1.5 解其他不等式（全国通用）【8大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 聚焦不等式求解五大类型，通过分类题型专练构建从基础到复杂的知识逻辑体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式不等式|7题|集合运算、充要条件判断、参数范围|从分式到整式转化，体现等价变形逻辑| |高次不等式|5题|解集求解（含分式化高次）|穿根法应用，强化符号分析能力| |绝对值不等式|6题|直接求解、集合运算、参数范围|绝对值性质应用，培养分类讨论思维| |双绝对值问题|6题|恒成立、解集判断|绝对值几何意义与最值思想结合| |含根式不等式|6题|解集求解、参数反求|根式有意义条件与不等式同解变形|

1.5 解其他不等式 5大考点汇总 考点01 分式不等式 考点02 高次不等式 考点03 绝对值不对等式 考点04 双绝对值的问题 考点05 含根式的不等式问题 题型专练 考点01 分式不等式 1．设集合，，则中整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．16 【答案】B 【分析】先分别求解对数不等式和分式不等式得到集合、，计算二者的交集后统计交集中的整数个数即可. 【详解】对数函数的定义域为，不等式可变形为， 由于在上单调递增，因此，即. 分式不等式等价于，解得，即. ，其中的整数为，共4个. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 3．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， ， （2），， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 4．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为，故，故. 6．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 或， 所以. 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 考点02 高次不等式 8．不等式的解集为______ 【答案】 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当或或时，， 故答案为：. 9．不等式的解集为___________（用区间的形式表示）. 【答案】 【分析】移项通分，转化为一元高次不等式即可求解. 【详解】移项得， 即， 解得， 故答案为：. 10．分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 11．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）利用穿根法即可求解； （3）首先代入求解，当时，因式分解后再求解不等式即可. 【详解】（1），即，解得，则其解集为. （2），即， 则，且， 利用穿根法得，则其解集为. （3）当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上所述：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． 12．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 考点03 绝对值不对等式 13．解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）原不等式等价于，由一元二次不等式解法求解即可； （2）去绝对值，分，两种情况求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 因为，当且仅当时等号成立， 所以不等式等价于，解得， 所以不等式解集为； （2）当时，，所以原不等式可化为， 解得，此时不等式解为； 当时，，所以原不等式可化为， 解得，此时不等式解为； 综上，不等式解集为. 14．解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)或. (3) (4)或 【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简得到，转化为，结合分式不等式的解法，即可求解； （3）不等式转化为且，进而得到不等式的解集； （4）根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得， 即，解得或，所以不等式的解集为或. （3）解：由不等式，可得且，解得， 所以不等式的解集为. （4）解：由不等式， 当时，即时，不等式即为，显然成立； 当时，即时，不等式可化为， 即，解得或，所以或且， 综上可得，不等式的解集为或. 15．已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得或，所以或， 由，所以，解得或， 所以或，所以或． 16．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在集合A中，，，解得且，即集合. 在集合B中，，，解得，即集合. ，即. 17．求下列不等式的解集． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据绝对值的非负性初步得到x的一个范围，再去绝对值符号，解一次不等式即可；（2）根据开偶次方根的数为非负数，分母不为0得到x的一个范围，再根据分子是否为0分类讨论求解. 【详解】（1）因为，所以，解得． 当时，，所以. 所以原不等式即，解得． 取交集可得原不等式的解集为． （2）不等式有意义的条件为，即且． 当时，不等式即，成立；           当且时，，故，可化为，即，解得． 综上，原不等式的解集为． 18．已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 考点04 双绝对值的问题 19．（多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 20．不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. 21．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方后可求不等式的解. 【详解】因为，故，化简得，解得， 即不等式的解集为. 22．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】应用绝对值三角不等式计算求解最大值，再解绝对值不等式求解. 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 23．已知 ，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，已知，而点和点之间的距离为， 所以当时，点到点和点之间(包括端点)，此时点到点的距离与点到点的距离之和恰好等于点和点之间的距离3，满足. 24．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】要使不等式对任意恒成立，只需小于等于的最小值即可. 【详解】根据绝对值的几何意义，是数轴上点到点的距离，是点到点的距离， 当点在和之间（含端点）时，两个距离之和最小，最小值就是到的距离， 即的最小值为. 因此不等式恒成立要求即可，即的取值范围是. 考点05 含根式的不等式问题 25．不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】对于原不等式，有，原不等式化为，两边平方化简为，结合高次不等式的解法并结合可得出原不等式的解集. 【详解】对于不等式，有，可得， 所以原不等式化为． 因为，必有，可得， 由可得， 即， 整理可得， 方程的两根分别为，，如下图所示： 不等式的解为或或， 又因为，故原不等式的解集为. 26．关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式解法，分段求解即可. 【详解】由不等式有意义，得，解得， 当时，，因此； 当时，，即，解得，因此， 所以不等式的解集为. 故答案为： 27．不等式的解集为，则______． 【答案】-8 【分析】根据平方根的被开方数非负的要求，求出，从而得到是方程的解，进而求出答案． 【详解】由得 ， 又不等式的解集为，该解集只有左端为闭区间，故，即， 从而可得是方程的解，代入可得， 解得：，经检验满足题意. ． 故答案为： 28．不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 29．已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】先解不等式得到命题和成立的的范围，再由是的充分不必要条件得到自变量范围的包含关系从而可得结果. 【详解】由得，即，记； 由得，即，记. 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 30．已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性求的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论的不同取值得到不等式的解集，根据题意列方程，解得，即可求得结果. 【详解】∵，∴或 ∵，∴， ∵，∴， 即， 当时，恒成立， ∴不等式的解集是不符合题意，舍去. 当时，， ∴不等式的解集是， 即，即， 则，或（舍去）， 则. 当时，不等式的解集是， 即，即， ∴，即，则（舍去）或（舍去） 当时，， 当，，即时， 不等式的解集是，不符合题意，舍去. 当，，即时， ∵， 当且仅当，即时取等号， ∴当时，， 不等式的解集是或，不符合题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 解其他不等式 5大考点汇总 考点01 分式不等式 考点02 高次不等式 考点03 绝对值不对等式 考点04 双绝对值的问题 考点05 含根式的不等式问题 题型专练 考点01 分式不等式 1．设集合，，则中整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．16 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 4．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 考点02 高次不等式 8．不等式的解集为______ 9．不等式的解集为___________（用区间的形式表示）. 10．分式不等式的解集为______ 11．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 12．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 考点03 绝对值不对等式 13．解下列不等式 (1) (2) 14．解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）： (1)； (2)； (3)； (4). 15．已知集合则（   ） A． B． C． D． 16．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．求下列不等式的解集． (1)； (2)． 18．已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 考点04 双绝对值的问题 19．（多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 20．不等式的解集为________． 21．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 22．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 23．已知 ，则实数的取值范围为__________. 24．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是________． 考点05 含根式的不等式问题 25．不等式的解集是___________． 26．关于的不等式的解集为___________． 27．不等式的解集为，则______． 28．不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 29．已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________. 30．已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $