广西玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期自主训练(六)数学试卷（5.29）

**基本信息** 以游泳调查的独立性检验、函数极值点分类讨论等为载体，融合概率统计、函数导数、数列等高二核心知识，通过现实情境与逻辑推理考查数学思维与表达能力，适配周测分层巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|极值点、互斥事件、数列|基础概念辨析（如对立事件判断）| |多选题|3|正态分布、二项式定理|选项分层（如二项式系数与系数区分）| |填空题|3|概率计算、等差数列最值|情境化设问（如从1-5取数求和概率）| |解答题|4|独立性检验、数列证明、函数极值|现实应用（游泳与性别关联分析）、逻辑推理（函数极值点分类讨论）|

玉林一中高二数学自主训练（六）（5月29日） 姓名：___________ 班级：___________ 一、单选题 1．已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 4．已知在前n项和为的数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 6．如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．84 7．若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 二、多选题 8．某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩与乙班的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 9．二项式的展开式中（    ） A．前三项的系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为64 10．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 三、填空题 11．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是_________． 12．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 14．游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ (2)为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15．记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 16．已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，求的极大值点． 玉林一中高二数学自主训练（六）（5月29日）试卷第1页，共3页 玉林一中高二数学自主训练（六）（5月29日）试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 玉林一中高二数学自主训练（六）（5月29日）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D D B AC BC ABD 1．B，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意 2．A因为随机变量X的分布规律为（），所以，解得，所以. 3．C 样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 4．C 由，有，则．故选：C 5．D 因为函数是奇函数，所以，解得，所以，， 所以，所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得 6．D由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类： 当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法； 当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法， 综上：则不同的种植方法的种数为种， 7．B ,． 8．AC 因为，所以，， 所以选项A正确，选项B错误，对于选项C，因为，所以选项C正确 对于选项D，易知，所以选项D错，故选：AC． 9．BC二项式展开式的通项为：； 对于选项A，前三项的系数之和为：，A错误； 对于选项B，二项式系数中最大的是，恰好是第4项，B正确； 对于选项C，常数项时，通项公式中满足，得，即，C正确；对于选项D，将代入，可得所有项的系数之和，结果为，D错误； 10．ABD 对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确；对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确； 11．/0.4 总的基本事件有，共10个，两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有，共4个，所以所求概率. 12． 因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以，因此，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 13． 因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以.故答案为： 14．(1)认为是否喜欢游泳与性别有关联 (2)分布列见解析， 1）零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联．根据列联表中的数据，计算得到，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． （2）由题意可知抽取的男性有人，女性有人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，且，，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 15．(1)(2)证明见解析 （1）当时，可得，当时，，. 作差可得，因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以. （2）由题可得，所以，又，所以， 又也满足上式，所以， 16．(1)证明见解析(2)当时，极大值点为；当时，无极大值点；当时，极大值点为. （1）当时，，定义域为.求导得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，故. （2）函数的定义域为. 求导得. 对分子因式分解得. 令，解得或，由知. 当时，. 此时时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减. 故的极大值点为. 当时，，此时，当且仅当时取等号. 因此在上单调递减，无极值点. 当时，. 此时时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减. 故的极大值点为. 玉林一中高二数学自主训练（六）（5月29日）答案第1页，共2页 玉林一中高二数学自主训练（六）（5月29日）答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $