22.1.2二次函数的图象和性质（学历案）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学学历案聚焦二次函数y=ax²的图像与性质，通过列表描点连线画图像，识别开口方向、对称轴等特征，经历“特殊→一般”探究过程，类比一次函数方法归纳性质，建立“数→形”直观对应。 以问题导引激发思考，动手画图培养几何直观，“特殊→一般”过程发展推理意识，小结与检测强化数学语言表达，突出学生自主探究与教师方法指导结合，有效突破取点和性质探究难点。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 ------九年级上册22.1.2《二次函数的图像与性质》学历案 【学习目标】 1.能通过列表、描点、连线正确画出二次函数的图象，识别抛物线特征，说出开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值，建立 “数→形” 的直观对应。 2. 经历 “特殊→一般” 的探究过程，类比一次函数、反比例函数研究方法，归纳y=ax2的图象与性质，体会数形结合、分类讨论思想，形成研究函数的通用方法。 3.能根据a的符号判断图象特征，进行简单计算与说理，解决基础应用问题。 4.在作图、观察、归纳、交流中养成严谨作图、主动探究、合作分享的习惯，感受数学对称美与规律美。 【学习重点】 过研究二次函数的图像和性质的过程，促进学生掌握研究函数性质的一般方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。 【学习难点】 画图时如何恰当取点是第一难点；通过图像如何探究出二次函数的性质是第二难点。 【问题导引】 问题1：前面学习了二次函数的定义，接下来将从哪些方面研究它？ 问题2：你将先研究哪个二次函数？你能想象其图像可能具有的特征吗？（由数想形） 【学习过程】 活动一：（1）画二次函数 的图像； x ··· ··· ··· ··· （2）类似地，画二次函数 的图像。 x ··· ··· ··· ··· 小结： 1．二次函数 的图像都是一条曲线，因其形状像物体抛出时的路径，故叫做 2．两个函数图像都分别关于 轴对称，它们与对称轴的交点坐标是（ ， ），抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 活动二：画二次函数 和的图像。 x ··· ··· ··· ··· x ··· ··· ··· ··· 小结： 【当堂检测】 1.抛物线y = x2，y = 5x2，y = -3x2的共同性质是： ① 都是开口向上； ② 都以点(0,0)为顶点； ③ 都以直线x=0为对称轴； ④ 都有最小值0； 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.若抛物线y=ax2 (a≠0)，过点(-1，2). (1)则a的值是 ； (2)对称轴是 ，开口 . (3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点. 抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4)若A(x1 ,y1)，B(x2 ,y2)在这条抛物线上，且x1＜x2＜0, 则y1 y2. 3.如图，在同一直角坐标系中，k ≠ 0，函数y = kx2和y = -kx - 7k的图象可能是（　　） 【反馈练习】 1.抛物线y=－x2的顶点坐标为 ；若点（m，4）在其图象上，则m的值是 ； 若点A（3，n）是此抛物线上一点，则n= ． 2.点A（2，－4）在函数的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 . 3.已知直线与抛物线交于P、Q两点且与x轴交于M（2,0）.已知点P的横坐标为-2. （1）求直线的关系式； （2）求点P、Q与原点围成的三角形的面积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $