22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 （第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.能画出二次函数y=ax2+k的图象； 2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系； 3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质. 【过程与方法】 通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别. 【情感态度与价值观】 在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系； 2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质. 【教学难点】 二次函数y=ax2+k的性质的基本应用. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等 六、教学过程 （一）导入新课 这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2） （二）探索新知 探究一 二次函数y=ax2+k图象的画法 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4） 学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识. 1.列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … 2.描点，连线：（出示课件5） 教师问：抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6） 学生独立思考并整理. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 向上 x=0 （0,0） y=x2+1 向上 x=0 (0，1) y=x2-1 向上 x=0 (0，-1) 出示课件7：例 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象. 学生自主操作，画图，教师加以巡视. 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y=2x2-1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 然后描点画图：（出示课件8） 教师问：抛物线y=2x2+1 , y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9） 学生独立思考并整理. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2+1 向上 x=0 （0,1） y=2x2-1 向上 x=0 （0，-1） 探究二 二次函数y=ax2+k的性质 教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质： 开口方向：向上. 对称轴：x=0. 顶点坐标：（0，k）. 最值：当x=0时，有最小值，y=k. 增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数，，的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标. 学生自主操作，画图，并整理. 解：如图所示. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 向下 x=0 （0,0） y=x2+2 向下 x=0 （0,2） y=x2-2 向下 x=0 （0，-2） 出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： ；；. 学生自主操作，画图，教师巡视加以指导. 出示课件13，14：根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 ; (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________; (4)从上而下顶点坐标分别是_____________________; (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________; (6) 函数的增减性都相同：____________________________. 学生独立思考并口答. ⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷( 0，2)，(0，0)，( 0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小 师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15） y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0） 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. 教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小. 学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右 探究三 二次函数y=ax2+k的图象及平移 出示课件18：从数的角度探究： 出示课件19：从形的角度探究： 观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1. 学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下 师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20） 二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当k>0时,向上平移个单位长度得到. 当k<0时,向下平移个单位长度得到. 教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 ) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 学生独立思考并口答：D 出示课件22：想一想： 教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？ 学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位. 第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线. 教师问2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. （三）课堂练习（出示课件23-27） 1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ． 2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 3.填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y=3x2 y=3x2＋1 y=-4x2－5 4.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____. 6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： ⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____. （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 参考答案： 1.y=x2+2 2.y=2x2－4 3. 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y=3x2 向上 （0,0） y轴 有最低点 y=3x2＋1 向上 （0,1） y轴 有最低点 y=-4x2－5 向下 （0,-5） y轴 有最高点 4.在 5.=2；＞2；＜2 6.⑴向下平移1个单位. ⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0) ⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 7.2 8.-2 9.8 （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习 预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容. 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣. 学科网（北京）股份有限公司 $