22.1.2二次函数的图象和性质（教学设计）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦九年级上册22.1.2《二次函数的图像与性质》，通过温故知新复习一次函数、二次函数概念，结合抛球、喷泉等生活曲线情境导入，以问题串为支架，迁移一次函数研究方法，引导学生经历作图、对比、归纳的探究过程。 此资料亮点在于采用抛锚式情境激发兴趣，结合脚手架问题串与几何画板动态演示，落实几何直观与推理能力，如对比y=x²与y=-x²图像归纳a的符号影响。通过过程性变式习题巩固，帮助学生规范作图、培养数形结合思想，为教师提供完整探究流程与分层评价设计。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 ---九年级上册22.1.2《二次函数的图像与性质》教学设计 课程基本信息 主备人 关旭茹 课型 新授课 学科 数学 年级 九年级 学段 初中 版本章节 人教版数学教材九年级上册第22章第一节“二次函数”的第二课时 教学目标 1.能通过列表、描点、连线正确画出二次函数的图象，识别抛物线特征，说出开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值，建立 “数→形” 的直观对应。 2. 经历 “特殊→一般” 的探究过程，类比一次函数、反比例函数研究方法，归纳y=ax2的图象与性质，体会数形结合、分类讨论思想，形成研究函数的通用方法。 3.能根据a的符号判断图象特征，进行简单计算与说理，解决基础应用问题。 4.在作图、观察、归纳、交流中养成严谨作图、主动探究、合作分享的习惯，感受数学对称美与规律美。 教学重难点 教学重点：研究二次函数的图像和性质的过程，促进学生掌握研究函数性质的一般方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。 教学难点：画图时如何恰当取点是第一难点；通过图像如何探究出二次函数的性质是第二难点。 学情分析 学生已掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，具备 “列表 — 描点 — 连线” 的作图技能与初步探究能力。九年级学生已具备类比迁移、归纳概括能力，但初次接触抛物线，对对称取点、图象平滑性、增减性描述易出错，需动手操作与直观演示结合。 教材分析 本节课属于人教版数学教材九年级上册第22章第一节“二次函数的图像和性质”的内容，该内容分四个课时，本节课是第二课时。 本节课要求学生通过列表、描点、连线等手段，能熟练地画出二次函数的图像，并借助函数图像，通过数形结合的方法，观察、分析、归纳出二次函数的性质，再利用这些函数性质，分析并解决一些简单的实际问题。 函数是代数的核心知识，也是学生学习代数的难点。初中阶段所学习的函数主要有一次函数、反比例函数和二次函数，高中阶段还要进一步学习幂函数、对数函数、指数函数和三角函数。 从宏观方面来看，之前学习的函数、正比例函数、一次函数等概念，为二次函数的学习打下了一定的基础。学生可以根据已有的知识和经验，通过联系、类比的方式学习二次函数。学生通过学习二次函数，进一步深化对函数概念的理解和掌握。同时，本节课内容的学习，还可为学生高中阶段学习抛物线方程等相关知识奠定基础。 从微观方面来看，上一节课学生学习了二次函数的概念，本节课对二次函数的图像和性质的研究，将为下一节课学习二次函数的实际应用、顶点式与平移变换奠定基础。因而本节课内容起着承上启下的作用，有着举足轻重的重要地位。 二次函数在生活中应用十分广泛，体现在自然科学、工程技术，甚至是人文社会科学中。应用二次函数的数学模型，可以更好地刻画现实世界中的数量关系，借此可培养学生数学建模的思想和数学应用的意识。 教学策略 1. 抛锚式的教学策略 教师首先利用“设计面积固定的正方形”的实际问题，来进行“抛锚”，既引出和固定了学习的学习主题，又可以激发学生的学习兴趣和主动精神。在学生通过设计和观察得出规律后，教师由特殊到一般提出本节课的课题。课堂结束之际，通过拓展题又联系到情境问题，使整个教学设计首尾呼应，浑然一体。 2. 脚手架教学策略 教学中以问题串的形式来进行设计，每一个问题的设问相当于是脚手架，让学生借助脚手架建构自己的理解。比如在画二次函数的图像前，通过问题串的设问，为学生寻找适当的研究方法搭建脚手架；在取点描绘图像和图像特征环节，通过交互式脚手架，在教师示范、分组画图、合作交流的过程中，突破画图的难点。 3. 过程性变式教学策略 利用“变式理论”设计习题，结合二次函数的图像和性质，从简单“练习题”向较为复杂的“组合题”过渡，渗透一题多解、一题多变、一法多用的思想，通过适当的引申和变式，培养学生在复杂背景中辨别条件的能力。 教学准备 每个人发放一张学历案 教学过程 教学环节 师生活动 设计意图 设计依据 （一）温故知新 复习旧知识：①一次函数的概念及其性质；②二次函数的概念。 二次函数到底“特殊”在何处呢？ 【师生活动】：教师提问，学生回答。 复习巩固，温故知新。 奥苏贝尔有意义学习理论：新知必须建立在旧知基础之上，找准知识生长点。 情境导入 生活中抛球、喷泉、拱桥的曲线，你觉得像什么？ 恰当的问题情境，能引发学生的认知冲突，激发他们的求知欲和探索精神。 从心理学的角度来看，人容易对已有经验和熟悉的事物产生共鸣。通过感兴趣的问题，更容易产生认知同向。 （二）动手操作，探究的图象（8 分钟） 1. 要画的图象，第一步做什么？ x可以取哪些数？ 2.取点只取正数行不行？为什么？ 3.描完点怎么连？能用线段连吗？ 4.这个图象像什么？我们给它起个名字叫什么？ 5.它对称吗？对称轴是谁？顶点在哪里？是最高还是最低？ 【师生活动】生自主列表：x=-3,-2,-1,0,1,2,3，计算y。 生描点，师巡视纠错：只画一半、连线成折线。 师强调：取点要全面、对称、典型；连线用平滑曲线。 生观察得出：图象是抛物线，关于y轴对称，顶点(0,0)，最低点。 让学生亲历作图，规范技能，直观感知抛物线特征。 动手操作是几何直观形成的基础；遵循 “具体→直观→抽象” 的认知规律。 （三）对比探究：的图象（6 分钟） 1.请画出，和对比，你发现什么相同？什么不同？ 2.开口方向由谁决定？ 3.顶点是最高还是最低？ 【师生活动】学生快速作图，小组对比。 生汇报： 相同：都是抛物线，关于y轴对称，顶点(0,0)。 不同：开口方向相反。 师生共同小结： (a>0)开口向上，有最低点； (a<0)开口向下，有最高点。 用对比突出a的符号决定开口，建立分类讨论意识。 比较与分类是逻辑推理的起点；用差异促进理解本质。 （四）深入探究：a影响开口大小（7 分钟） 试着画出函数 ， ， ， 的图像。 开口大小一样吗？谁开口更窄？谁更宽？ |a|越大，开口越怎样？ 【师生活动】 小组分工作图，展示对比。 几何画板动态演示：a变化，图象同步变化。 生得出：|a|越大，抛物线开口越小。 由特殊到一般，直观突破 “开口大小” 难点。 从具体实例到一般结论，符合归纳推理的学习规律。 （五）归纳总结：完整性质（8 分钟） 请用数学语言准确描述：(a>0)时，y随x如何变化？ (a<0)时，增减性又是怎样？ 对称轴永远是谁？顶点永远在哪里？ 【师生活动】 师生共同完成下表（口述→板书）： 图象：抛物线 对称轴：直线(x=0)（y轴） 顶点：((0,0) (a>0)：向上，最小0，(x<0)减，(x>0)增 (a<0)：向下，最大0，(x<0)增，(x>0)减 |a|越大，开口越小 把直观图象转化为严谨数学语言，夯实知识体系。 抽象概括是数学核心素养；函数性质必须规范化表达。 （六）巩固练习：小试牛刀（5 分钟） y=5x2开口____，对称轴____，顶点____。 抛物线y=(k-1)x2开口向下，k的范围是多少？ y=3x2，左侧y随x增大而____，右侧____。 3. 师生活动 学生口答，师纠错。 强调：看a的符号定开口；看对称轴定增减性。 即时巩固，落实基础，暴露易错点。 及时练习促进知识内化；形成 “判断 — 说理 — 表达” 的规范路径。 （七）当堂检测（5 分钟） 学生独立完成，师巡视批改，集体订正。 1.抛物线y = x2，y = 5x2，y = -3x2的共同性质是： ① 都是开口向上； ② 都以点(0,0)为顶点； ③ 都以直线x=0为对称轴； ④ 都有最小值0； 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.若抛物线y=ax2 (a≠0)，过点(-1，2). (1)则a的值是 ； (2)对称轴是 ，开口 . (3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点. 抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4)若A(x1 ,y1)，B(x2 ,y2)在这条抛物线上，且x1＜x2＜0, 则y1 y2. 3.如图，在同一直角坐标系中，k ≠ 0，函数y = kx2和y = -kx - 7k的图象可能是（　　） 以评促学，检验学习目标达成。 新课标倡导过程性评价与终结评价结合。 （八）课堂小结（2 分钟） 1. 今天学了什么图象？什么性质？ 2. 我们用了哪些研究方法？ 生总结，师提炼板书如下图： 知识：图象与性质 方法：数形结合、分类讨论、特殊到一般、类比 结构化梳理，形成方法体系。 小结促进知识网络化，提升迁移能力。 教学评价设计 过程评价：作图规范、参与发言、合作交流。 结果评价：当堂检测正确率、性质表述准确性。 素养评价：几何直观、推理能力、模型观念、运算能力达成。 课堂小结 本节课我们围绕最简单的二次函数展开探究，完整经历了初中函数标准研究流程：从生活情境抽象函数模型，通过列表、描点、连线画出抛物线图像，再通过观察、对比、归纳得出函数性质。 知识层面：我们掌握了二次函数图像的画法，明确抛物线的基本特征：对称轴为 y 轴、顶点在原点；掌握了a的正负决定开口方向，区分了(a>0)与(a<0)两种情况下函数的增减性与最值规律，同时了解了互为相反数系数的二次函数图像关于 x 轴对称的特点。 方法层面：延续了一次函数、反比例函数的研究思路，学会用数形结合、分类讨论、特殊到一般的思想研究函数问题，掌握了初中函数探究的通用方法。 易错梳理：画图需注意取点全面对称、连线用平滑曲线，避免出现只画单侧图像、折线连线等错误；做题时要结合图像判断函数增减性，避免死记硬背、混淆左右变化规律。 后续我们将在此基础上，继续学习二次函数的平移变换、顶点式及实际应用。 板书设计 标题：22.1.2 二次函数的图像与性质 左侧：画图步骤 列表（取点：全面、对称、典型） 描点 平滑连线（备注：图像名称 —— 抛物线） 中间：核心性质（重点） 右侧：补充|a|越大，抛物线的开口越小 对称关系：数学思想：数形结合、分类讨论 教学反思 （一）成功之处 教学设计逻辑完整，承上启下本节课立足学生已有的一次函数、反比例函数学习经验，通过类比迁移引入新知，符合学生认知规律。以正方形面积的生活情境导入，自然引出，让抽象的函数知识生活化，有效激发学生探究兴趣，顺利完成新旧知识衔接，体现了本节课承上启下的教材地位。 突出学生主体，突破重难点本节课核心采用 “自主作图 + 小组合作 + 动态演示” 的教学模式，让学生亲手经历画图全过程，亲身感受取点、连线的易错点，有效突破恰当取点、图像归纳性质两大教学难点。结合几何画板动态展示图像变化，将抽象的增减性、开口特征直观化，有效落实数形结合的数学思想。 注重数学思想渗透，落实核心素养整节课始终贯穿数形结合、分类讨论、特殊到一般的数学思想，从具体的等函数入手，归纳出的通用性质，培养学生观察、概括、迁移的能力，从知识教学转向能力培养，符合新课标素养要求。 分层训练，兼顾全体学生课堂练习设计由浅入深，基础题夯实新知、提高题巩固性质、拓展题拔高思维，兼顾学困生、中等生和优等生，实现分层教学，让不同层次的学生都能在课堂有所收获。 （二）存在不足 学生作图耗时偏长部分基础薄弱学生对对称取点掌握不好，画图速度慢、图像规范性差，导致后半段性质归纳和拓展练习时间略显紧张。 学生自主归纳能力参差不齐部分学生只能直观看到图像形状，难以自主提炼增减性、最值等抽象性质，依赖教师引导，独立探究、语言概括的能力有待提升。 课堂时间分配不够均衡情境导入和动手操作环节学生参与度高、耗时较长，导致最后的拓展提升和课堂总结稍显仓促，学生内化时间不足。 （三）改进措施 课前精准预习铺垫课前布置简单的坐标取值练习，让学生提前熟悉对称取值方法，减少课堂作图障碍，提升课堂效率。 细化探究问题，降低抽象难度后续教学可设计梯度化问题串，一步步引导学生从 “图像形状 — 开口 — 对称轴 — 增减性” 逐层分析，降低学生归纳难度，培养学生独立探究的思维习惯。 优化课堂时间分配严格把控各环节时间，压缩无效讨论时间，将更多时间留给性质应用和学生内化总结，同时增加课堂即时纠错、规范答题指导。 强化易错点巩固针对学生画图不规范、增减性混淆等高频错误，课后设置专项微练习，强化学生对二次函数图像与性质的理解与记忆。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $