山东烟台市某校2025-2026学年高二下学期期中模拟试数学试题

**基本信息** 高二下学期期中模拟卷聚焦概率统计与排列组合，以乒乓球联赛、共享电动车投放等真实情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、数据建模与逻辑推理能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|排列组合（1）、正态分布（2）、线性回归（4）|基础概念辨析，如第4题残差计算| |多选题|3题|回归效果（9）、高尔顿钉板模型（11）|综合能力考查，如第11题概率分布规律| |填空题|3题|二项式定理（12）、相邻不相邻排列（13）|情境化设计，如13题戏剧节目排序| |解答题|5题|回归模型选择（16）、概率分布与方案比较（17、19）|真实问题解决，如16题共享电动车投放决策|

高二下学期期中考试模拟试题 2026.4.16 一、单选题 1．用这九个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A． B． C． D． 2．假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 3．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 4．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 5．若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 7．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好 B．已知随机变量服从二项分布，若，，则 C．已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为 D．已知随机事件，满足，，则 10．某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（    ） A． B． C． D． 11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为D．的最小值为 三、填空题 12．的展开式中常数项为__________． 13．新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 四、解答题 15．已知. (1)求的值（结果用数字表示）； (2)求（结果用数字表示）. 16．某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 参考数据：． 17．某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.， (1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望； (2)甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率； 18．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 19．现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月15日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C B B B ABCD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】第一步：确定个位数字， 要组成三位奇数，个位必须是奇数，即从这个数字中选个，有种选择； 第二步：确定百位数字， 个位已经用了个数字，剩下个数字可选，但百位不能为（这里数字范围是，所以只需排除已用的个数字），因此有种选择； 第三步：确定十位数字， 个位和百位各用了个数字，剩下个数字可选，有种选择， 所以，根据分步乘法计数原理，总个数为：． 2．C 【分析】结合正态分布的对称性，依据已知概率区间确定A等级对应的分位数，计算得分数线. 【详解】已知成绩服从正态分布，则均值，标准差. A等级为成绩由高到低的前， 由，得. 计算，即A等级的分数线约为94. 故选：C 3．C 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 4．D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 5．B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 6．C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，令得， 两式相减得， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以被8整除的余数为4. 故选：C. 7．B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 8．B 【分析】由题意，利用条件概率计算公式，结合概率运算性质可得答案. 【详解】， ， 又，则， . 故选：B. 9．ABCD 【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、线性回归方程的残差以及条件概率的计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对于A，线性回归分析中可以用决定系数用来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B，随机变量服从二项分布，若， 则，解得，故B正确； 对于C，关于的线性回归方程为，将代入回归方程中得，即残差为，故C正确； 对于D，因为, 所以，故D正确； 故选：ABCD 10．ABD 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项. 【详解】对于A，易知，故A正确； 对于D，易知，故D正确； 对于B、C，易知可取，则, ，所以， ，故B正确；C错误； 故选：ABD 11．ABC 【分析】利用利用独立重复试验的概率公式和对称性求出. 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知， ，， ，， 所以A，B正确, ， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 12．29 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 13． 【分析】先采用捆绑相邻的元素，再插空处理不相邻的元素，使用分步乘法原理计算出总方案即可. 【详解】把班和班捆绑为个整体，内部有种排列顺序， 除去班、班，剩下的元素为：班和班整体加上其余个节目，共个元素， 全排列有种排法， 个元素排好后共产生个空位，从个空位中选个插入班和班，共有种排法， 总方案数为各步骤乘积：种. 14． 6 /0.25 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 15．(1) (2) 【分析】（1）令，可得，可得出，设，利用赋值法可求得的值； （2）利用二项展开式通项可求得的值. 【详解】（1）令，可得，则， 所以， 令，则， 因为①， ②， ①②可得，故. （2）的展开式通项为， 所以. 16．(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 17．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据题意分析可知，结合二项分布求分布列，进而可得期望； （2）根据题意求单人不能获奖的概率，进而结合独立事件概率乘法公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为，上三级台阶的概率为， 且的可能取值为， 可得，则有： ， ， 所以的分布列为： 6 7 8 9 的数学期望. （2）因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品， 结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶， 可知不能获得奖品的概率为， 所以甲､乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率. 18．(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 19．(1) (2) (3)方案一 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $