专题05二元一次方程组期末复习讲义(25大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制六年级数学下册

专题05二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组以及方程组解的概念 2.掌握二元一次方程解的特点，能检验数值是否为方程、方程组的解 3.熟练掌握代入消元法、加减消元法两种基本解法 4.明晰消元思想，体会将二元问题转化为一元一次方程求解的思路 1.能依据方程特点，灵活选择合适消元方法解方程组 2.会根据实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组 3.求解方程组后，能结合实际场景检验答案合理性 4.可解决含参数方程组、简单变式计算类题型 1.基础解方程题型步骤规范、计算准确，基础题不失分 2.精准找寻题目等量关系，正确列方程组解答应用题 3.区分二元一次相关概念，规避概念混淆类错题 4.熟练应对参数求解、方程组综合计算类考题 5.规范书写解题格式，提升综合解题正确率 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的解的判定 题型04.二元一次方程组的判定 题型05.错解复原问题(难点) 题型06.方程组相同解问题(难点) 题型07.代入消元法(常考) 题型08.加减消元法(常考) 题型09.二元一次方程组的特殊解法(难点) 题型10.构造方程组求解(难点) 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 题型12.实际问题列方程组(常考) 题型13.几何图形列方程组(常考) 题型14.方案选择问题(难点) 题型15.行程问题(重点+难点) 题型16.工程问题(重点+难点) 题型17.数字问题(难点) 题型18.年龄问题(难点) 题型19.分配问题(常考+重点) 题型20.销售利润问题(重点) 题型21.和差倍分问题(常考+重点) 题型22.几何问题(重点) 题型23.图表信息问题(常考点) 题型24.古代问题(难点) 题型25.其他实际应用问题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02:代入消元法 知识点03:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 知识点04:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点05:高频题型拆解 1. 和差倍分问题（基础必拿分） 核心特征：出现 “和、差、倍、分” 关键词 等量关系模板： 和：x+y=总量 差：x-y=相差量 倍：x=ky（k为倍数） 2.购物 / 销售利润问题（高频） 核心公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 等量关系模板： 场景 等量关系 两种商品 ① 数量和 = 总数量② 总价和 = 总金额 利润问题 ① 利润 = 单件利润 × 数量② 成本 + 利润 = 售价 3. 分配 / 配套问题（中档拉分题） 核心特征：人员 / 物品分配、零件配套 等量关系模板： 类型 等量关系 分配问题 ① 总人数 / 总量 = 甲 + 乙② 甲 = k乙（比例关系） 配套问题 A×m=B×n（m,n为配套比例，如1个机身配2个机翼：机身×2=机翼） 4.行程问题（重点难点） 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 等量关系模板： 类型 等量关系 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 环形跑道 相遇：路程和 = 一圈长 追及：路程差 = 一圈长 5. 工程问题（逻辑难点） 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 等量关系模板： 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（设总工作量为 1） 分段问题：前段工作量 + 后段工作量 = 总工作量 6.数字 / 年龄 / 几何 / 图表问题（拓展题型） 题型 核心技巧 数字问题 两位数 = 10× 十位 + 个位，注意数位交换 年龄问题 年龄差不变，时间变化同步加减 几何问题 周长 / 面积 / 边长关系，结合图形性质 图表问题 从表格 / 统计图提取数据，转化为等量关系 知识点06:高频易错点避坑指南 易错类型 具体表现 避坑方法 审题失误 只找一组等量关系，列不出方程组 圈画关键词，反复读题，确保两组独立关系 设元不规范 模糊表述，漏写单位 明确 “设 XX 为 x（单位）”，如 “设速度为 x km/h” 计算错误 符号错误、漏乘、约分错误 消元后分步计算，代入简单方程回代 忘记检验 出现负数、小数人数等不合理结果 解完后必验：是否满足方程？是否符合实际？ 答题不完整 漏写答句、单位，答非所问 严格按 “设→找→列→解→验→答” 流程，答句对应设元 题型01.二元一次方程组的定义 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x，y的二元一次方程可变形为的形式（a，b是常数，），则其中一对常数a，b被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为，例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．则二元一次方程的“相伴系数对”为______． 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 4．若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 题型02.二元一次方程的解 5．已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，则m的值是（　　） A．3 B． C． D．2 6．如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________． 7．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元，社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（    ）． A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 8．某数学小组在开展“实际问题中的整数分配”课题研究时，聚焦不定方程（为整数）的整数解问题，以 为具体研究对象，展开系列探究 … 1 5 9 … … 1 8 15 … (1)按上表中的规律，完成下列问题： ①数表中的整数解___________，___________； ②的所有整数解可表示为___________，___________．（用整数参数表示） (2)该数学小组进一步提出猜想：若整数，互质（即最大公约数为1），则对于任意整数，不定方程一定存在无数组整数解． 现师生共同完成如下证明过程： 已知，互质，设是方程的一个整数解（即）． 取任意整数，设，， …… 是任意整数，随着的取值变化，和会产生无数组不同的整数， 方程存在无数组整数解． 阅读以上证明过程，请你补充证明中所缺的内容． 题型03.二元一次方程组的解的判定 9．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 10．实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 11．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 题型04.二元一次方程组的判定 12．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 13．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 14．李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（    ） A． B． C． D． 题型05.错解复原问题(难点) 15．小明和小文解一个二元一次方程组，小明正确解得，小文抄错了，解得，已知小文抄错了外没有发生其他错误，则_____ 16．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 17．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 18．甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 题型06.方程组相同解问题(难点) 19．已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，则的值为______． 20．已知关于x，y的二元一次方程的解如表： ．．． 0 1 ．．． ．．． 4 2 ．．． 关于x，y的二元一次方程的解如表： ．．． 0 1 ．．． ．．． 4 1 -2 ．．． 则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 21．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 22．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 题型07.代入消元法(常考) 23．已知用含x的代数式表示y为________． 24．我们在解二元一次方程组时，可将代入中，消去x从而求解，这种解法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．转化 C．数形结合 D．公理化 25．方程组的解是_______． 26．解方程组： 题型08.加减消元法(常考) 27．方程组的解为______． 28．解关于x，y的二元一次方程组，可以直接消去y，则a和b的关系为（    ） A． B． C． D． 29．如果方程组的解也是方程的一个解，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．解二元一次方程组 (1) (2) 题型09.二元一次方程组的特殊解法(难点) 31．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 32．若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 33．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 题型10.构造方程组求解(难点) 34．一个二元一次方程组的解是，这个二元一次方程组可以是______． 35．对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 37．如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 38．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．1 39．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？ 题型12.实际问题列方程组(常考) 40．某学校组织七年级169名学生参加研学活动．去极地馆的学生人数比去科技馆的学生人数的2倍多1，设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人，根据题意，可列方程组为________． 41．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 42．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 题型13.几何图形列方程组(常考) 43．如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 44．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 45．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 题型14.方案选择问题(难点) 46．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 47．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 48．已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 题型15.行程问题(重点+难点) 49．甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 50．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 51．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 题型16.工程问题(重点+难点) 52．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 53．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 54．有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 题型17.数字问题(难点) 55．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 56．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 57．【方法感语】阅读下面材料： 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点表示的分别是1，4则或； 【归纳】若点表示的数分别是，，则或．    【知识迁移】 (1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则______或______； (2)如图2，点表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点与重合，若把向右平移个单位，则点与70重合，那么______，______； 【拓展应用】 (3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要50年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，136岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路． 题型18.年龄问题(难点) 58．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 59．一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 60．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 题型19.分配问题(常考+重点) 61．食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 62．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 63．工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 题型20.销售利润问题(重点) 64．邮购每本10元的杂志，不满100本需另加购书总价的为邮费，如不少于100本则免邮费，且书价以九折计算．某单位两次共邮购200本（第一次数量少于第二次），共付款1920元．问两次分别购买杂志多少本? 65．六年级（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元，给你． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 66．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表：若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元，那么售出的两种型号的节能灯各多少件？ 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 题型21.和差倍分问题(常考+重点) 67．已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 68．甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？ 69．某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 题型22.几何问题(重点) 70．∠α是∠β的3倍，且∠β的补角比∠α的余角大110°，求∠α的度数． 71．在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？ 72．将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 题型23.图表信息问题(常考点) 73．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 74．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 75．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 题型24.古代问题(难点) 76．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 77．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 78．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 题型25.其他实际应用问题 79．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 80．3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 81．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组以及方程组解的概念 2.掌握二元一次方程解的特点，能检验数值是否为方程、方程组的解 3.熟练掌握代入消元法、加减消元法两种基本解法 4.明晰消元思想，体会将二元问题转化为一元一次方程求解的思路 1.能依据方程特点，灵活选择合适消元方法解方程组 2.会根据实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组 3.求解方程组后，能结合实际场景检验答案合理性 4.可解决含参数方程组、简单变式计算类题型 1.基础解方程题型步骤规范、计算准确，基础题不失分 2.精准找寻题目等量关系，正确列方程组解答应用题 3.区分二元一次相关概念，规避概念混淆类错题 4.熟练应对参数求解、方程组综合计算类考题 5.规范书写解题格式，提升综合解题正确率 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的解的判定 题型04.二元一次方程组的判定 题型05.错解复原问题(难点) 题型06.方程组相同解问题(难点) 题型07.代入消元法(常考) 题型08.加减消元法(常考) 题型09.二元一次方程组的特殊解法(难点) 题型10.构造方程组求解(难点) 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 题型12.实际问题列方程组(常考) 题型13.几何图形列方程组(常考) 题型14.方案选择问题(难点) 题型15.行程问题(重点+难点) 题型16.工程问题(重点+难点) 题型17.数字问题(难点) 题型18.年龄问题(难点) 题型19.分配问题(常考+重点) 题型20.销售利润问题(重点) 题型21.和差倍分问题(常考+重点) 题型22.几何问题(重点) 题型23.图表信息问题(常考点) 题型24.古代问题(难点) 题型25.其他实际应用问题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02:代入消元法 知识点03:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 知识点04:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点05:高频题型拆解 1. 和差倍分问题（基础必拿分） 核心特征：出现 “和、差、倍、分” 关键词 等量关系模板： 和：x+y=总量 差：x-y=相差量 倍：x=ky（k为倍数） 2.购物 / 销售利润问题（高频） 核心公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 等量关系模板： 场景 等量关系 两种商品 ① 数量和 = 总数量② 总价和 = 总金额 利润问题 ① 利润 = 单件利润 × 数量② 成本 + 利润 = 售价 3. 分配 / 配套问题（中档拉分题） 核心特征：人员 / 物品分配、零件配套 等量关系模板： 类型 等量关系 分配问题 ① 总人数 / 总量 = 甲 + 乙② 甲 = k乙（比例关系） 配套问题 A×m=B×n（m,n为配套比例，如1个机身配2个机翼：机身×2=机翼） 4.行程问题（重点难点） 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 等量关系模板： 类型 等量关系 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 环形跑道 相遇：路程和 = 一圈长 追及：路程差 = 一圈长 5. 工程问题（逻辑难点） 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 等量关系模板： 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（设总工作量为 1） 分段问题：前段工作量 + 后段工作量 = 总工作量 6.数字 / 年龄 / 几何 / 图表问题（拓展题型） 题型 核心技巧 数字问题 两位数 = 10× 十位 + 个位，注意数位交换 年龄问题 年龄差不变，时间变化同步加减 几何问题 周长 / 面积 / 边长关系，结合图形性质 图表问题 从表格 / 统计图提取数据，转化为等量关系 知识点06:高频易错点避坑指南 易错类型 具体表现 避坑方法 审题失误 只找一组等量关系，列不出方程组 圈画关键词，反复读题，确保两组独立关系 设元不规范 模糊表述，漏写单位 明确 “设 XX 为 x（单位）”，如 “设速度为 x km/h” 计算错误 符号错误、漏乘、约分错误 消元后分步计算，代入简单方程回代 忘记检验 出现负数、小数人数等不合理结果 解完后必验：是否满足方程？是否符合实际？ 答题不完整 漏写答句、单位，答非所问 严格按 “设→找→列→解→验→答” 流程，答句对应设元 题型01.二元一次方程组的定义 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据二元一次方程的定义，选项中只有是二元一次方程． 2．若关于x，y的二元一次方程可变形为的形式（a，b是常数，），则其中一对常数a，b被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为，例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．则二元一次方程的“相伴系数对”为______． 【答案】 【分析】将原方程变形为的形式即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴该方程的“相伴系数对”为． 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，可得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 关于的方程 是二元一次方程， ∴ ， 解方程，可得或， 即或， 又， ． 4．若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 题型02.二元一次方程的解 5．已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，则m的值是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一组解， ∴把代入方程得 解得． 6．如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________． 【答案】 【分析】因为是方程的解，所以将解代入方程可得到和的关系式．观察待求代数式的结构，将其变形为含的形式，然后把、满足的关系式整体代入变形后的代数式，即可求出结果． 【详解】解：是关于的二元一次方程的一组解， ， ． 7．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元，社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（    ）． A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】设定制书签和笔记本的数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解的个数，即可得到定制方案的数量. 【详解】解：设定制书签x张，定制笔记本y本，其中x，y均为正整数， 根据题意列方程得， ∴， ∴，共5个值， 故共有5种定制方案. 8．某数学小组在开展“实际问题中的整数分配”课题研究时，聚焦不定方程（为整数）的整数解问题，以 为具体研究对象，展开系列探究 … 1 5 9 … … 1 8 15 … (1)按上表中的规律，完成下列问题： ①数表中的整数解___________，___________； ②的所有整数解可表示为___________，___________．（用整数参数表示） (2)该数学小组进一步提出猜想：若整数，互质（即最大公约数为1），则对于任意整数，不定方程一定存在无数组整数解． 现师生共同完成如下证明过程： 已知，互质，设是方程的一个整数解（即）． 取任意整数，设，， …… 是任意整数，随着的取值变化，和会产生无数组不同的整数， 方程存在无数组整数解． 阅读以上证明过程，请你补充证明中所缺的内容． 【答案】(1)①13，22；②， (2)见解析 【分析】（1）根据表格数据得出关于、的规律，据此求解即可； （2）将，代入方程左边，结合得出对于任意整数，，都是原不定方程的整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：①由表格可知，的值每次增加4，值每次增加7， 则、； ②根据表格规律，从初始值1开始，每次增加4， 因此所有整数解可表示为（为任意整数）； 从初始值1开始，每次增加7， 因此（为任意整数）； （2）证明：已知，互质，设是方程的一个整数解（即）， 取任意整数，设，， ， ， 成立， 即对任意整数，，都是原不定方程的整数解， 是任意整数，随着的取值变化，和会产生无数组不同的整数， 方程存在无数组整数解． 题型03.二元一次方程组的解的判定 9．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … .【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，只需从表格中找出同时满足两个方程的公共解，即可得到方程组的解． 【详解】解：观察表格可知，，同时满足方程和，是两个方程的公共解， ∴原方程组的解为 10．实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用代入验证法解题，将给定解代入方程组，若能同时使两个方程左右两边相等，则该组解就是方程组的解． 【详解】代入A选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入B选项，第一个方程左边右边，第二个方程左边右边，两个方程都成立，符合题意． 代入C选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入D选项，第一个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 11．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 题型04.二元一次方程组的判定 12．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的识别，根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①由两个一次方程组成；②共有两个未知数，由此即可求解． 【详解】解：A. 第一个方程中，为分式，导致方程不是整式方程，更非一次方程，故A不符合； B. 方程组含三个未知数、、，不符合“二元”条件，故B不符合； C. 两个方程和均为关于、的一次方程，且仅有这两个未知数，符合定义，故C正确； D. 第二个方程含二次项，不是一次方程，故D不符合； 故选：C． 13．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组）进行判断． 【详解】A．第二个方程含项，次数为2，不符合题意； B．第一个方程含项，次数为2，不符合题意； C．两个方程均为一次方程，且仅含x和y两个未知数，符合条件； D．第二个方程含z，引入第三个未知数，不符合题意． 故选C． 14．李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．分母含有未知数，不是二元一次方程组； B．符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； C．最高项次数是2，不是二元一次方程组； D．最高项次数是2，不是二元一次方程组． 题型05.错解复原问题(难点) 15．小明和小文解一个二元一次方程组，小明正确解得，小文抄错了，解得，已知小文抄错了外没有发生其他错误，则_____ 【答案】8 【分析】本题主要考查二元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键；由题意易得，则可求出a、b的值，然后把代入方程求出c，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为8． 16．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 17．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【答案】A 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 【详解】把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键. 18．甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 题型06.方程组相同解问题(难点) 19．已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，则的值为______． 【答案】3 【分析】联立，求得和的值，代入，求得，的值，进一步求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组和有相同的解， 联立， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出和的值是解题的关键． 20．已知关于x，y的二元一次方程的解如表： ．．． 0 1 ．．． ．．． 4 2 ．．． 关于x，y的二元一次方程的解如表： ．．． 0 1 ．．． ．．． 4 1 -2 ．．． 则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，通过两个表格找到两个方程的公共解是解题的关键． 分别从两个表格中找到两个方程的公共解即可解答． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于x、y的二元一次方程和关于x、y的二元一次方程的公共解， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是：， 解得：． 故选B． 21．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】观察两个方程组的结构，可利用换元法将待求方程组转化为已知解的方程组，再根据同解性求解即可． 【详解】解：对于方程组，设， 则原方程组可化为． ∵关于，的二元一次方程组的解是． ∴方程组的解为． ∴． 得，解得， 将代入，得，． ∴原方程组的解为． 22．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 题型07.代入消元法(常考) 23．已知用含x的代数式表示y为________． 【答案】 【详解】解：， 由得， 将代入得． 24．我们在解二元一次方程组时，可将代入中，消去x从而求解，这种解法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．转化 C．数形结合 D．公理化 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的方法是解题关键． 通过代入消元法消去未知数x，将二元一次方程转化为一元一次方程． 【详解】解：在解二元一次方程组时，将代入，即， 从而将二元一次方程组转化为一元一次方程求解， 这种解法体现的数学思想是：转化思想． 故选：B． 25．方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组，是解决问题的关键． 方程②变形为③，把③代入方程①求出x，代回方程③求出y值即可． 【详解】解：， 由②，得③， ③代入①，得， 解得，， 把代入③，得． ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 26．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查利用代入消元法解二元一次方程组． 解题思路是先从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求解方程组． 【详解】解：由方程，通过移项可得到， 将代入方程中：得到． 化简得到． 得． 把代入， 可得． 综上，方程组的解为． 题型08.加减消元法(常考) 27．方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 方程组的解为． 28．解关于x，y的二元一次方程组，可以直接消去y，则a和b的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个方程相加，根据消去y的条件，即y的系数和为0，推导a与b的关系. 【详解】解：将方程组中得： ， 整理得： ， ∵相加后可直接消去y， ∴y的系数为，即. 29．如果方程组的解也是方程的一个解，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入法，本题运用的是加减消元法．两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的x、y的值代入中，即可得出m的值． 【详解】解：联立方程组得，， ，得：， ∴， 把③代入①得，， ∴， 把代入得：， ∴． 故选：B． 30．解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键是掌握加减消元法． （1）利用加减消元法，两式相加，求得，再求，即可； （2）将二元一次方程组进行化简，得到，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 可得，解得， 将代入可得，解得， ∴； （2）解：由可得， 可得，解得， 将代入可得，解得， ． 题型09.二元一次方程组的特殊解法(难点) 31．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义．先将原方程组整理，再运用整体的思想，得，解得． 【详解】解：由题意，方程组的解为， 方程组整理得：， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：B． 32．若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 【答案】 【详解】解：方程组变形得， ∵关于x，y的方程组，解为， ∴， ∴关于x，y的方程组变形得， ∴，， 解得：，， 即该方程组的解为：． 33．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 题型10.构造方程组求解(难点) 34．一个二元一次方程组的解是，这个二元一次方程组可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 35．对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了新定义问题，二元一次方程组的应用，解题的关键掌握新定义运算法则． ①将代入判断即可；②根据题意列出二元一次方程组求出x，y的值，然后代入判断即可；③根据定义得到，然后结合自然数，且，逐个代入求解判断即可． 【详解】①当且时， 代入定义得，即，正确； ②当且时， 解得， ∴，错误； ③当，时，，即， ∵自然数，且， ∴ ∴ ∴当时， ∴（舍去）或0或1， ∴或2； ∴当时， ∴或1或2， ∴或6或7； ∴当时， ∴或2或3， ∴或10或12； ∴当时， ∴或3或4， ∴或15或17； ∴当时， ∴或4或5， ∴或20或22； ∴当时， ∴或5或6， ∴或25或27； 综上所述，满足条件的的值有17个，故③错误． 综上，其中正确的个数是1． 故选：B． 36．规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可． （1）由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：，求解方程组即可； （2）由题意得：，据此即可求解； （3）由消去得③，由题意得方程③有无数个解，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 37．如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 【答案】 1 【分析】根据与相等，结合方程组第一个方程求出，的值，再代入第二个方程即可求出的值． 【详解】解：与相等， ，即， 解得， 把代入得： ， 解得． 38．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值，先求出方程组的解，将解代入，进一步求解即可． 【详解】解：，得：， 把代入，得：， 解得：； 故选D． 39．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解． （1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可； （2）解方程组，得到x、y的值，再代入方程即可求解； （3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有一个公共解，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或； （2）解：由题意，解方程组，得， 把代入方程，得 ， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的公共解为． 题型12.实际问题列方程组(常考) 40．某学校组织七年级169名学生参加研学活动．去极地馆的学生人数比去科技馆的学生人数的2倍多1，设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人，根据题意，可列方程组为________． 【答案】 【分析】根据总人数和去极地馆的学生人数比去科技馆的学生人数的2倍多1，分别列出方程即可． 【详解】解：设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人， 根据题意得，． 41．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合绳子折成三等份、四等份时与井深的数量关系，找出两个等量关系来列方程组即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺， ∵将绳子折成三等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多4尺， ∴， ∵将绳子折成四等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多1尺， ∴， ∴可列方程组为． 42．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 题型13.几何图形列方程组(常考) 43．如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解． 设小长方形的长为，宽为，结合图形得到等式：（1）；（2），联立方程组并解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意知，， 解①，得， 将代入②中， 解得， 即， 所以小长方形的周长为：． 故答案为：D． 44．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】/67平方厘米 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中长和宽的构成列出二元一次方程组，求出a，b的值，再利用面积的和差关系计算阴影部分面积． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， ∴长方形的宽为， ∴阴影部分面积为． 45．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 题型14.方案选择问题(难点) 46．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 47．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 48．已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程． （1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）根据货物总重量可得，即可求解； （3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 题型15.行程问题(重点+难点) 49．甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【答案】甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时 【分析】设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时，根据相遇时甲车比乙车多行18千米，甲车小时行完全程，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时， 由题意可得：， 解得：， ∴甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知速度，时间和路程的关系． 50．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【答案】快车速度为，慢车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设快车的速度为，慢车的速度为，根据同向行驶快车比慢车多行驶的距离是快车车长，相向行驶时，从相遇到离开，两车所走距离之和为两车车身之和，从而列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 由题意得，， 解得：． 答：快车的速度为，慢车的速度为． 51．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 题型16.工程问题(重点+难点) 52．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 53．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 54．有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道的天数，乙工程队整治河道的天数； (2)见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）根据题意，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ； 小华同学： 设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得： ． 故答案为：180；；甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间． （2）选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道， 根据题意，得， 解得， 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． （或选择小华同学的解题思路）： 设甲工程队整治河道天，乙工程队整治河道天． 根据题意，得，， 解得， ． 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． 题型17.数字问题(难点) 55．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 56．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 57．【方法感语】阅读下面材料： 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点表示的分别是1，4则或； 【归纳】若点表示的数分别是，，则或．    【知识迁移】 (1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则______或______； (2)如图2，点表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点与重合，若把向右平移个单位，则点与70重合，那么______，______； 【拓展应用】 (3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要50年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，136岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路． 【答案】(1)2； (2)，30 (3)村长爷爷现在74岁，美羊羊现在12岁 【分析】（1）根据最大的负整数是和，根据题意，可得，即可求得的值； （2）由题意可得，，解方程即可； （3）设美羊羊现在岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄岁为数轴上的一个点，50年前在数轴上表示的数为，村长爷爷136岁时，在数轴行的点表示的数为136，根据题意，列出二元一次方程组．即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是最大的负整数， 点表示的数是， ， ， 解得：或， 故答案为：2；； （2）解：点表示的数分别是，， ， 当向左平移个单位，则， 当向右平移个单位，则， 解得：，， 故答案为：，30； （3）解：设美羊羊现在岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄岁为数轴上的一个点，50年前在数轴上表示的数为，村长爷爷136岁时，在数轴行的点表示的数为136，根据题意得：， 解得：， 答：村长爷爷现在74岁，美羊羊现在12岁． 【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，解二元一次方程组是解题的关键． 题型18.年龄问题(难点) 58．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 59．一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 【答案】老师今年24岁，学生今年12岁． 【分析】设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y， 解得：， 答：老师现在的年龄是24，学生现在的年龄是12． 【点睛】本题二元一次方程组的应用，考查学生的理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 60．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 题型19.分配问题(常考+重点) 61．食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 62．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 【答案】安排10人生产螺钉，12人生产螺母 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设安排人生产螺钉，人生产螺母， 根据题意列方程组得， 解得； 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母． 63．工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 题型20.销售利润问题(重点) 64．邮购每本10元的杂志，不满100本需另加购书总价的为邮费，如不少于100本则免邮费，且书价以九折计算．某单位两次共邮购200本（第一次数量少于第二次），共付款1920元．问两次分别购买杂志多少本? 【答案】第一次邮购60本，第二次邮购140本 【分析】设第一次邮购本，则费用为；则第二次邮购本，费用为；根据总费用为1920元及共购200本可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可得：第一次邮购不满100本，第二次邮购超过100本， 设该单位第一次邮购本，第二次邮购本， 由题意可得：， 解得：， ∴第一次邮购60本，第二次邮购140本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是明白列方程的依据：第一次邮购费用第二次邮购费用总邮购费用． 65．六年级（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元，给你． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 【答案】钢笔每支5元，笔记本每本3元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设设钢笔每支元，笔记本每本元．因为“只有100元买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元”这些条件，分别列式计算，即可作答． 【详解】解：设钢笔每支元，笔记本每本元． 由题意得： 解得： 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元． 66．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表：若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元，那么售出的两种型号的节能灯各多少件？ 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 【答案】售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．首先通过已知条件求出A、B两种型号节能灯的单价，然后设未知数，根据售出的总数和总售价列出方程，最后求解方程得出A、B两种型号节能灯各自售出的数量． 【详解】解：从6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， 所以B型节能灯的单价为50元/个； 设A型节能灯的单价为x元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 根据题意得， 解得， 即A型节能灯的单价为100元/个； 设售出A型节能灯y个，则售出B型节能灯个，根据题意得： ， 解得：， 所以，， 答：售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件． 题型21.和差倍分问题(常考+重点) 67．已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【答案】39人 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出方程组进而求出是解题关键． 设六年级（2）班有男生人，女生人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可． 【详解】解：设六年级（2）班有男生人，女生人， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：这个班级的学生人数为39人． 68．甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？ 【答案】甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨 【分析】设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，由题意：甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨， 由题意得：， 解得：， 答：甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出二元一次方程组． 69．某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 题型22.几何问题(重点) 70．∠α是∠β的3倍，且∠β的补角比∠α的余角大110°，求∠α的度数． 【答案】∠α＝30° 【分析】根据余角和补角的定义，结合∠α是∠β的3倍，∠β的补角比∠α的余角大110°，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得，． 解得∠α＝30°，∠β＝10°． ∴∠α＝30°． 【点睛】本题主要考查余角与补角，解二元一次方程组，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键． 71．在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？ 【答案】小长方形花圃的长为4m，宽为2m 【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 由题意得， 解得． 答：小长方形花圃的长为，宽为. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 72．将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 题型23.图表信息问题(常考点) 73．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 74．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 75．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为0.6，b的值为0.7 (2)415度 【分析】(1)根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可； (2)根据题意先判断出小明家所用的电所在的档，再设小明家家7月份用电量为x度，根据价格表列出等式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：依题意得：，       解得：． 故a的值为0.6，b的值为0.7． （2）解：若一个月用电量为350度，电费为180×0.6＋(350﹣180)×0.7=227（元）， ∵285.5＞227， ∴小明家7月份用电量超过350度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：180×0.6＋(350﹣180)×0.7＋(x﹣350)×0.9=285.5， 解得：x=415． 答：小明家7月份的用电量为415度． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 题型24.古代问题(难点) 76．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 【答案】、 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 77．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 【分析】设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：， 解得：． 答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 78．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 题型25.其他实际应用问题 79．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班级胜负场数分别是12场和3场． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为39分，再建立方程组求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得，， 答：该班级胜负场数分别是12场和3场． 80．3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可． 【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品． 理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分． 依题意，得 解得 ∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分． ∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分． ∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分． 答：小明可以获得校园文创奖品． 81．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 【答案】(1)a的值是10，b的值是14 (2)有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 (3)再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个， 购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为10，b的值为14； （2）解：根据题意得： ， 解得：， ∴可以取58，59，60，，41，40， ∴有3种购买方案． 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个； （3）解：购买方案1可获得的总利润为（元； 购买方案2可获得的总利润为（元； 购买方案3可获得的总利润为（元； 设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个， ∴当获得的总利润为320元时，， ， 又，y均为正整数， 或或或， 此时的最小值为． 再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $