精品解析：山东淄博市临淄中学2025-2026学年高二第二学期期中模块检测数学试题

临淄中学高二年级数学学科2025-2026学年度第二学期 期中模块检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中项的系数为（ ） A. 28 B. C. 112 D. 3. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 4. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（ ） A. 60种 B. 30种 C. 120种 D. 24种 6. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等) A. B. C. D. 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好 10. 已知则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中，正确的是（ ）． A. 随机变量X服从二项分布，若，，则 B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 C. 从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布， D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为______. 13. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________. 14. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表： 的浓度 空气质量等级 1（优） 28 6 2 2（良） 5 7 8 3（轻度污染） 3 8 9 4（中度污染） 1 12 11 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题． （1）估计事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率； （2）完成下面的2×2列联表， 的浓度 空气质量 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 （3）根据（2）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天的浓度有关？ 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，其中． 16. 已知是的一个极值点. （1）求函数的单调递减区间； （2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 17. 已知数列满足，且当时，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 18. 1.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为了顺利实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某市教育局为了解全市教职工在“学习强国”中每天学习得分情况，从全市教职工中随机抽取名教职工，得到他们平均每天的学习得分，得分都在内，将他们的得分分为七组：，后得到频率分布直方图如图所示． （1）从样本中得分不低于的教职工中用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人进行学习体会交流，用表示参加学习体会交流且得分不低于分的人数，求的分布列和期望； （2）某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数 一次最多答对题数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与第x天之间可用线性模型拟合，请用相关系数加以说明，并求出关于的回归方程． 参考数据： 参考公式：，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式， 19. 2022年，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇. （1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望； （2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，. ①求的通项公式； ②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临淄中学高二年级数学学科2025-2026学年度第二学期 期中模块检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 2. 展开式中项的系数为（ ） A. 28 B. C. 112 D. 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 令，得，则展开式中项的系数为. 3. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的密度曲线的对称性可得. 【详解】因为，所以．又，所以．由正态分布的密度曲线的对称性可得． 故选：A. 4. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 5. 某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（ ） A. 60种 B. 30种 C. 120种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】 先对五门课进行全排列，其中不考虑数学、历史的顺序，即可得答案； 【详解】先对五门课进行全排列，其中不考虑数学、历史的顺序， . 故选：A. 【点睛】本题考查排列的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意五个元素中不考虑两个元素的顺序时，要除以. 6. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解. 【详解】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”， 则, 可得. 故选：B. 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D 8. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，， ，即，即，故， 所以不等式的解集为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好 【答案】CD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的含义即可判断A，由相关系数以及决定系数的定义即可判断BD，由残差的含义即可判断C. 【详解】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B选项，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误； C选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确； D选项，在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故D正确. 故选：CD 10. 已知则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，C，D，将等式中的x赋适当的数值经计算即可判断；对于B，计算展开式的项的系数即可判断作答. 【详解】对于A，取得：，A正确； 对于B，展开式中第七项为，即，B不正确； 对于C，取得：，则，C正确； 对于D，取得：，取得：， 两式相加得，即，D正确. 故选：ACD 11. 下列命题中，正确的是（ ）． A. 随机变量X服从二项分布，若，，则 B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 C. 从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布， D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A； 利用间接法计算，可以判定B； 利用超几何分布，写出分布列，计算期望，可以判定C； 利用二项分布的性质可以判定D. 【详解】A：，可得，A错； B：利用间接法有，B对； C：，，， ，则期望,故C正确； D：，所以，当时概率最大，所以D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为______. 【答案】100 【解析】 【分析】根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可. 【详解】因为，所以，，，， 所以该数列的前100项之和为. 故答案为：100 13. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥， 又，，， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）； （2）； （3）转化为古典概型求解. 14. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知 在上恒成立， 因此 在上恒成立， 令，则 ， 所以 . 因此实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表： 的浓度 空气质量等级 1（优） 28 6 2 2（良） 5 7 8 3（轻度污染） 3 8 9 4（中度污染） 1 12 11 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题． （1）估计事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率； （2）完成下面的2×2列联表， 的浓度 空气质量 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 （3）根据（2）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天的浓度有关？ 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，其中． 【答案】（1） （2）答案详见解析 （3）该市一天的空气质量与当天的浓度有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案. （2）根据已知条件补全列联表. （3）计算的值，由此作出判断. 【小问1详解】 “该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的天数有天， 所以事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率为. 【小问2详解】 根据数据补全列联表如下： 的浓度 空气质量 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 【小问3详解】， 所以该市一天的空气质量与当天的浓度有关. 16. 已知是的一个极值点. （1）求函数的单调递减区间； （2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由求得，并检验，然后由确定减区间； （2）同样求出，然后由在上恒成立得的范围． 【详解】（1）的定义域为， . 因为是的一个极值点， 所以，即. 解得，经检验，适合题意，所以 因为， 解，得. 所以函数的单调递减区间为. （2）， . 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以. 因为在上，，所以. 【点睛】本题考查由导数研究函数的极值、单调性，考查由单调性确定参数范围，解题关键是的转化，单调性转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值．本题旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归能力． 17. 已知数列满足，且当时，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）给两边同除以，得，然后整理可证得结论； （2）由（1）求出数列的通项，然后代入中得，再用裂项相消求和法可求得结果. 【详解】（1）证明：当时，， 将上式两边都除以，得， 即， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）解：由（1）得即， 即， 所以. 所以 . 【点睛】此题考查等差数列的证明和裂项相消求和法，属于基础题. 18. 1.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为了顺利实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某市教育局为了解全市教职工在“学习强国”中每天学习得分情况，从全市教职工中随机抽取名教职工，得到他们平均每天的学习得分，得分都在内，将他们的得分分为七组：，后得到频率分布直方图如图所示． （1）从样本中得分不低于的教职工中用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人进行学习体会交流，用表示参加学习体会交流且得分不低于分的人数，求的分布列和期望； （2）某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数 一次最多答对题数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与第x天之间可用线性模型拟合，请用相关系数加以说明，并求出关于的回归方程． 参考数据： 参考公式：，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式， 【答案】（1） 数学期望为1 （2）说明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图确定得分不低于分的两组的频数，根据分层抽样原则求出两组分别抽取的人数，再借助超几何分布概率公式即可求出的分布列和期望； （2）先求出，再代入相关公式即可求解． 【小问1详解】 在抽取的名教职工中得分在的有(人)， 得分在的有(人)， 所以在得分为的人中应抽取(人)，在得分为的人中应抽取(人)． 由题可得的所有可能取值为， 所以的分布列为 【小问2详解】 由条件可知， 则关于的相关系数 因为与非常接近，所以关于有较强的线性相关关系； 因为，’ 所以关于的回归直线方程是 19. 2022年，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇. （1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望； （2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，. ①求的通项公式； ②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小. 【答案】（1） 0 1 2 3 （2）①；②答案见解析； 【解析】 【分析】（1）易知前三次扑出点球的个数，计算出对应的概率即可求得分布列和期望； （2）①根据题意可知，由等比数列定义可得为等比数列，可求得； ②由作差法计算可得当且为奇数时，；当为偶数时，. 【小问1详解】 由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率，则， 所以门将在前三次扑出点球的个数的可能取值为0，1，2，3； 则，， ，； 因此的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 【小问2详解】 ①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为， 因此， 即， 又，，可知， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即 ②因为第次传球之前球在乙脚下的概率为，可知； 则， 当且为奇数时，，此时，即； 当且为偶数时，，此时，即； 因此可知当且为奇数时，；当为偶数时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $