上居民所占的百分率：b＝60÷500＝0.12＝12%． 故答案为：20%，12%． 41～59岁居民人数为：500﹣100﹣230﹣60＝110， 条形统计图如下： （3）所求扇形的圆心角度数是：20%×360°＝72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，画条形统计图，数形结合是解题的关键． ☆ 考点四：圆柱圆锥的体积、表面积及实际应用（题16-19） ※方法总结 · 题16（陀螺体积）：组合体体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积，注意底面半径相同。 · 题17（漂浮木头接触面积）：一半露出水面，接触面积为半个侧面积 + 一个底面积。 · 题18（罐头商标与体积）：商标纸面积为侧面积的一部分（高4cm），体积用圆柱公式。 · 题19（圆台形杯套）：侧面展开为扇环，利用弧长比例求半径和圆心角，面积 = 大扇形－小扇形。 🎯 建模：将实际问题抽象为圆柱、圆锥的侧面积和体积计算，注意单位统一。 16．（2026春•普陀区校级月考）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留π） 【答案】36π立方厘米． 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可求解． 【解答】解：π×（6÷2）2×3π×（6÷2）2×3 ＝27π+9π ＝36π（cm3）． 答：这个陀螺的体积是36π立方厘米． 【点评】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积，关键是熟练掌握相应的计算公式． 17．（2026春•普陀区校级月考）一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上（如图），小浩哲发现它正好是一半露出水面．请试着求一求这根木头与水接触的面积有多少平方厘米？（结果保留π） 【答案】这根木头与水接触的面积有1100π平方厘米． 【分析】根据这根木头与水接触的面积为两个底面的半圆和侧面积的一半，即一个底面圆的面积加上圆柱侧面积的一半，即圆柱表面积的一半，根据公式πr2+πdh÷2计算即可． 【解答】解：1m＝100cm， 底面半径：20÷2＝10（厘米）， 接触水的面积：102π+20π×100÷2＝100π+1000π＝1100π（平方厘米）， 答：这根木头与水接触的面积有1100π平方厘米． 【点评】本题主要考查圆柱的表面积公式，掌握圆柱的表面积公式成为解题的关键． 18．（2025春•上海校级期中）（本题保留π）罐头厂要做一种圆柱形的罐头包装盒（不考虑预留物料损耗等）．已知罐头盒的底面半径是4cm，高是6cm，同时要在盒外面贴一圈高4cm的商标，那么， （1）一个罐头盒需要商标纸多少cm2？ （2）一个罐头盒的体积是多少cm3？ 【答案】（1）100.48cm2； （2）96πcm3． 【分析】（1）根据罐头包装盒标签围成的圆柱底面半径罐头盒的底面半径相同，商标纸覆盖的是圆柱侧面上一圈高4cm的“带状”区域，其面积等于“底面周长×贴纸高度”．进而即可求解； （2）根据圆柱的体积公式为V＝πr2h求解即可． 【解答】解：（1）因为r＝4cm， 底面周长：2πr ＝2×4×3.14 ＝25.12（cm）， 所以商标纸面积是：25.12×4＝100.48（cm2）． 答：一个罐头盒需要商标纸100.48cm2． （2）一个罐头盒的体积是： π×42×6 ＝π×16×6 ＝96π ＝96×3.14 ＝301.44（cm3）． 答：一个罐头盒的体积是301.44cm3． 【点评】本题主要考查圆柱侧面积、体积的求解，正确理解题意是解题的关键． 19．（2025春•黄浦区期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为 　42π　 cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分． ①证明：弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比； ②求圆心角∠APA′的度数及杯套的面积．（结果保留π） 【答案】（1）42π； （2）①见解答；②120°，πcm2． 【分析】（1）根据圆柱的侧面积列式计算即可； （2）①根据弧长公式证明即可； ②将弧AA′用AB表示出来，CC′用CD表示出来，由①求出CP，从而求出AP，由弧长公式列关于n的方程并求解，得到圆心角∠APA′的度数，再根据扇形面积公式求出杯套的面积即可． 【解答】（1）解：7π×6＝42π（cm2）， ∴此杯套的面积为42πcm2． 故答案为：42π． （2）①证明：设圆心角∠APA′＝n°， 2π•AP，2π•CP， 则， ∴弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比． ②解：∵π•AB，π•CD， ∴，即， ∴， ∴CP＝6cm， ∴AP＝AC+CP＝7.5+6＝13.5（cm）， ∵2π•CP＝π•CD， ∴n＝120， ∴圆心角∠APA′的度数为120°， π（AP2﹣CP2）π（cm2）， ∴杯套的面积为πcm2． 【点评】本题考查圆柱的体积、圆环，掌握圆柱的侧面积、圆的周长和弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． ☆ 考点五：二元一次方程组及整体思想（题20-28） ※方法总结 · 题20-21（解二元、三元方程组）：加减消元法、代入法；对于三元组先消去一个未知数化为二元。 · 题22（“开心”方程组新定义）：先解方程组，再根据 列方程求参数；或利用整体相加得 表达式。 · 题23（整体求值）：通过方程组的线性组合直接求出目标代数式的值，避免分别解未知数。 · 题24-25（比例与购买问题）：根据数量关系列二元一次方程组求解。 · 题26（阶梯定价分段计费）：根据范围列出分段代数式，再根据吸管数量关系建立方程。 · 题27（水果利润）：先求各品种重量，再计算提价后除去损失的销售额及利润。 · 题28（电动汽车安装与续航）：方程组求熟练工与新工人效率；速度方程求续航里程。 📌 核心：整体思想、换元法、根据实际意义检验解。 20．（2026春•静安区期中）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）用加减消元法进行计算即可； （2）用加减消元法进行计算即可． 【解答】解（1）， 解：①×5， 15x﹣5y＝35．　③ ③﹣②， 15x﹣5y﹣（4x﹣5y）＝35﹣2， 11x＝33， x＝3． 把x＝3代入①， 3×3﹣y＝7， y＝2． 所以这个方程组的解是： ； （2），则： ， ①﹣②， 2x+y﹣z﹣（x﹣y﹣z）＝﹣1， x+2y＝﹣1．　　　④ ②+③， x﹣y﹣z+（x﹣2y+z）＝5， 2x﹣3y＝5．　　　⑤ 解这个方程组， 把x＝1，y＝﹣1代入②， z＝2． 所以这个方程组的解是． 【点评】本题考查解三元一次方程，正确进行计算是解题关键． 21．（2026春•浦东新区期中）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）， 【分析】（1）观察方程组中y的系数特点，可直接用加减法消去y，得到关于x，z的二元一次方程组求解后，再求y的值； （2）先将连等式拆解为三个方程，整理得到标准三元一次方程组，再通过消元法求解． 【解答】解：（1）由题意得， ①+②得3x﹣z＝7④， ②+③得2x+z＝3⑤， ④+⑤得5x＝10， 解得x＝2， 将x＝2代入⑤得2×2+z＝3， 解得z＝﹣1， 将x＝2，z＝﹣1代入①得2×2+3y﹣1＝6， 解得y＝1， ∴原方程组的解为； （2）原方程整理得： ∴， ③×3﹣②得15x﹣4z＝26④， ①×2+④得21x＝42 解得x＝2， 将x＝2代入①得3×2+2z＝8 解得z＝1， 将z＝1代入②得3y+1＝10 解得y＝3， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2025春•青浦区校级期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x+y|＝1，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）下列方程组是“开心”方程组的是　②　 （只填写序号）； ①；②；③． （2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值； （3）若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值． 【答案】（1）②； （2）或k＝﹣5； （3）． 【分析】（1）解各方程组求得x，y的值后判断|x+y|是否为1即可； （2）将两个方程相加求得x+y的值，再根据题意可得|x+y|＝1，据此得到关于k的方程，解方程即可； （3）由题意可得，解得对应的x，y的值，将其分别代入2amx+（b﹣1）y＝m中根据m为任意的有理数求得m的值即可． 【解答】解：（1）①解方程组得，则|x+y|≠1，它不是“开心”方程组， ②解方程组得，则|x+y|＝1，它是“开心”方程组， ③解方程组得，则|x+y|≠1，它不是“开心”方程组， 故答案为：②； （2）将两个方程相加得：7x+7y＝3k+8， 解得：， ∵是“开心”方程组， ∴|x+y|＝1， ∴， 解得：或k＝﹣5； （3）∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组， ∴|x+y|＝1， 联立得：， ∴或， 解得：或， ①把代入2amx+（b﹣1）y＝m得：﹣4am+3（b﹣1）＝m， 整理得（﹣4a﹣1）m+3b﹣3＝0， ∵m为任意有理数， ∴﹣4a﹣1＝0，3b﹣3＝0， 解得：，b＝1， ∴； ②把代入2amx+（b﹣1）y＝m得：﹣12am+5（b﹣1）＝m， 整理得（﹣12a﹣1）m+5b﹣5＝0， ∵m为任意有理数， ∴﹣12a﹣1＝0，5b﹣5＝0， 解得：，b＝1， ∴； 综上所述，ab的值为． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，绝对值，理解其解的意义及解方程组的方法是解题的关键． 23．（2025春•闵行区校级期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③ ③得，2x+y+z＝3 所以，2x+y+z的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18； （2）450元． 【分析】（1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元，根据题意列得方程组为，然后根据②﹣①×2求得x+y+z的值后再两边同时乘以45即可． 【解答】解：（1）①+②得：6x+8y+10z＝36， 两边同时除以2得：3x+4y+5z＝18， 即3x+4y+5z的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元， 由题可得， ②﹣①×2：x+y+z＝10， 两边同时乘以45得：45x+45y+45z＝450， 即购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 【点评】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． 24．（2026春•黄浦区期中）用比例的知识解决问题： 某中学开展艺术节，活动包含话剧表演和舞蹈表演，参加话剧表演的人数与参加舞蹈表演的人数比是3：11．现因话剧表演的剧本修改，需要再增加6位演员，如果从参加舞蹈表演的学生中调6人过去，那么两支演出队伍的人数比是5：9．如果每人只能参演一个表演节目，那么最终这次参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为多少人？ 【答案】最终这次参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为15人和27人． 【分析】设原来参加话剧表演的人数为x人，参加舞蹈表演的人数为y人，根据参加话剧表演的人数与参加舞蹈表演的人数比是3：11，现因话剧表演的剧本修改，需要再增加6位演员，从参加舞蹈表演的学生中调6人过去，那么两支演出队伍的人数比是5：9，每人只能参演一个表演节目，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设原来参加话剧表演的人数为x人，参加舞蹈表演的人数为y人， 由题意得：， 解得：， ∴最终这次参加话剧表演的学生为：x+6＝9+6＝15， 最终这次参加舞蹈表演的学生为：y﹣6＝33﹣6＝27， 答：最终这次参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为15人和27人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、比的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 25．（2026春•静安区校级期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人．若买1台A型机器人、4台B型机器人，共需320万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． 【分析】根据题意列方程组求解即可． 【解答】解：设A，B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元， 根据题意，得， 解得：， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）为传递爱心、助力贫困山区儿童改善学习与生活条件，某校六年级发起“奶茶暖冬•爱心助学”义卖活动，售卖摊位设置阶梯定价，方案如下： 档位 购买数量 超大杯单价 普通杯单价 第一档 不超出5杯 12元/杯 8元/杯 第二档 超出5杯不超出15杯的部分 10元/杯 6.8元/杯 第三档 超出15杯的部分 8.5元/杯 5.5元/杯 （1）小薇同学购买了12杯普通杯奶茶，那么小薇同学需支付的费用为　87.6　 元； （2）预初2班购买了m杯超大杯，n杯普通杯（其中5＜m≤15，n＞15），求预初2班需支付的总费用（用含m、n的代数式表示）； （3）在售卖奶茶时需要搭配吸管，已知1杯普通杯配1根吸管，1杯超大杯配2根吸管．若普通杯的数量是超大杯数量的，且吸管的总数比两种奶茶的总数多30，若所有奶茶与吸管都刚好配套，求超大杯、普通杯各有多少？ 【答案】（1）87.6； （2）10m+5.5n+35.5； （3）超大杯30杯，普通杯50杯． 【分析】（1）根据购买数量计算普通杯奶茶费用即可； （2）根据给定范围超大杯m杯与普通杯n杯的价格列出代数式即可； （3）通过设未知数并利用吸管配套关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）小薇购买12杯普通杯奶茶，前5杯按8元/杯计价，后7杯按6.8元/杯计价， ∴5×8+7×6.8＝40+47.6＝87.6（元）， 即小薇同学需支付的费用为87.6元， 故答案为：87.6； （2）超大杯m杯（5＜m≤15），费用为前5杯12元/杯，超出部分10元/杯， 即5×12+（m﹣5）×10＝60+10m﹣50＝（10m+10）元； 普通杯n杯（n＞15），费用为前5杯8元/杯，第6至15杯6.8元/杯，超出15杯部分5.5元/杯， 即5×8+10×6.8+（n﹣15）×5.5＝40+68+5.5n﹣82.5＝（5.5n+25.5）元； 总费用为（10m+10）+（5.5n+25.5）＝（10m+5.5n+35.5）元； （3）设超大杯数量为x杯，则普通杯数量为杯， 吸管总数为（根）， 奶茶总数为（杯）， 根据题意列一元一次方程得，， 整理得，， 解得x＝30， 普通杯数量为（杯）， 答：超大杯30杯，普通杯50杯． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据购买数量列式计算． 27．（2025秋•杨浦区校级期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子占剩下的，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，苹果每千克的进价比桔子多． （1）求水果超市购进三种水果各多少千克？ （2）在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？ 【答案】（1）苹果、桔子、香蕉的质量分别为240千克、144千克、216千克； （2）该商店共赚1111元钱． 【分析】（1）根据题意苹果占总数的列出算式，计算 即可求出值，再用剩余的求出苹果与香蕉的千克数； （2）根据题意求出三种水果的单价，进而表示出提价后的价钱，乘以各自的千克数（除去损失），列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：， ∵桔子占剩下的， ∴桔子的质量为600×（1）144， ∴香蕉的质量为216， 即苹果、桔子、香蕉的质量分别为240千克、144千克、216千克； （2）解：根据题意得： 苹果：1750（元）， 1200（元），实赚1750﹣1200＝550（元）； 香蕉：945（元）， 216×3＝648（元），实赚：600﹣240﹣216＝297（元）； 桔子：840（元）， 576（元），实赚：840﹣576＝264（元）， 550+297+264＝1111（元），则该商店共赚1111元钱． 【点评】本题考查了分数四则混合运算的应用，属于中档题． 28．（2025春•上海期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车； （2）该汽车在充满电时的续航里程为400千米． 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该汽车在充满电时的续航里程为m千米，利用速度＝续航里程÷时间，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车； （2）设该汽车在充满电时的续航里程为m千米， 根据题意得：20， 解得：m＝400． 答：该汽车在充满电时的续航里程为400千米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． ☆ 创新及压轴：齿轮传动、旋转扫过面积及最优方案 ※方法总结 · 题29（齿轮传动比与方向）：外啮合齿数比 = 转速反比，方向相反；同轴联动转速相同方向相同。利用齿数计算转速比。 · 题30（旗帜翻动轨迹与扫过面积）：点A经过的路程是以B为圆心、AB为半径的圆弧；AC扫过的面积 = 扇形BCF面积－扇形BAE面积。 · 题31（长方形铁皮做圆柱形容器）：根据侧面与底面圆的关系，设未知数列方程求半径；比较不同方案体积，选择最大者并计算材料利用率。 · 题32（整体思想拓展）：通过方程组整体运算求代数式的值；对于新定义运算，利用已知条件构造整体求值。 ✨ 思想：建模与优化、数形结合、整体代入。 29．（2026春•黄浦区期中）【综合与实践】 如图甲，这是地理模型中的“三球运动模型”，该模型是通过齿轮连杆传动来模拟地球、月球、太阳之间的运动关系．通过地理课的学习，我们知道地球绕太阳旋转的方向与月球绕地球旋转的方向是一致的．地球绕太阳公转一圈为一年，月球绕地球公转一圈为一月． （1）通过图乙的结构介绍，我们发现该模型主要由两组齿轮模型组成，分别是图丙和图丁． 【剖析原理】 齿轮传动方式 转动圈数比 转动方向 外齿合传动（图丙） 例如：大齿轮为120齿，小齿轮为10齿，则大小齿轮转动圈数比为　1：12　 大小齿轮转动方向　相反　 （填“相同”或“相反”） 同轴联动传动（图丁） 大小齿轮转动圈数比为1：1 大小齿轮转动方向始终一致 【制作模型】 （2）学生根据原理制作了以下A、B、C三种不同的齿轮传动模型． 根据展示的三种齿轮传动模型方案，请回答： ①根据A、B、C三张图中标注的齿轮齿数，在连杆逆时针转动时（轴MN固定在底座上），则B图中地球模型与月球模型的转速比为　1：6　 ； C图中地球模型与月球模型的转速比为　1：12　 ； ②根据地、月公转比为1：12的地理知识，A、B、C三张图中既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向的是C （填字母）． 【答案】（1）1：12；相反； （2）①1：6，1：12； ②C． 【分析】（1）外啮合传动（图丙），两个齿轮转动的齿数相同，即大齿轮转动的齿数等于小齿轮转动的齿数，据此可求出大小齿轮转动圈数比，观察图丙可得，大小齿轮转动方向相反； （2）①B图中MN轴与PQ轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，PQ轴与ST轴通过80齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，根据外啮合传动和同轴联动传动特点可求出地球模型与月球模型的转速比，C图中MN轴与EF轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，EF轴与GH轴通过40齿的齿轮与10齿的齿轮啮合，据此可求出地球模型与月球模型的转速比； ②由地理知识可得：地、月公转比为1：12，且公转方向一致，图C地球模型与月球模型的转动方向一致，且地球模型与月球模型的转速比为1：12，符合题意． 【解答】解：（1）∵外啮合传动（图丙），两个齿轮转动的齿数相同，即大齿轮转动的齿数等于小齿轮转动的齿数， 又∵大齿轮转动一圈为120齿，小齿轮转动一圈为10齿， 又∵120÷10＝12， ∴大齿轮转动1圈会带动小齿轮要转动12圈， ∴图丙中大小齿轮转动圈数比为1：12，即外啮合传动的齿轮的转速比会等于齿数的反比， 观察图丙可得，大齿轮顺时针向右转动会带动小齿轮逆时针向左转动，反之亦然， ∴图丙中大小齿轮转动方向相反， 故答案为：1：12；相反； （2）①B图中MN轴与PQ轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，PQ轴与ST轴通过80齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，如图所示： 由外啮合传动的特点可得：MN轴转动1圈会带动PQ轴转动120÷40＝3（圈）， 又∵PQ轴上的两个齿轮为同轴联动传动， ∴PQ轴上的80齿的齿轮也会转动3圈， ∴PQ轴会带动ST轴转动3×80÷40＝6（圈），即为月球模型的转速， ∵地球模型通过底部的连杆与MN轴相连，即地球模型的转速与MN轴相同， ∴B图中地球模型与月球模型的转速比为1：6， C图中MN轴与EF轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，EF轴与GH轴通过40齿的齿轮与10齿的齿轮啮合，如图所示： ∴MN轴转动1圈会带动EF轴转动120÷40＝3（圈）， ∴EF轴会带动GH轴转动3×40÷10＝12（圈），即为月球模型的转速， ∵地球模型通过底部的连杆与MN轴相连，即地球模型的转速与MN轴相同， ∴C图中地球模型与月球模型的转速比为1：12， 故答案为：1：6，1：12； ②由地理知识可得：地、月公转比为1：12，且公转方向一致， 如图A所示： ∵地球模型通过底部连杆与MN轴相连， ∴地球模型与MN轴转动方向相同， ∵月球模型通过大小齿轮与MN轴外啮合， ∴月球模型与MN轴转动方向相反， ∴图A地球模型与月球模型的转动方向不一致，不符合题意， ∵B图中地球模型与月球模型的转速比为1：6， ∴图B模型不符合题意， 如图C所示： ∵地球模型通过底部连杆与MN轴相连， ∴地球模型与MN轴转动方向相同，月球模型通过大小齿轮先与EF轴外啮合，再与MN轴外啮合， ∴月球模型与MN轴转动方向相同， ∴图C地球模型与月球模型的转动方向一致，且地球模型与月球模型的转速比为1：12，符合题意， ∴图C既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向， 故答案为：C． 【点评】本题考查比的意义，不同连接方式的齿轮转速比，转动的方向，掌握其相关知识点是解题的关键． 30．（2026春•虹口区校级期中）小海同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形ABC是一个直角三角形，角ABC等于60°，边AB＝10厘米，BC＝20厘米，旗帜把手DC＝10厘米． （1）如图，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留π） （2）求边AC扫过的阴影面积；（结果保留π） （3）如图，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是　a 厘米．（结果用含有a的式子表示） 【答案】（1）厘米； （2）100π平方厘米； （3）a． 【分析】（1）根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积的计算公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； （3）利用弧长公式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图3，点A所经过的路线是以点B为圆心，以AB为半径，圆心角为120°的弧长，即（厘米）； （2）S阴影部分＝S扇形BCF+S△BEF﹣S△ABC﹣S扇形BAE ＝S扇形BCF﹣S扇形BAE ＝100π（平方厘米）， 答：边AC扫过的阴影面积为100π； （3）设旋转角的度数为n°，则点C经过的路程为a厘米， 点D经过的路程为a（厘米）， 故答案为：a． 【点评】本题考查弧长、扇形面积的计算，掌握弧长公式、扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 31．（2025春•普陀区期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图1，已知长方形铁皮的长为16.56cm，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（π取3.14） 【任务二】如图2，用一块长为24cm，宽为18cm的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以24cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图2上画出裁剪示意图．（标注尺寸，π取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图3上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，π取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，π取3） 【答案】任务一：则这个圆柱形容器的体积是50.24cm3； 任务二：此时圆柱形容器的体积480cm3，示意图见解答； 以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，示意图见解答，理由见解答． 任务三：方案B利用率更高． 【分析】任务一：设圆柱底面圆半径为r，根据题意可得2r+2πr＝16.56，得出r＝2cm，根据圆柱的体积公式求解即可． 任务二：方案A：根据题意可得r＝24÷（2π）＝4cm，故圆柱形容器的高10cm，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 方案B：以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，则r＝18+（2π）＝3cm，故圆柱形容器的高18cm，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为16cm，8cm，则该半圆的半径为8cm，根据利用率＝（半圆面积+圆的面积+小长方形的面积）÷大长方形的面积求解即可；如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为12cm，6cm，则该半圆的半径为 6cm，根据利用率＝（半圆面积+圆的面积+小长方形的面积）÷大长方形的面积求解即可． 【解答】解：任务一：设圆柱底面圆半径为r，根据题意可得2r+2πr＝16.56，即2r+6.28r＝16.56， 解得：r＝2， 则这个圆柱形容器的体积＝πr2×2r≈3.14×22×2×2＝50.24cm3； 任务二：方案A：根据题意可得r＝24÷（2π）＝24÷6＝4cm， 故圆柱形容器的高＝18﹣2×4＝10cm， 该圆柱形容器的体积＝10×π×42＝10×3×16＝480cm3， 示意图如下： 方案B：以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则r＝18÷（2π）＝18÷6＝3cm， 故圆柱形容器的高＝24﹣2×3＝18cm， 示意图如下： 该圆柱形容器的体积＝18×π×32＝18×3×9＝486cm3， ∵486＞480， 故以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大． 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为24﹣8＝16cm，8cm， ∵16＝2×8，该半圆的半径为8cm， ∴该半圆的面积， 利用率 如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为18﹣6＝12cm，6cm， ∵12＝2×6，该半圆的半径为6cm， ∴该半圆的面积， 利用率， ∵93.8%＞88.9%， 故方案B利用率更高． 【点评】本题考查了圆柱的体积和展开图，圆面积，理解题意是解题的关键． 32．（2025春•闵行区校级月考）【阅读理解】已知方程组，求x﹣4y的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入x﹣4y得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． （1）【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求7x+5y的值； （2）【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ （3）【拓展延伸】对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28．求1*1的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依题意，由①+②×2可得解； （2）依题意，列出方程组，由①×2﹣②可得解； （3）依题意，由①×3﹣②×2可得解． 【解答】解：（1）依题意，结合整体思想， 由由①+②×2可得： 7x+5y＝19； （2）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元， 根据题意可得： 20x+3y+2z＝32①， 39x+5y+3z＝58②， 由①x2﹣②， 可得x+y+z＝6， ∴5x+5y+5z＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元； （3）依题意可得： 3a+5b+c＝15①， 4a+7b+c＝28②， 由①x3﹣②x2，得a+b+c＝﹣11， ∴1*1＝a+b+c＝﹣11． 【点评】本题考查了方程组的应用，做题的关键是整体思想． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1（连比化简）：已知 ，，求最简整数连比。方法：将百分数、分数化为整数比，再统一中间量y的份数。 · 练习2（扇形环形阴影面积）：已知大小扇形半径及圆心角，求阴影部分面积。方法：大扇形面积减小扇形面积。 · 练习3（圆柱圆锥倒置容器中的水）：先求水的体积；倒置后空白部分体积 = 整体体积－水的体积，再求空白圆柱的高，从而得到水面到圆锥顶点的高度。 · 练习4（篮球联赛胜负场）：设胜x场，负y场，根据总场数15和积分39列方程组求解。 · 练习5（换元法解分式方程组）：令 ，化为整式方程组，解出后回代求x,y。 【练习1】（2026春•黄浦区期中）已知，求x：y：z（结果写成最简整数比）． 【答案】x：y：z＝8：12：15． 【分析】先把这两个比例转化成整数比，然后把它们连起来，找到共同的变量y的值，最后把x、y、z的比例统一起来即可解答． 【解答】解：∵x：y＝20%：30%， ∴x：y＝2：3， ∴x：y＝2：3＝8：12， ∵， ∴y：z＝4：5， ∴y：z＝4：5＝12：15， ∴x：y：z＝8：12：15． 【点评】本题是考查了最简比的化简，熟练掌握最简比的化简方法，是求解该题的关键． 【练习2】（2026春•崇明区期中）已知OB＝2cm，OA＝4cm，∠BOC＝112°，则图中的阴影部分的面积为多少平方厘米？（结果保留π） 【答案】阴影部分的面积为平方厘米． 【分析】根据扇形的面积求解即可； 【解答】解：S阴影＝S大扇形﹣S小扇形 （平方厘米）， ∴图中的阴影部分的面积为平方厘米． 【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习3】（2025春•崇明区期末）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）． （1）容器中水的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 【答案】（1）301.44立方厘米； （2）10厘米． 【分析】（1）直接根据圆柱的体积计算公式求解即可； （2）先求出这个容器的总体积，进而求出图2中空白部分的体积，再求出空白部分圆柱的高即可得到答案． 【解答】解：（1）容器中水的体积：3.14×（8÷2）×（8÷2）×6＝301.44（立方厘米）， 答：容器中水的体积是301.44立方厘米． （2）圆柱的体积：3.14×（8÷2）×（8÷2）×9＝452.16（立方厘米）， 圆锥的体积：（立方厘米）， 所以图2中空白部分的体积为452.16+100.48﹣301.44＝251.2（立方厘米）， 所以从水面到圆锥顶点的高度：6+9﹣251.2÷[3.14×（8÷2）×（8÷2）]＝10（厘米）， 答：从水面到圆锥顶点的高度是10厘米． 【点评】本题主要考查了圆锥的体积，圆柱的体积，掌握其体积公式是解题的关键． 【练习4】（2026春•长宁区校级期中）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班级胜场数是12场，负场数是3场． 【分析】设胜了x场，负了y场，由某班级在15场比赛中获得总积分为39分，再建立方程组求解即可． 【解答】解：设胜了x场，负了y场， 根据题意列方程组得：， 解得， 答：该班级胜场数是12场，负场数是3场． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 【练习5】（2025春•闵行区校级期中）解方程组：． 【答案】． 【分析】设2x+y＝a，x﹣2y＝b，可得，解分式方程可得a＝1，b＝1，即得，再解方程组即可求解． 【解答】解：解方程组：． 设2x+y＝a，x﹣2y＝b， 则方程组可变为， ②﹣①×3，得， 解得a＝1，把a＝1代入①，得， ∴b＝1， ∴， 解得． 【点评】本题考查了分式方程，解二元一次方程组，利用换元法解答是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：连比化简（分数与小数统一）。 · 作业2：百分数应用——购房优惠方案比较（直接打折 vs 送物业费）。 · 作业3：利息计算（本息和 = 本金+本金×年利率×年数）。 · 作业4：四个等圆重叠的阴影面积（割补转化为两个120°扇形面积）。 · 作业5：扫地机器人沿地毯边缘行走，圆心轨迹 = 长方形两长 + 半径为（外半径）的圆周长。 · 作业6：圆形面积比较：12寸披萨与两个8寸披萨的面积大小。 · 作业7：帐篷的帆布面积（圆柱侧面积+圆锥侧面积）及容积（圆柱+圆锥）。 · 作业8：圆柱形水杯盛水，每日需水量转化为杯数。 · 作业9：换元法解分式方程组。 · 作业10：解三元一次方程组（加减消元）。 · 作业11：新定义“解距”及“单位差”，求参数或整数解。 · 作业12：明代数学问题——和尚分碗（一元一次方程）。 · 作业13：包车费用问题，判断订单数据合理性（整数解检验）。 · 作业14：草莓包装方案设计，利用二元一次方程组及不等式求可行方案。 【作业1】（2026春•上海校级月考）已知，求a：b：c． 【答案】a：b：c＝21：35：20． 【分析】先化简已知的两个单比，再根据比的基本性质统一两个比中b的份数，即可求出三个数的连比． 【解答】解：∵，， ∴a：b＝21：35，b：c＝35：20， ∴a：b：c＝21：35：20． 【点评】本题考查的是比例的基本性质，熟知比例的性质是指组成比例的四个数，合分比性质、等比性质是解题的关键． 【作业2】（2026春•上海校级月考）某楼盘准备以每平方米9000元的平均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8050元的平均价开盘销售． （1）李伯伯准备以开盘平均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择．如果你是李伯伯，会选择哪种方案？请说明理由； （2）该楼盘其中一幢9号楼，开发商决定再让利于民，该楼的平均价为7800元/平方米，且每层价格不一，如下表（9号楼均为三室两厅，面积120平方米，买该号楼不享受优惠方案）． 一楼 二楼 三楼 四楼 五楼 六楼 减5% 平均价 加10% 加5% 减5% 减10% 陈叔叔家要买一套四楼的住房，请计算出购买这套房子的价钱． 【答案】（1）选择方案一，理由见解析； （2）982800元． 【分析】（1）对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价×100×0.98；②方案：下调后的均价×100﹣两年的物业管理费，比较确定出更优惠的方案； （2）列式计算得出答案即可． 【解答】解：（1）选择方案一，理由如下： ①8050×98%×100＝788900（元）， ②8050×100﹣1.5×12×100×3＝799600（元）， 788900＜799600， ∴选择方案一． （2）7800×（1+5%）×120＝982800（元）， 答：购买这套房子的价钱为982800元． 【点评】本题主要考查的是百分数的应用，关键在于理解清楚题意，列式求解． 【作业3】（2026春•金山区期中）小海的爸爸存入100000元准备三年后取出．如果小海的爸爸选择定期存款三年，年利率为1.25%，那么到期可以从银行取回多少元？ 【答案】到期后可以从银行取回103750元． 【分析】根据“本息＝本金+本金×年利率×时间”进行计算即可． 【解答】解：100000×1.25%×3＝3750（元）， 100000+3750＝103750（元）， 答：到期后可以从银行取回103750元． 【点评】本题考查了百分数的应用，掌握本金、利率、存期和利息之间的关系是解题的关键． 【作业4】（2026春•浦东新区校级月考）如图，4个圆的半径都是1厘米．求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】平方厘米． 【分析】把两个小阴影图形分割后，补在两个大阴影图形旁边，由于∠AED＝120°，阴影部分的面积等于两个的圆的面积，据此列式计算即可． 【解答】解：如图：把两个小阴影图形分割后，补在两个大阴影图形旁边， ∵， ∴阴影部分的面积等于两个的圆的面积， ∴阴影部分的面积平方厘米． ∴阴影部分的面积为π平方厘米． 故答案为：π平方厘米． 【点评】本题考查圆的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业5】（2026春•普陀区校级期中）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，求扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？（扫地机器人圆形底面的半径是1分米）（π取3.14） 【答案】85.68分米． 【分析】扫地机器人的底面圆心走过的路线长等于大长方形的两个长加上以半径为5+1＝6（分米）的圆的周长，根据圆的周长＝2πr，代入相关数据计算即可解答． 【解答】解：扫地机器人的底面圆心走过的路线长等于大长方形的两个长加上以半径为5+1＝6（分米）的圆的周长可知：半径5+1＝6（分米）， 24×2+2×3.14×6＝85.68（分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长85.68分米． 【点评】本题主要考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 【作业6】（2026春•普陀区期中）小明在外卖软件中订购了一个12寸的圆形披萨，不久后他接到电话，商家称12寸披萨售罄，愿意用两个8寸同类型圆形披萨来代替，请通过计算说明这种方案是否可行，并得出此方案多（或少）拿到多少平方英寸的披萨． （补充说明：披萨的寸数以直径计，单位为英寸，π取3.14） 【答案】这种方案不可行，此方案少拿到12.56平方英寸的披萨． 【分析】求出12寸和8寸的圆形披萨的面积，作差即可． 【解答】解：由题意，2个8寸的圆形披萨的面积为（平方英寸）； 12寸的圆形披萨的面积为（平方英寸）； 113.04﹣100.48＝12.56（平方英寸）， 答：这种方案不可行，此方案少拿到12.56平方英寸的披萨． 【点评】本题考查有关圆的应用题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业7】（2025春•崇明区期末）如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为28.26m2，母线AD＝2m，圆锥的高SO＝lm，母线SD＝3.16m． （1）制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到0.1m2）？ （2）帐篷的容积大约是多少（π取3.14，结果精确到0.1m3）？ 【答案】（1）67.4m2；（2）65.9m3． 【分析】（1）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积和即可； （2）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【解答】解：（1）由题意3.14×O′A2＝28.26， ∴O′A＝3， ∴圆柱的侧面积＝2×2π×3＝12π（m2），圆锥的侧面积＝π×3.16×3＝9.48π（m2）， 12π+9.48π≈67.4（m2）． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要67.4m2帆布； （2）帐篷的容积＝π×32×2π×32×1＝65.9（m3）． 答：帐篷的容积为65.9m3． 【点评】本题考查圆柱的计算，认识立体图形，近似数与有效数字，解题的关键是理解题意，正确计算． 【作业8】（2025春•闵行区期末）水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为30～35毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升＝1000立方厘米，π的值取3） 【答案】6． 【分析】根据圆柱的体积公式求出圆柱形水杯的容积，从而计算他每日需用这样的杯子喝多少杯水即可． 【解答】解：圆柱形水杯的容积为（6÷2）2π×10＝270（cm3）， 1.62×1000÷270＝6（杯）． 答：他每日需用这样的杯子喝6杯水． 【点评】本题考查圆柱的体积，掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键． 【作业9】（2025春•徐汇区校级期中）解方程组：． 【答案】． 【分析】根据题意，设，则原方程组为，根据加减消元法得出a＝3，b＝﹣7，进而即可求解． 【解答】解：， 设， ∴原方程组为， 2×②得6a+2b＝4，③， ③﹣①得，a＝3， 将a＝3代入②得9+b＝2， b＝﹣7， ∴，， ∴x﹣1，y， ∴x，y， ∴． 【点评】本题考查了解方程组，正确运用换元法是解题的关键． 【作业10】（2025春•崇明区期末）解方程组：． 【答案】． 【分析】方程组前两个方程相加消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出x与z的值，进而求出y的值即可． 【解答】解：①+②得：9x﹣2z＝20④， ④﹣③得：8x＝16， 解得：x＝2， 把x＝2代入③得：2﹣2z＝4， 解得：z＝﹣1， 把x＝2，z＝﹣1代入②得：10﹣y﹣1＝7， 解得：y＝2， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【作业11】（2025春•徐汇区校级期末）阅读材料；对于未知数为x，y的二元一次方程组，将|x﹣y|定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于|x﹣y|＝2，所以其解距为2；方程组的解为，由于|x﹣y|＝1，所以其解具有“单位差”． （1）判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； （3）若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数k． 【答案】（1）具有“单位差”，理由见解析；（2）a＝1或a＝0；（3）k＝﹣3或﹣5或1或﹣9． 【分析】（1）先解方程组得到x＝6，y＝5，再根据|x﹣y|＝|6﹣5|＝1，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，，再由2x﹣y＝5可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到，，再根据解距是整数得到k+4＝±1或±5，解方程即可． 【解答】解：（1）方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ②×2﹣①得，4x+2y﹣3x﹣2y＝34﹣28， x＝6， 将x＝6代入②得，2×6+y＝17， 解得：y＝5， ∴|x﹣y|＝|6﹣5|＝1， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）， ①+②得，2x+ax﹣y+y＝5+7， （2+a）x＝12， ∴， ∴由2x﹣y＝5可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得：a＝1或a＝0； （3）， ①+②×2得，kx+2y+4x﹣2y＝3+2k， （k+4）x＝3+2k， 解得：， 将代入②得，， 解得：ykk＝4﹣k， ∴x﹣y（4﹣k） k﹣4 k﹣4 ＝|k﹣2|， ∴解距|x﹣y|＝|k﹣2|， ∵方程组的解距是整数， ∴k+4＝±1或±5， 解得k＝﹣3或﹣5或1或﹣9． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，绝对值，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 【作业12】（2025秋•闵行区期末）明代《算法统宗》中记录着这样一个问题，“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座寺庙里、每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚分一碗汤，一共用了364只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 【答案】寺内一共有624个和尚，饭碗有208只饭，汤碗有156只． 【分析】设寺内有x名僧人，根据题意列出方程即可求出答案． 【解答】解：设寺内有x名僧人， 由题意得364， 解得：x＝624． ∴x＝208（只），x＝156（只）， 答：寺内一共有624个和尚，饭碗有208只饭，汤碗有156只． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 【作业13】（2025秋•嘉定区期末）小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下： 观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆； 观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆． 某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元． （1）求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？ （2）当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因． 【答案】（1）观光大巴10辆，观光小车10辆； （2）景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费． 设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆， ， 解得： ∵a，b不是整数，但车辆数量必须为整数，矛盾，所以李叔叔的说法有误． 【分析】（1）设观光大巴有x辆，观光小车有y辆，根据题意列出x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆，根据题意列出a，b的二元一次方程组，求解得出a，b不是整数，即可得出答案． 【解答】解：（1）设观光大巴有x辆，观光小车有y辆， 根据题意，有， 解得：， 所以观光大巴10辆，观光小车10辆； （2）景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费． 设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆， ， 解得： ∵a，b不是整数，但车辆数量必须为整数，矛盾，所以李叔叔的说法有误． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业14】（2025春•闵行区校级期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，根据“在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务二：设可以分装成m盒精包装，则分装成盒简包装，根据购买包装盒的成本控制在18元以内，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出结论． 【解答】解：任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒； 任务二：分装成3盒精包装，23盒简包装（或分装成6盒精包装，21盒简包装），理由如下： 设可以分装成m盒精包装，则分装成盒简包装， 根据题意得：m+0.518， 解得：m， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为3，6， ∴共有2种分装方案， 方案1：分装成3盒精包装，23盒简包装； 方案2：分装成6盒精包装，21盒简包装． 答：分装成3盒精包装，23盒简包装（或分装成6盒精包装，21盒简包装）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务二：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $