22.1 二次函数的图像与性质 课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数定义及意义，通过复习函数与一次函数（独立思考、举手回答）建立旧知联系，结合正方体表面积、球队比赛场数等实例引导归纳，形成从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实例驱动定义归纳，培养数学眼光（从实际问题抽象数量关系），通过辨析题和矩形绿地练习发展数学思维（逻辑推理、问题解决），实际问题列解析式强化数学语言（模型意识）。采用独立思考、小组交流等互动方式，小结聚焦关键点，助学生构建知识体系，教师使用时结构清晰，可操作性强。

（1）二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象的顶点坐标是什么？两图有什么位置关系？+1 （2）它们具有什么共同的图象特征和性质？+1 复习二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象和性质 22.1.3（2）二次函数的图象和性质 乐天溪初中九年级数学组 会用描点法画出二次函数 　　　　　 的图象， 通过图象了解它的图象特征和性质． （x - h） 2 y =a 学习目标：(默读，举手) 　在同一直角坐标系中，画出二次函数 　　　　　　　　 的图象，并探究它们的图象特征和性质． （x + 1）， 2 y =- （x - 1） 2 y =- 学习活动1 独立完成 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －8 －4.5 －2 0 0 －2 －8 －4.5 －2 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 动手画图：填表、描点、连线 独立 完成 可以看出，抛物线 的开口向_____，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x=______，顶点是__________；抛物线 的开口向______，对称轴是________________，顶点是_______________． 下 x = 1 ( 1 , 0 ) x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 下 －1 （－1，0） 1.独立思考 2.小组交流 3.展示评价 抛物线 、 与抛物线 有什么关系？（举手抢答+1） x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 　　抛物线 　　 　　 与抛物线 y = ax 2 有什么关系？ （x - h） 2 y = a 学习活动2 1.独立思考 2.小组交流 3.展示评价 　　归纳： 　　一般地，当 a＞0 时，抛物线 　　　　　 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的 最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大． （x - h） 2 y = a 　 　　一般地，当 a＜0 时，抛物线 　　　　　 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的 最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小． （x - h） 2 y = a 默读理解（4分钟） 当堂检测 P35练习 （A本，不画图，直接指出三个函数的开口方向、对称轴和定点，并分别指出第二和第三个图象是如何由第一个图象平移得到的。） $22.1.2 二次函数y=ax²图象和性质 习题课 学习目标：（默读，举手） 能利用y=ax²的图象和性质解决实际问题 当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________； 当a＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越________． 猜想一下，四条抛物线的解析式： 1.函数y＝-5x²的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x＝_______时，有最_____值是_________． 2.若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m_________． 4．二次函数y＝mx有最低点，则m_____． 5.在同一坐标系中，①y= x² ②y=-x²③y=2x²这三个函数图象开口最大的是_______，开口最小的是_____，开口向下的是_______. 学习活动1 1.独立思考 2.小组交流 3.举手回答 4.酌情评价 学习活动2 已知 是二次函数，且当 时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 1.独立完成 2.小组交流 3.演排+1 函数y=ax2（a≠0）与直线y=2X-3交于 （1，b），求： (1) a和b的值； (2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积 学习活动3 1.独立思考 2.试着求解 3.说说思路+1 评讲及更正长江作业 $1、什么是函数？+1 2、一次函数的一般形式与性质是什么？+1 复习导入 独立思考 举手回答 22.1.1　二次函数 乐天溪初中九年级数学组 学习目标：（默读，举手） 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 学习重点： 理解二次函数的定义． 　实例1：（举手抢答） 　 正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之间有什么关系？ +1 通过实例，归纳二次函数的定义 学习活动1 　实例2： n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？+1 1.独立思考 2.小组交流 3.展示评价 实例3： 某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应该怎样表示？+1 这三个函数关系式有什么共同点？+1 学习活动2 　　二次函数的定义：一般地，形如 　　　　　　　（a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项． 通过实例，归纳二次函数的定义（齐读） 下列函数中，二次函数的个数有（ ） ①y=3(x-1)2+1; ②y=x+1/x; ③y=(x-3)2-x2; ④y=x2 A、1个；B、2个；C、3个；D、4个 　某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）． （1）如果用 18 m 的建筑材料来修建绿地的边缘 （即周长），求 S 与 x 的函数关系，并求出 x 的取值范围． （2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少 m ？ 跟踪练习 (演排+1) 1.独思 2.交流 3.展示 4.评价 练习1　函数 　　 　　　　　　 （m 为常数）． （1）当 m ______时，这个函数为二次函数； （2）当 m ______时，这个函数为一次函数． ≠ 2 = 2 （　 ） m - 2 x 2 + mx - 3 y = 举手抢答 +1 （1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？ 课堂小结 自由发言，酌情评价 当堂检测 （A本，不抄题） 　P29 练习1,2 $复习回顾（独立思考，举手回答，酌情评价） 1、二次函数的一般形式是什么？ 2、已知函数y=(m+3)xm²+2m-1，当m为何值时，y是x的二次函数？ 22.1.2二次函数y =ax 2的图象和性质 乐天溪初中九年级数学组 学习目标：（默读，举手） 　1．会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象，了 　 解抛物线的有关概念； 　2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax 2 的图象特 征和性质； 　3．在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程 　 中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法 　 和数形结合的思想． 学习重点： 　观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质． 　你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？ 复习研究函数的一般方法 学习活动1 画函数图像应该经历哪三个步骤？+1 用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：口答+1 x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· ··· 2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 画最简单的二次函数 y = x2 的图象 x y O －3 3 3 6 9 0 1 4 9 1 4 9 3. 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点． x y O －3 3 3 6 9 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做 抛物线y = ax2 + bx + c 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点． 在同一直角坐标系中，画出函数 ，　　　 的图象，这两个函数的图象与函数 y = x 2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax 2 的图象有什么特点？ 学习活动2 1.独立画图 2.小组交流 3.展示评价 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 观 察 函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴 不同点：a 越大，抛物线的开口反而越小． 独立思考，举手回答，酌情评价 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 －8 －4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 在同一坐标系画出 的图象。 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________． 归 纳 下 高 大 你能说出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质吗？ 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 　　（1） 　　 ； 　　（2） 　　　； 　　（3） ； 　　（4） ． 巩固练习（口答+1） 开口向上、y 轴、原点． 开口向下、y 轴、原点． 开口向上、y 轴、原点． 开口向下、y 轴、原点． 　　抛物线　　　　，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ． 增大 减小 学习活动3 1.画草图思考 2.小组交流 3.举手回答 （1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax 2的图象和性质的？ 课堂小结 自由发言，酌情评价 　　1、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 　　（1） 　　 ； 　　（2） 　　　； 　　（3） ； 　　（4） ． 当堂检测 开口向上、y 轴、原点． 开口向下、y 轴、原点． 开口向上、y 轴、原点． 开口向下、y 轴、原点． 　　《长江作业》 布置作业 $