22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 （第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第2课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象； 2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系； 3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质. 【过程与方法】 通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知. 【情感态度与价值观】 在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质； 2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系. 【教学难点】 利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等 六、教学过程 （一）导入新课 教师问：说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.（出示课件3） 学生答： a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0,c） （0,c） 函数的增减性 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 最值 x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 教师问：二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？（出示课件4） 学生答：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0) 的图象平移得到： 当k>0时，向上平移个单位长度得到. 当k<0 时，向下平移个单位长度得到. 思考：函数的图象，能否也可以由函数平移得到？ ㈡探索新知 探究一 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 在如图所示的坐标系中，画出二次函数与的图象．（出示课件6） 学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识. 1.列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 8 2 0 … 2.再描点、连线，画出这两个函数的图象：（出示课件7） 根据所画图象，填写下表：（出示课件8） 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 y轴 (0,0) 当x=0时， y最小值=0 当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小 向上 x=2 (2,0) 当x=2时， y最小值=0 当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小 想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＞0）的性质是什么？ 师生共同归纳：二次函数y=a(x-h)2（a＞0）的图象性质 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y=a(x-h)2 （a＞0） 向上 X=h (h,0) 当x=h时， y最小值=0 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小 试一试：画出二次函数的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点．（出示课件10） 学生自主操作，画图，教师加以巡视. 1. 列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -2 0 -2 -8 … … -8 -2 0 -2 … 2.描点、连线，画出这两个函数的图象： 学生结合图象，整理如下：（出示课件11） 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向下 直线x=-1 (-1,0) 当x=-1时， y最大值=0 当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小 向下 直线x=0 (0,0) 当x=0时， y最大值=0 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 向下 直线x=1 (1,0) 当x=1时， y最大值=0 当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小 想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质是什么？（出示课件12） 师生结合图象共同归纳：函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y=a(x-h)2 （a＜0） 向下 X=h (h,0) 当x=h时， y最大值=0 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 教师共同认知：二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质（出示课件13） y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 出示课件14:例 若抛物线y＝3(x＋)2的图象上的三个点，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________． 学生独立思考后，师生共同解决如下： 解：∵抛物线y＝3(x＋)2的对称轴为x＝－，a＝3＞0，开口向上，∴当x＜－时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． ∵点A的坐标为(－3，y1)， ∴点A在抛物线上关于x=-的对称点A′的坐标为(，y1)． 又∵－1＜0＜， ∴y2＜y3＜y1. 教师点拨：（出示课件15） 利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先依对称性转化到同侧，再比较大小. 出示课件16：已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时，y随x的增大而增大，当x>-3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是（ ） A.-1 B.-9 C.1 D.9 学生独立思考并口答：B 探究二 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系 教师问：抛物线，与抛物线有什么关系？（出示课件17） 学生结合图象独立思考并口述，教师加以整理. 师生共同认知如下：（出示课件18） 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系：可以看作互相平移得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变. 出示课件19：例 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 学生独立思考后，师生共同解答. 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，， 因此平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2. 教师总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 出示课件20：将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 学生独立思考后，自主解答. 解析 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象． （三）课堂练习（出示课件21-25） 1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　 ） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 2.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 3.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线_______，顶点是________. 4.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_______________. 5.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 6.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 7.在直角坐标系中画出函数y＝(x-3)2的图象． (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)说明该函数图象与二次函数y＝x2的图象的关系； (3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少? 参考答案： 1.B 2.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 3.； 4.y1＞y2＞y3 5. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=3 (3,0) 向上 直线x=2 (2,0) 向下 直线x=1 (1,0) 6.解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到. 7.解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）. （2）该函数图象由二次函数y=x2的图象向右平移3个单位得到. （3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0. （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习 预习下节课（22.1.3第3课时）的相关内容. 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识. 学科网（北京）股份有限公司 $