22.1.2二次函数的图象和性质课件-2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²（a≠0）的图象和性质，通过类比一次函数、反比例函数的研究方法，以y=x²为起点，引导学生经历列表、描点、连线的画图过程，逐步探究a值对图象开口方向、大小等性质的影响，构建从具体到一般的学习支架。 其亮点在于融入动态演示辅助教学，通过对比y=x²与y=-x²、y=1/2x²与y=2x²的图象，运用分类讨论和特殊到一般的方法培养推理意识，以表格归纳性质提升模型意识。学生能发展几何直观和数形结合能力，教师可借助完整探究流程和当堂检测优化教学效果。

22.1 二次函数的图象 人教版·九年级上册 22.1.2 二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图象和性质 1 2 （1）掌握画二次函数 y=ax2图像的基本步骤：列表、描点、连线； （2）能准确说出二次函数 y=ax2的图像形状、开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值性质。 （1）经历 “列表 — 描点 — 连线 — 观察图像 — 归纳性质” 的完整探究过程，熟练数形结合的数学思想； （2）通过类比一次函数、反比例函数的研究方法，掌握研究函数的通用思路，提升知识迁移能力； （3）在对比( a>0、a<0) 的图像差异中，体会分类讨论、特殊到一般的数学方法。 3 （1）在自主画图、小组合作探究中感受数学图像的对称美、规律美； （2）养成严谨作图、认真观察、主动归纳的学习习惯，增强探究数学问题的自信心。 学 习 目 标 情境导入 新知探究 1. 用描点法画y = x2的图像。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … ① 列表： ② 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y). ③ 连线：用平滑曲线顺次连接各点， 得到y=x2的图象． 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线. 新知探究 1.y＝x2是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0 ，0 ）； 5.图象有最低点． 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 新知探究 2. 同理可用描点法画y = -x2的图像。 观察函数y = x2的图像与函数y = -x2的图像有什么共同特征？ 两条抛物线均关于y轴对称 顶点 新知探究 3. 观察函数图象的升降，你发现了什么？怎么描述比较好？ y轴左边的抛物线从左到右下降， y轴右边的抛物线从左到右上升； y轴左边的抛物线从左到右上升， y轴右边的抛物线从左到右下降。 新知探究 数学语言 当x<0时，y随x的增大而减小 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而减小 1.函数y=5x2的图象的开口 ， 对称轴为 ，顶点是 ； 小试牛刀 2.如右图，观察函数y=(k-1)x2的图象， 则k的取值范是 . 新知探究 例1. 请在同一直角坐标系中画出y = x2和y = 2x2的图像，分析函数y = x2，y = x2和y = 2x2的图像的共同特征。 新知探究 例1.分析函数y = x2，y = x2和y = 2x2的图像的共同特征。 你发现了什么？ ① 图像都是抛物线； ② 抛物线的开口向上； ③ 抛物线关于y轴对称； ④ 抛物线的顶点在原点； ⑤ 顶点是抛物线的最低点。 ⑥当x<0时，y随x的增大而减小；；当x>0时，y随x的增大而增大 y = ax2 (a>0) 新知探究 观察函数y = x2，y = x2和y = 2x2的图像的不同点？ 开口大小不同 ①当a > 0时，a越大，开口越小 y = ax2 (a>0) 小试牛刀 1.函数y=3x2的图象的开口 ， 对称轴为 ，顶点是 ； 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 新知探究 在同一直角坐标系中，画出函数y = -x2，y =- x2和y = -2x2， 有什么共同特征？ 你发现了什么？ ① 图像都是抛物线； ② 抛物线的开口向下； ③ 抛物线关于y轴对称； ④ 抛物线的顶点在原点； ⑤ 顶点是抛物线的最高点。 ⑥当x<0时，y随x的增大而增大；；当x>0时，y随x的增大而减小 y = ax2 (a<0) 新知探究 观察函数y = -x2，y =- x2和y = -2x2的图像的不同点？ 开口大小不同 ②当a < 0时，a越小，开口越大 y = ax2 (a<0) 归纳总结 ① 当a > 0时，a越大，开口越小；当a < 0时，a越小，开口越大； 即| a |越大，开口越小。 ② | a |相同，开口大小相同。 小试牛刀 比较图中的a的大小 动 态 演 示 归纳总结 知识要点 二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像和性质： 当堂检测 D 1.抛物线y = x2，y = 5x2，y = -3x2的共同性质是： ① 都是开口向上； ② 都以点(0,0)为顶点； ③ 都以直线x=0为对称轴； ④ 都有最小值0； 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 当堂检测 2.若抛物线y=ax2 (a≠0)，过点(-1，2). (1)则a的值是； (2)对称轴是 ，开口 . (3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点. 抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4)若A(x1 ,y1)，B(x2 ,y2)在这条抛物线上，且x1＜x2＜0, 则y1 y2. 当堂检测 3.如图，在同一直角坐标系中，k ≠ 0， 函数y = kx2和y = -kx - 7k的图象可能是（　　） A. B. C. D. A 继续加油 人教版·九年级上册 22.1.2 二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图象和性质 二次函数参数动态演示 通过调整参数 a, b, c 的值，观察二次函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 图像的变化。 参数控制 a (二次项系数) 1 控制抛物线的开口方向和大小。a > 0 开口向上，a < 0 开口向下。 b (一次项系数) 0 控制抛物线的对称轴位置和方向。 c (常数项) 0 控制抛物线与y轴的交点位置。 预设函数 标准抛物线 开口较窄 开口向下 开口较宽 线性函数 常数函数 \(f(x) = x^2\) 坐标轴范围：x ∈ [-5, 5], y ∈ [-10, 10] 函数特征 顶点坐标 (0, 0) 对称轴 x = 0 开口方向 向上 与y轴交点 (0, 0) 二次函数参数动态演示 © 2023 | 使用 MathJax 渲染公式，Canvas 绘制图像 | 坐标轴范围固定 $