专题04圆柱与圆锥期末复习讲义(13大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制六年级数学下册

专题04圆柱与圆锥期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识圆柱、圆锥的特征，分清底面、侧面、高各部分名称 2.掌握圆柱侧面积、表面积计算公式 3.熟记圆柱、圆锥体积计算公式，理解公式推导原理 4.明晰圆柱与圆锥体积间的数量关系 1.熟练计算圆柱侧面积、表面积与体积 2.正确求解圆锥体积，掌握等底等高圆柱圆锥换算 3.解决切割、拼接类立体图形表面积变化问题 4.运用公式解答容积、浸水、堆放等实际应用题 5.结合已知条件，反向推算底面半径、高未知量 1.基础公式计算不出错，稳固基础分值 2.准确处理表面积增减、体积换算类考题 3.规范解答生活实际应用题型 4.区分表面积与体积概念，规避公式混用错误 5.应对组合立体图形计算，提升解题正确率 题型01.圆柱的认识及特征 题型02.圆柱的展开图 题型03.圆柱的侧面积 题型04.圆柱的表面积 题型05.圆柱的体积 题型06.圆柱的容积 题型07.圆锥的认识及特征 题型08.求圆柱侧面积 题型09.求圆锥底面半径 题型10.圆柱与圆锥体积的关系 题型11.组合体的表面积 题型12.组合体的体积 题型13.不规则物体的体积算法 知识点01:圆柱立体认知｜基础必背 1. 基本特征 · 有3 个面：上下 2 个完全相同的圆形底面，1 个曲面侧面 · 两底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高，长度全部相等 · 侧面沿高剪开展开是长方形；底面周长 = 长方形长，圆柱的高 = 长方形宽 2. 常用字母 3.侧面展开奥秘 沿高剪开侧面，展开图形为长方形： 长方形长 = 圆柱底面周长 长方形宽 = 圆柱的高 特殊情况：当底面周长与高相等时，侧面展开为正方形。 知识点02:圆柱核心计算公式｜必考重点 1.侧面积 圆柱侧面积依托展开图推导，是曲面计算核心考点 2.表面积 完整圆柱：侧面积加上两个圆形底面 生活特殊场景：无盖圆柱 → 侧面积＋1 个底面积 通风管 / 烟囱 → 只计算侧面积 3.圆柱体积 运用切拼转化思想，将圆柱转化为近似长方体推导公式圆柱底 知识点03:圆锥 1. 基本特征 有2 个面：1 个圆形底面，1 个曲面侧面 顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有1 条高 侧面展开是扇形 2.侧面展开特征 圆锥侧面展开为扇形，扇形半径不是圆锥的高，做题切勿混淆。 知识点04:圆锥体积公式｜易错重灾区 通过等底等高实验验证：圆柱体积是圆锥的 3 倍 ❣核心提醒：计算圆锥体积，一定不能漏掉三分之一。 知识点05:圆柱与圆锥对比表格｜一目了然 对比内容 圆柱 圆锥 底面数量 2 个大小相同的圆 1 个圆形底面 侧面形状 曲面，展开为长方形 / 正方形 曲面，展开为扇形 高的条数 无数条，长度相等 仅有 1 条 体积关系 等底等高，体积为圆锥的 3 倍 等底等高，体积为圆柱的​ 知识点06:圆柱与圆锥体积关系 等底等高时： 1.圆柱体积 = 3× 圆锥体积 2.圆锥体积 = 圆柱体积 3.体积差：圆柱比圆锥大 2 倍圆锥体积 知识点07:常见实际题型考点 1.只求侧面积：烟囱、通风管、压路机滚筒、商标纸 2.一个底面 + 侧面积：无盖水桶、鱼缸、蓄水池 3.完整表面积：罐头盒、密封圆柱物体 4.体积容积：蓄水、装粮、浸没物体求体积 5.切割拼接：切圆柱增加圆形横截面面积 6.削最大圆锥：同圆柱内最大圆锥，满足等底等高 知识点08:单位换算专项｜计算扣分点 立体图形计算常考单位统一： 长度单位：米、分米、厘米 面积单位：平方换算进率 100 体积单位：立方换算进率 1000 易错知识点 1.区分表面积、侧面积、体积概念，公式不可混用 2.计算圆锥体积必须牢记乘 3.单位统一：半径、高单位保持一致 4.已知直径先换算半径再计算 5.等体积变形问题，体积总量不变 题型01.圆柱的认识及特征 1．家里的圆柱形水桶，在使用时体现圆柱特征的是（    ） A．水桶的把手是弯曲的 B．水桶的容积比正方体水桶大 C．水桶有两个完全相同的圆形底面（桶底和桶口），侧面是曲面 D．水桶是塑料材质的 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的几何特征．圆柱的定义是有两个平行且全等的圆形底面和一个曲面侧面；选项A、B、D均未直接描述圆柱的几何特征，只有选项C准确描述了圆柱的特征． 【详解】解：圆柱的特征包括两个完全相同的圆形底面（如桶底和桶口）和一个曲面侧面；   选项C明确描述了这一特征，而其他选项（A、B、D）涉及把手、容积比较或材质，均与圆柱的几何特征无关；   故选：C． 2．长方形的长是，宽是，以长方形的一边为轴转动一圈，则形成一个圆柱，圆柱的底面周长是___________． 【答案】或 【分析】需分两种情况讨论：①以长方形的长为旋转轴；②以长方形的宽为旋转轴，再分别代入圆的周长公式计算底面周长． 【详解】解：当以长方形的长轴旋转一圈时，形成的圆柱底面半径为长方形的宽，即． 圆柱的底面周长是． 当以长方形的宽为轴旋转一圈时，形成的圆柱底面半径为长方形的长，即． 圆柱的底面周长是． 故圆柱的底面周长为或． 3．1包饼干包装后为圆柱形，将12包这种饼干放入一个长、宽的长方体纸盒内（如图）．每包饼干的底面直径是（ ）． A．4 B．6 C．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱的认识及特征，掌握圆柱的特征及应用是解题的关键． 从图中可知，长方体纸盒的长放了圆柱形饼干4包，即长是每包饼干直径的4倍，用长方体的长除以4，即可求出每包饼干的底面直径． 【详解】解：（） 每包饼干的底面直径是． 故答案为：B． 4．如图是爸爸送给源源的生日蛋糕的包装盒．这个圆柱形包装的底面直径是，高是．如图中那样用“十字形”彩带包装，打结处需的彩带，一共需要多少的彩带？ 【答案】235 厘米 【分析】此题主要考查利用圆柱的特征来解决实际问题．彩带的长为 4 条直径加上 4 条高和打结处用去的彩带长，据此即可求解． 【详解】解： （厘米）， 答：一共需要 235 厘米的彩带． 题型02.圆柱的展开图 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（    ）相等． A．底面直径 B．底面周长 C．底面积 D．底面半径 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱侧面展开图，圆柱的侧面展开图是长方形，该长方形的两邻边中，其一边是高，另一边是底面周长．当展开图为正方形时，长方形的两边相等，据此可得答案． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开图是长方形，高和底面周长分别为长方形的两边（相邻）， 又∵圆柱的侧面展开图是正方形， ∴该圆柱的高等于底面周长， 故选B． 6．如图，一个圆柱形玩具，侧面贴着装饰布，圆柱底面半径是，高是，这个装饰布展开后是一个长方形，它的长是( )，宽是( )． 【答案】 62.8 18 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高．根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解：∵圆柱高是， ∴长方形的宽是18厘米， （厘米） ∴长方形的长是62.8厘米． 7．选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ） A．甲和① B．甲和② C．乙和① D．乙和③ 【答案】A 【分析】制作一个圆柱形容器，说明要选一个正方形（或长方形）和一个圆形铁皮，而且所选的正方形（或长方形）的一条边和圆的周长相等即可达到要求，关键算出圆的周长；逐一分析四个选项里的组合，找出不能成立的选项． 【详解】A．甲的边长是，①的周长是，，所以不能做成圆柱形的容器； B．甲的边长是，②的周长是，，所以能做成圆柱形的容器； C．乙的宽是，①的周长是，，所以能做成圆柱形的容器； D．乙的长是，③的周长是，，所以能做成圆柱形的容器． 8．用如下图所示的3块铁皮做成一个油桶，那么做好的油桶能装多少千克油？（每升油的质量是） 【答案】70.336千克 【分析】根据题图，可知一个底面圆直径加底面圆周长等于，即，用16.56除以，即可求出底面圆的直径；由图可知，圆柱的高是底面直径的2倍，用底面直径乘2即可求出圆柱的高；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可求出油桶的容积；最后用油桶的容积乘0.7，即可求出油的质量，据此解答． 【详解】解：底面圆的直径：， 圆柱的高： 油桶的容积： （千克） 答：做好的油桶能装70.336千克油． 题型03.圆柱的侧面积 9．一个底面周长是的圆柱，它的侧面积是，则这个圆柱的高是_______． 【答案】2 【分析】根据圆柱的侧面积公式，已知侧面积和底面周长，变形公式即可计算出圆柱的高． 【详解】解：由圆柱侧面积公式，变形得， 将，代入得： ． 10．用两张完全相同的长方形纸，分别卷成两个不同的圆柱形纸筒，圆柱①和圆柱②的侧面积相比，（ ）． A．一样大 B．圆柱①大 C．圆柱②大 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱侧面展开图，掌握圆柱的侧面沿高展开是一个长方形是解题的关键． 根据圆柱的侧面展开图是一个长方形，该长方形的长等于圆柱的底面周长、宽等于圆柱的高，据此进行分析即可解答． 【详解】解：用两种不同的方法分别卷成圆柱形纸筒，这两个圆柱形纸筒的侧面积都是长方形的面积， ∵两张完全相同的长方形纸， ∴这两个圆柱形纸筒的侧面积相等， ∴两张完全相同的长方形纸，用两种不同的方法分别卷成圆柱形纸筒， ∴这两个圆柱形纸筒的侧面积相等． 故选A． 11．如图，把一个底面直径和高都是6厘米的圆柱的侧面沿图中的虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是________平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积．通过观察图形可知，平行四边形的底等于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解： 平方厘米 答：这个平行四边形的面积是平方厘米． 故答案为：． 12．王老师家有一个圆柱形玻璃鱼缸（如图1），从里面量得底面直径是12分米，高是15分米．（本题π取3） (1)她想把鱼缸四周贴上透明的粉色彩纸，至少需要这种彩纸多少平方分米？ (2)她打开进水口向内注水，每分钟注水144升（如图2），若使鱼缸内水面高达到8分米，需要多少分钟？ (3)在（2）的条件下，（如图3）把一块棱长为6分米的正方体铁块放入鱼缸（铁块底部和鱼缸底部完全接触），此时会有水溢出吗？若没有，水面会上升多少分米？若有，会溢出多少升？请说明理由． 【答案】(1) (2)6分钟 (3)水不会溢出，水面上升 【分析】（1）求出圆柱的侧面积即可； （2）先求出鱼缸内水的体积，即可求解时间； （3）先得到正方体完全浸没在水中，再求出水面上升的高度即可． 【详解】（1）解：需要彩纸为：． （2）解：鱼缸底面半径为， 鱼缸内水的体积为（升）． 需要的时间为（分钟） （3）解：， 正方体完全浸没在水中． 水面上升的高度为． 即水面上升， 而， 水不会溢出． 题型04.圆柱的表面积 13．把一根圆柱形木料横截成段圆柱，表面积增加了这根木料的底面积是( )． 【答案】 【分析】把圆柱形木料横截成段，共增加个圆柱的底面积，用增加的总表面积除以增加的底面积个数，即可求出木料的底面积． 【详解】解：截成段圆柱后，增加的底面个数为 （个）， 所以木料的底面积为（）． 14．做一个无盖的圆柱形水桶，求至少需要多少铁皮，就是求水桶的（    ）． A．底面积 B．侧面积 C．侧面积两个底面积 D．侧面积一个底面积 【答案】D 【分析】无盖的圆柱形水桶缺少上底面，因此所需铁皮面积是侧面积加一个底面积． 【详解】解：∵ 完整圆柱的表面积包含两个底面积和一个侧面积， 又∵ 水桶无盖，缺少一个上底面， ∴ 制作水桶至少需要的铁皮面积为侧面积一个底面积． 15．如图，选择纸板制作一个圆柱形笔筒（无盖），你会选择( )，这个笔筒的表面积是( )平方厘米．（不考虑重叠部分，π取3.14） 【答案】 ①和③（答案不唯一） 405.06（答案不唯一） 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长（或宽）等于圆柱的底面周长，宽（或长）等于圆柱的高；根据圆的周长公式或，求出圆柱的底面周长，据此确定哪个长方形的长或宽等于这个圆柱的底面周长，就选择这个长方形． 【详解】解：选择③的圆作为圆柱的底面，那么圆柱的底面周长是： （厘米） 长方形①的宽是18.84厘米，所以选择纸板①和③制作一个无盖的圆柱形笔筒． 这个笔筒的表面积是： （平方厘米）， 选择④的圆作为圆柱的底面，那么圆柱的底面周长是： （厘米）， 长方形②的长是25.12厘米，所以选择纸板②和④制作一个无盖的圆柱形笔筒． 这个笔筒的表面积是： （平方厘米）． 选择⑤的圆作为圆柱的底面，那么圆柱的底面周长是： （厘米）， 两个长方形的边长均不能与此搭配． 16．图形计算 (1)求下图的表面积．（取，单位：厘米） (2)下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积．（取，单位：） 【答案】(1)平方厘米 (2)立方厘米 【分析】（1）半圆柱表面积由三部分组成：两个底面半圆（拼成1个整圆）+圆柱侧面积的一半+切面长方形面积，运用圆柱表面积公式列式计算，即可作答． （2）根据题意，先求出原来圆柱形木料的高，再运用圆柱体积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，该图形是沿直径切开的半圆柱，直径，圆柱高，半径， 整圆面积： 侧面积的一半： 切面长方形面积： 总表面积： （2）解：∵题干中圆柱形木料被削去一半后的形状， ∴原来圆柱形木料的高是（厘米） 则（立方厘米） 则被削去一半后的圆柱形木料的体积为（立方厘米） 题型05.圆柱的体积 17．一个圆柱的底面半径为，高，则该圆柱的体积为______．（结果保留π） 【答案】90π 【分析】根据圆柱体积公式，圆柱体积等于底面积乘高，代入已知半径和高计算即可． 【详解】解：圆柱的底面积为 ， 圆柱的体积为 ． 18．圆柱的底面半径不变，高扩大到原来的3倍，这个圆柱的体积（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的27倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查圆柱体积公式的应用，根据圆柱体积公式，结合底面半径不变的条件，可通过高的倍数变化推导出体积的倍数变化． 【详解】解：设圆柱原来的底面半径为，原来的高为，则原来圆柱的体积为． ∵圆柱底面半径不变，高扩大到原来的倍， ∴变化后圆柱的高为，变化后的体积． ∴体积扩大到原来的倍． 19．小兰的爸爸有一瓶容积是的绿葡萄酒（如图），瓶子中酒的液面高为；若把瓶子倒置，瓶底中空出的高度为．如果他每天喝毫升，这瓶葡萄酒能喝________天． 【答案】5 【分析】把瓶中葡萄酒的体积看作高的圆柱体积，把倒放后瓶子空余部分的体积看作高的圆柱体积，瓶子的总容积就是这两部分圆柱体积的和，这两个圆柱的底面积和瓶子的底面积相同．将瓶子看成一个高是的新圆柱体，用瓶子的容积除以新圆柱体的高度，即可得出瓶子的底面积，再用瓶子的底面积乘以瓶中酒的高度即可得出酒的体积，再将单位换算成毫升即可得到一共有多少葡萄酒，再除以每天喝的量即可得到能喝多少天． 【详解】解：瓶子的底面积：， 葡萄酒的体积：， ， （天）． 20．李大爷家要挖一口圆柱形水井，在比例尺是的设计图上，水井的直径是，井深． (1)这口井实际的井口直径和井深各是多少米？ (2)挖这口井要挖出多少立方米的土？（取） 【答案】(1)直径，井深 (2)立方米 【分析】（）根据实际距离图上距离比例尺计算即可求解； （）根据圆柱的体积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：直径：，， 井深：，， 答：这口井实际的井口直径是米，井深是米； （2）解：（立方米）， 答：挖这口井要挖出立方米的土． 题型06.圆柱的容积 21．如图是一个饮料瓶的示意图，饮料瓶的容积是625毫升，里面装有一些饮料．将这个饮料瓶正放时，饮料的高度是10厘米，倒放时，空余部分的高度是2.5厘米．则瓶内饮料是_______毫升． 【答案】500 【分析】本题考查了圆柱形容积的计算，掌握圆柱的容积公式是解题关键． 设瓶子的底面积为，根据题意列方程，求出底面积为50，进而即可求出瓶内现有饮料的容积． 【详解】解：设瓶子的底面积为， 由题意得：， 解得：， 则瓶内现有饮料的容积为（毫升）， 故答案为：500． 22．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将水倒进一个容量为的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果杯子没有满；（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A． 以上， 以下 B．以上， 以下 C． 以上， 以下 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，结合题意分析解答即可． 要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可． 【详解】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：（立方厘米） 一颗玻璃球的体积最少是：（立方厘米） 一颗玻璃球的体积最多是：（立方厘米） 答：这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下． 故选：C． 23．广场上有1个用砖砌成的花坛（如图），现在准备往里填土，如果用载重15吨的卡车来运，至少要运多少车次才能把它填满？（1立方米的土大约重2.5吨） 【答案】53车次 【分析】本题主要考查了用“进一法”解决问题、圆柱的体积，解题的关键是掌握体积公式． 利用圆的直径减去两面的墙厚就是圆柱形花坛的直径，再利用圆柱的体积公式，求出需要的土的体积，再乘每立方米土的重量，就是花坛里需要土的总重量；用土的总重量除以卡车的载重量即可，除不尽的采用“进一法”保留整数． 【详解】解： （米） （吨） ，故至少要运53车次车次， 答：至少要运53车次才能把它填满． 题型07.圆锥的认识及特征 24．如果圆锥的底面半径为，高为，那么圆锥的体积是_____．（保留） 【答案】 【分析】本题考查圆锥体积的计算，根据圆锥体积的计算公式：，代入计算即可． 【详解】解：圆锥的体积． 25．下面测量圆锥高的方法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：下面测量圆锥高的方法中，是正确的， ． 26．把一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（   ）倍． A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆锥的相关知识，首先要知道圆锥的定义和特点，还要知道圆锥的体积公式等知识． 【详解】设原来的半径和高分别为和，则体积为：；扩大后的半径为，高为，所以体积为，是原来的8倍． 故选：C． 题型08.求圆柱侧面积 27．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，明确圆锥侧面展开图的性质，即扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，根据圆锥侧面积计算即可． 【详解】解：． 28．小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式（其中为侧面积，为底面圆半径，为母线长），计算即可得出结果． 【详解】解：∵测得圆锥底面半径为，母线长为， ∴生日帽的外表面积为． 29．小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，圆锥侧面沿母线展开后为扇形，扇形面积等于圆锥侧面积，结合扇形面积公式即可计算得到结果． 【详解】解：∵圆锥形纸套底面直径为， ∴底面圆的周长为， ∵侧面展开后扇形的弧长等于底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，扇形面积公式为， ∴代入得， 即所得图形的面积为． 30．小明家把收获的一堆粮食在门前广场上堆成圆锥形（如图），用皮尺测得底面圆的周长约为，粮食堆成的高度为．为防止淋雨，至少需要多大面积的塑料薄膜才能将其盖住（π取）？ 【答案】至少需要的塑料薄膜才能将其盖住 【分析】先根据底面圆周长求出底面半径，再结合圆锥的高求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式计算所需塑料薄膜的面积． 【详解】解：如图，由题意，得． 底面圆的周长约为， ， ， 圆锥的侧面积． 故至少需要的塑料薄膜才能将其盖住． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算，掌握先求底面半径和母线长，再利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键． 题型09.求圆锥底面半径 31．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是_____． 【答案】4 【分析】利用圆锥侧面积公式解题即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意得 将母线长代入得 等式两边约去，得 解得． 32．在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____． 【答案】/15厘米 【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，根据弧长公式列等式求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，由题意得： ， 解得． 33．如图，在矩形铁皮上剪下和扇形，将作为圆锥底面，扇形恰好作为圆锥的侧面，设的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， 整理得：． 故选：C． 34．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】扇形的半径为 【分析】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得：． 答：扇形的半径为． 题型10.圆柱与圆锥体积的关系 35．一个圆锥形容器盛满水，水深为18厘米．将圆锥形容器的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水深为( )厘米． 【答案】6 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥和圆柱的底面积为，圆柱形容器中水的深度为． 水的体积等于圆锥容器中水的体积，可得 ， ． 36．如图，圆柱和圆锥的底面积相等，童童把的水倒入两个容器后正好都倒满而没有剩余，圆柱的容积是_______． 【答案】 【分析】结合圆锥体积公式以及圆柱体积公式得出：同底等高的圆柱体积=同底等高的圆锥体积，再根据把的水倒入两个容器后正好都倒满而没有剩余，得出圆柱的容积是，即可作答． 【详解】解：结合图中信息，圆柱和圆锥的高相等， ∵圆柱和圆锥的底面积相等， ∴同底等高的圆柱容积=同底等高的圆锥容积， ∵把的水倒入两个容器后正好都倒满而没有剩余， ∴圆柱容积圆锥容积圆锥容积， ∴圆锥容积 ∴圆柱的容积是． 37．一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的，如果圆柱的体积和圆锥的体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可设圆柱的底面半径为，则圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，再根据圆柱的体积和圆锥的体积相等进行列式求解即可． 【详解】解：∵一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的， ∴设圆柱的底面半径为，则圆锥的底面半径为；圆柱的高为，圆锥的高为， ∵圆柱的体积和圆锥的体积相等， ∴， ∴， ∴圆柱的高是圆锥高的． 38．一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】水桶水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥的体积公式即可求解． 【详解】解：（立方厘米）， （厘米）， （平方厘米） （厘米）， 答：圆锥形铅锤的高是厘米． 题型11.组合体的表面积 39．如图是一个棱长 4 厘米的正方体，在正方体上面正中间向下挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1 厘米正方体小洞，最后得到的正方体图形的表面积是_______平方厘米． 【答案】116 【分析】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，通过观察图形可知，剩下图形的表面积比原来大正方体的表面积增加了棱长是2厘米的正方体的4个面和棱长是1厘米的正方体的4个面的面积．根据正方体的表面积公式： 【详解】解： (平方厘米) 故答案为∶116 40．把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体．下面（    ）是正确的 A．表面积和体积都没变 B．表面积和体积都发生了变化 C．表面积变了，体积没变 D．表面积没变，体积变了 【答案】C 【分析】设圆柱的半径为r，高为h，根据圆柱的切割方法与拼组特点可知：拼成的长方体的长是圆柱底面周长的一半，即是，宽是半径的长度是r，高是原来圆柱的高h，由此利用长方体的表面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解:设圆柱的半径为r，高为h，则拼成的长方体的长，宽是r，高是h， 原来圆柱的表面积为：； 拼成的长方体的表面积为：， ， ， ， 所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了； 原来圆柱的体积为：， 拼成的长方体的体积为：， ， 所以拼成的长方体和圆柱的体积大小没变； 所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了，但是体积没变； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的认识，几何体的表面积和体积，根据圆柱切割后拼组长方体的特点，得出这个长方体的长，宽，高是解决此类问题的关键． 41．一顶礼帽是由圆柱形帽身和圆环形帽檐组成（如下图）．帽身底面直径为，帽身高，帽檐宽为，做这顶帽子至少需要________的布料（结果保留）． 【答案】 【分析】将帽子分成下面的圆环和上面的圆组成直径为的圆，中间的圆柱侧面两部分，分别求出面积再求和即可． 【详解】解： ． 42．如图，有一个零件的形状是由一个圆柱上底面的正中心再焊接一个圆锥组成，求这个零件的外表面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱的表面积，根据零件的外表面积=圆柱的表面积+圆锥的侧面积-圆锥和圆柱重叠的部分求解即可． 【详解】解∶ 圆锥底面圆的半径为， 零件的外表面积为∶ ． 题型12.组合体的体积 43．如图所示（单位：m），“粮仓”的容积为___________（，，取3.14） 【答案】141.3 【分析】根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行计算即可． 【详解】解：“粮仓”的容积为： ． 故答案为：141.3． 【点睛】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，解题的关键是熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式，． 44．下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式分别求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：A、（立方厘米）； B、（立方厘米）； C、（立方厘米）； D．（立方厘米）； ， 答：A的体积最大． 故选：A． 45．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居．如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的．这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 【答案】立方米 【分析】本题考查了圆锥的体积、圆柱的体积． 这个蒙古包上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱．已知圆柱的底面半径是米，高是2米，圆锥的底面半径也是米，高是米，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积． 【详解】解：（米）， （立方米）． 答：这个蒙古包所占的空间是立方米． 题型13.不规则物体的体积算法 46．我们曾经用图1的方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，图2中这个几何体的体积是____． 【答案】6280 【分析】本题考查求立体图形的体积，找两个一模一样大的，如图几何体上下拼接在一起就会变成一个底面直径为20，高为的圆柱体，圆柱体的体积是底面积乘高，而该几何体的体积则是圆柱体体积的一半，即可求出该几何体的体积． 【详解】解：如图， ， 圆柱体的体积底面积高 ， ， 即图2中这个几何体的体积为6280． 故答案为：6280． 47．一个底面积是的瓶子里装有一些水（如图，单位：），根据图中标明的数据，可以计算出瓶子的容积是（   ）． A．50 B．70 C．80 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了容积的计算，掌握容积公式、转化思想是解题的关键．瓶子的容积可以转化为有水部分的体积加上无水部分的体积，而有水部分、无水部分都可以看作圆柱，用圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：， ， 故选：． 48．向一个内棱长是的正方体容器中装水，现将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是，这个钢块的体积是多少立方分米？ 【答案】1.2立方分米 【分析】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解答，注意单位的换算．已知正方体容器内棱长,向容器中倒入4.8L水，再将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是；根据正方体的体积公式，求出正方体内4.8升水与钢块的体积和，减去4.8升水的体积就是钢块的体积．由此解答． 【详解】解：4.8升立方分米，15厘米分米， （立方分米） 答：这个钢块的体积是1.2立方分米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆柱与圆锥期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识圆柱、圆锥的特征，分清底面、侧面、高各部分名称 2.掌握圆柱侧面积、表面积计算公式 3.熟记圆柱、圆锥体积计算公式，理解公式推导原理 4.明晰圆柱与圆锥体积间的数量关系 1.熟练计算圆柱侧面积、表面积与体积 2.正确求解圆锥体积，掌握等底等高圆柱圆锥换算 3.解决切割、拼接类立体图形表面积变化问题 4.运用公式解答容积、浸水、堆放等实际应用题 5.结合已知条件，反向推算底面半径、高未知量 1.基础公式计算不出错，稳固基础分值 2.准确处理表面积增减、体积换算类考题 3.规范解答生活实际应用题型 4.区分表面积与体积概念，规避公式混用错误 5.应对组合立体图形计算，提升解题正确率 题型01.圆柱的认识及特征 题型02.圆柱的展开图 题型03.圆柱的侧面积 题型04.圆柱的表面积 题型05.圆柱的体积 题型06.圆柱的容积 题型07.圆锥的认识及特征 题型08.求圆柱侧面积 题型09.求圆锥底面半径 题型10.圆柱与圆锥体积的关系 题型11.组合体的表面积 题型12.组合体的体积 题型13.不规则物体的体积算法 知识点01:圆柱立体认知｜基础必背 1. 基本特征 · 有3 个面：上下 2 个完全相同的圆形底面，1 个曲面侧面 · 两底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高，长度全部相等 · 侧面沿高剪开展开是长方形；底面周长 = 长方形长，圆柱的高 = 长方形宽 2. 常用字母 3.侧面展开奥秘 沿高剪开侧面，展开图形为长方形： 长方形长 = 圆柱底面周长 长方形宽 = 圆柱的高 特殊情况：当底面周长与高相等时，侧面展开为正方形。 知识点02:圆柱核心计算公式｜必考重点 1.侧面积 圆柱侧面积依托展开图推导，是曲面计算核心考点 2.表面积 完整圆柱：侧面积加上两个圆形底面 生活特殊场景：无盖圆柱 → 侧面积＋1 个底面积 通风管 / 烟囱 → 只计算侧面积 3.圆柱体积 运用切拼转化思想，将圆柱转化为近似长方体推导公式圆柱底 知识点03:圆锥 1. 基本特征 有2 个面：1 个圆形底面，1 个曲面侧面 顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有1 条高 侧面展开是扇形 2.侧面展开特征 圆锥侧面展开为扇形，扇形半径不是圆锥的高，做题切勿混淆。 知识点04:圆锥体积公式｜易错重灾区 通过等底等高实验验证：圆柱体积是圆锥的 3 倍 ❣核心提醒：计算圆锥体积，一定不能漏掉三分之一。 知识点05:圆柱与圆锥对比表格｜一目了然 对比内容 圆柱 圆锥 底面数量 2 个大小相同的圆 1 个圆形底面 侧面形状 曲面，展开为长方形 / 正方形 曲面，展开为扇形 高的条数 无数条，长度相等 仅有 1 条 体积关系 等底等高，体积为圆锥的 3 倍 等底等高，体积为圆柱的​ 知识点06:圆柱与圆锥体积关系 等底等高时： 1.圆柱体积 = 3× 圆锥体积 2.圆锥体积 = 圆柱体积 3.体积差：圆柱比圆锥大 2 倍圆锥体积 知识点07:常见实际题型考点 1.只求侧面积：烟囱、通风管、压路机滚筒、商标纸 2.一个底面 + 侧面积：无盖水桶、鱼缸、蓄水池 3.完整表面积：罐头盒、密封圆柱物体 4.体积容积：蓄水、装粮、浸没物体求体积 5.切割拼接：切圆柱增加圆形横截面面积 6.削最大圆锥：同圆柱内最大圆锥，满足等底等高 知识点08:单位换算专项｜计算扣分点 立体图形计算常考单位统一： 长度单位：米、分米、厘米 面积单位：平方换算进率 100 体积单位：立方换算进率 1000 易错知识点 1.区分表面积、侧面积、体积概念，公式不可混用 2.计算圆锥体积必须牢记乘 3.单位统一：半径、高单位保持一致 4.已知直径先换算半径再计算 5.等体积变形问题，体积总量不变 题型01.圆柱的认识及特征 1．家里的圆柱形水桶，在使用时体现圆柱特征的是（    ） A．水桶的把手是弯曲的 B．水桶的容积比正方体水桶大 C．水桶有两个完全相同的圆形底面（桶底和桶口），侧面是曲面 D．水桶是塑料材质的 2．长方形的长是，宽是，以长方形的一边为轴转动一圈，则形成一个圆柱，圆柱的底面周长是___________． 3．1包饼干包装后为圆柱形，将12包这种饼干放入一个长、宽的长方体纸盒内（如图）．每包饼干的底面直径是（ ）． A．4 B．6 C．9 4．如图是爸爸送给源源的生日蛋糕的包装盒．这个圆柱形包装的底面直径是，高是．如图中那样用“十字形”彩带包装，打结处需的彩带，一共需要多少的彩带？ 题型02.圆柱的展开图 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（    ）相等． A．底面直径 B．底面周长 C．底面积 D．底面半径 6．如图，一个圆柱形玩具，侧面贴着装饰布，圆柱底面半径是，高是，这个装饰布展开后是一个长方形，它的长是( )，宽是( )． 7．选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ） A．甲和① B．甲和② C．乙和① D．乙和③ 8．用如下图所示的3块铁皮做成一个油桶，那么做好的油桶能装多少千克油？（每升油的质量是） 题型03.圆柱的侧面积 9．一个底面周长是的圆柱，它的侧面积是，则这个圆柱的高是_______． 10．用两张完全相同的长方形纸，分别卷成两个不同的圆柱形纸筒，圆柱①和圆柱②的侧面积相比，（ ）． A．一样大 B．圆柱①大 C．圆柱②大 D．无法比较 11．如图，把一个底面直径和高都是6厘米的圆柱的侧面沿图中的虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是________平方厘米． 12．王老师家有一个圆柱形玻璃鱼缸（如图1），从里面量得底面直径是12分米，高是15分米．（本题π取3） (1)她想把鱼缸四周贴上透明的粉色彩纸，至少需要这种彩纸多少平方分米？ (2)她打开进水口向内注水，每分钟注水144升（如图2），若使鱼缸内水面高达到8分米，需要多少分钟？ (3)在（2）的条件下，（如图3）把一块棱长为6分米的正方体铁块放入鱼缸（铁块底部和鱼缸底部完全接触），此时会有水溢出吗？若没有，水面会上升多少分米？若有，会溢出多少升？请说明理由． 题型04.圆柱的表面积 13．把一根圆柱形木料横截成段圆柱，表面积增加了这根木料的底面积是( )． 14．做一个无盖的圆柱形水桶，求至少需要多少铁皮，就是求水桶的（    ）． A．底面积 B．侧面积 C．侧面积两个底面积 D．侧面积一个底面积 15．如图，选择纸板制作一个圆柱形笔筒（无盖），你会选择( )，这个笔筒的表面积是( )平方厘米．（不考虑重叠部分，π取3.14） 16．图形计算 (1)求下图的表面积．（取，单位：厘米） (2)下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积．（取，单位：） 题型05.圆柱的体积 17．一个圆柱的底面半径为，高，则该圆柱的体积为______．（结果保留π） 18．圆柱的底面半径不变，高扩大到原来的3倍，这个圆柱的体积（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的27倍 D．不变 19．小兰的爸爸有一瓶容积是的绿葡萄酒（如图），瓶子中酒的液面高为；若把瓶子倒置，瓶底中空出的高度为．如果他每天喝毫升，这瓶葡萄酒能喝________天． 20．李大爷家要挖一口圆柱形水井，在比例尺是的设计图上，水井的直径是，井深． (1)这口井实际的井口直径和井深各是多少米？ (2)挖这口井要挖出多少立方米的土？（取） 题型06.圆柱的容积 21．如图是一个饮料瓶的示意图，饮料瓶的容积是625毫升，里面装有一些饮料．将这个饮料瓶正放时，饮料的高度是10厘米，倒放时，空余部分的高度是2.5厘米．则瓶内饮料是_______毫升． 22．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将水倒进一个容量为的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果杯子没有满；（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A． 以上， 以下 B．以上， 以下 C． 以上， 以下 D．无法确定 23．广场上有1个用砖砌成的花坛（如图），现在准备往里填土，如果用载重15吨的卡车来运，至少要运多少车次才能把它填满？（1立方米的土大约重2.5吨） 题型07.圆锥的认识及特征 24．如果圆锥的底面半径为，高为，那么圆锥的体积是_____．（保留） 25．下面测量圆锥高的方法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 26．把一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（   ）倍． A．4 B．6 C．8 D． 题型08.求圆柱侧面积 27．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 28．小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（   ） A． B． C． D． 29．小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 30．小明家把收获的一堆粮食在门前广场上堆成圆锥形（如图），用皮尺测得底面圆的周长约为，粮食堆成的高度为．为防止淋雨，至少需要多大面积的塑料薄膜才能将其盖住（π取）？ 题型09.求圆锥底面半径 31．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是_____． 32．在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____． 33．如图，在矩形铁皮上剪下和扇形，将作为圆锥底面，扇形恰好作为圆锥的侧面，设的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系是（   ） A． B． C． D． 34．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 题型10.圆柱与圆锥体积的关系 35．一个圆锥形容器盛满水，水深为18厘米．将圆锥形容器的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水深为( )厘米． 36．如图，圆柱和圆锥的底面积相等，童童把的水倒入两个容器后正好都倒满而没有剩余，圆柱的容积是_______． 37．一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的，如果圆柱的体积和圆锥的体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（） A． B． C． D． 38．一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 题型11.组合体的表面积 39．如图是一个棱长 4 厘米的正方体，在正方体上面正中间向下挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1 厘米正方体小洞，最后得到的正方体图形的表面积是_______平方厘米． 40．把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体．下面（    ）是正确的 A．表面积和体积都没变 B．表面积和体积都发生了变化 C．表面积变了，体积没变 D．表面积没变，体积变了 41．一顶礼帽是由圆柱形帽身和圆环形帽檐组成（如下图）．帽身底面直径为，帽身高，帽檐宽为，做这顶帽子至少需要________的布料（结果保留）． 42．如图，有一个零件的形状是由一个圆柱上底面的正中心再焊接一个圆锥组成，求这个零件的外表面积． 题型12.组合体的体积 43．如图所示（单位：m），“粮仓”的容积为___________（，，取3.14） 44．下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 45．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居．如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的．这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 题型13.不规则物体的体积算法 46．我们曾经用图1的方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，图2中这个几何体的体积是____． 47．一个底面积是的瓶子里装有一些水（如图，单位：），根据图中标明的数据，可以计算出瓶子的容积是（   ）． A．50 B．70 C．80 D．60 48．向一个内棱长是的正方体容器中装水，现将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是，这个钢块的体积是多少立方分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 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