江西省乐平中学等校2026届高考全真模拟数学试卷

2026届高考全真模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0. 1.已知集合A={yy=e,集合B={x∈Z2-2x-3<0,则AnB=( A.（-1,3) B.(0,3) c.{1,2 D.{0,1,2,3} 2.设z=1-2i 3 则z的虚部是() A B 5 c -i D 5 5 3.-组数据按从小到大的顺序排列为2,4，m,12,16,17,若该组数据的中位数是极差 则该组数据的第40百分位数是() A.4 B.5 C.6 D.9 4已知数列a,=sin(②m+ 2 一，若an+m=an,则正整数m的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知点P在描圆C:式+上-1上，C的左焦点为F,若袋段PF的中点在以原点O为 2516 圆心，OF为半径的圆上，则PF列的值为( A.1 B.2 c.5 D.4 6.已知a,6,是平面向量，仓是单位向量.若非零向量a与的夹角为，向量无满足 (仿-2)}=1，则a-的最小值是() A.√5+1 B.5-1 C.2 D.2-5 7.“阿啊基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面 围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示；将正方体沿同一顶点出发 的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三 角形、6个面为正方形的一种半正多面体.若AB=√2，则此半正多面体外接 球的表面积为() A.43π B,12π D.8π 高三数学试卷第1页共4页 a^“c"1.%。a &若话效f=咖x+x,且vxe[很小]/(a四)之心+以，则如的取值范强是() A.[L,+o) B. C.[e-l,+o) D.[e+1,+oo) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列命题中正确的命题是（) A.3xe(-o,0),使2"<3： B、若sina+cosa=l,则sina+cosa=1: C.己知a,b是实数，则“（与）”<（兮）"是“log,a>log,b"的必要不充分条件： sin D.若角a的终边在第一象限，则 2 的取值集合为{2，-2} a cos 10.若x,y满足x2+y2-y=1,则（) A.x+y≤1B.x+y2-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y221 11.已知抛物线C:y2=4x,设0为坐标原点，T(4,4),P(m,),过点P(m,n)作抛物 线C的两条切线，切点分别为A,B(异于点T),划下列结论正确的() A.若m=-1,△OAB可能为锐角三角形 B.若m=-1,点P在直线AB上的投影为定点 C.若m=-1,且直线AT,BT分别交x轴于点M,N,则|OM‖ON=4 D.若m=4,且直线AP,BP分别交y轴于点M,N,则|OM‖ON=4 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上 12已知y=如，二2+1川为奇函数，则实数：的值是 13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为9(g<0),若a=a,S,=3,则{a}的 公比9= 14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12)在研究统计规律时发 现的，其内容是：对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任 意正实数e,有P(X-E(X<e)2!-D根据该不等式可以对事件x-E(X)KG的概率 62 作出估计在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号”次，每次发 射信号“0和“1”是等可能的.记发射信号“1"的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使 发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内，估计信号发射次数”的值至少为 高三数学试卷第2页共4页 a“"1…%o¤ 可只 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△BC中，角A,B,C对应边分别是a,b,c.已知4，b,c成等差数列，且 2sin d=sin C. (I)求cos的值： (2若△4BC的外接圆半径为4 ,求△ABC的面积. 15 16.(15分)某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号： 1 2 3 5 6 保有量y(万辆) 1.8 2.7 5.9 9.2 “(1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提 下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率： (2)用函数模型y=ce血(C>0)对变量x,y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x 的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）. 参考数据：=35，刀=41，=91，立%=134： 设=1ny,T=1.16,】 24=31.89 参考公式：回归直线P=a+Bu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 空 2y-丽 一， a=v-Bu 2时-m2 17.(I5分)如图，平行六面体ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD是边长为2的菱形， AA=3,∠DAB=∠AAD=∠AAB=60° (1)求平行六面体ABCD-A,B,CD,的体积： (2)求平面D,BC与平面BCCB,夹角的余弦值 高三数学试卷第3页共4页 a^“6"1.%。a 18.a7分已知曲线C上的动点M满足M-M=4,且E(-√5,0，E(、5,0, (1)求C的方程： (2)已知A(-2,0),B(2,0),P为C.上的动点（点P与A不重合），直线BP和直线x=-1 交于点N,直线NA交C于点？. (i)求证：直线P2过定点： 设直线心的楼锅角为0，△MP2AMB的玉积分别为，S,当0c[店]时。 求兰款植范围 S2 19.(I7分)设函数f(x)=tanx-sinx-ax (1)求曲线f{x)在x=0处的切线方程： 2)若对任意x0引 都有f(x)20,求a的最大值： (3)已知数列{a,}满足：0a1=名+台：@4,4，物均大于0,4m0<0.设 1-aan b.=,+1 求证：么+8+…+hs> 4 附：P+2++m y 高三数学试卷第4页共4页 a^“"1.%。a2026届高考“ 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0. 1.己知集合A={yy=e},集合B={x∈Z小-2x-3<0},则AnB=() A.（-1,3) B.(0,3) C.{12} D.{0,1,2,3} 【答案】C 【详解】由A={yy=e}={y少>}， B={x∈Z孙r2-2x-3<0}={x∈Z1<x<3}={01,2},则AnB={1,2. 2.设2=日 则：的虚部是() 1-2i A月 1 B.- 5 C. n景 【答案】A -i -i(1+2i) -i-2i22i 【详解】2= 1-2i1-2i(1-21)1+2i)-1-4i255 则=2+ 55 ,所以三的虚部为 1 3.一组数据按从小到大的顺序排列为2,4，m,12,16,17,若该组数据的中位数是极差 的，则该组数据的第40百分位数是（ A.4 B.5 C.6 D.9 【答案】C 【详解】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2,4，，12,16,17， 则极差为17-215，放该组数据的中位数是15×=9 数据共6个，故中位数为m+12-9,解得m=6, 2 因为6×40%=2.4，所以该组数据的第40百分位数是第3个数6， 故选：C 4.已知数列4n=si （2n+1)π 若a+m=a,则正整数m的最小值为() 2 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】依题意，a,=sin(1m+。)=cosm, 而a+2=c0s(m+2元)=a,4+1=c0s(m+元)=-4，且4=-1≠0， 由a+m=a,得正整数m的最小值为2 5.已知点P在椭圆C:+上-1上，C的左焦点为F,若线段PF的中点 2516 在以原点O为圆心，O为半径的圆上，则PF的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】由已知得：a=5,b=4,c=√25-16=3， 设椭圆的右焦点为F,PF的中点为2，连接PF'和OQ(如图所示)， 因为2在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，所以OQ=OF=3, 又O为FF'的中点，Q为PF的中点，所以PF=2OQ=6, 由椭圆的定义知：PF=2a-PF=2×5-6=4. 6.已知a,6,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量ā与的夹角为死，向量万满足 (6-2e)=1,则a-的最小值是() A.√5+1 B.√5-1 C.2 D.2-V5 【答案】B 【详解】因为(6-2=1，所以6？-4e-6+3=0, (6-e(6-3)=0,所以 (石-)1（石-3范），如图，不妨设=(1,0)，则的终点在以(2,0) =3x 为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量ā与e的夹角为死，则a的 终点在不含端点O的两条射线y=士V3x(x>0)上.不妨以y=√5x 为例，则ā-的最小值是(2,0)到直线√3x-y=0的距离减1.即 25 -1=√万-1.故选：B -/30 √3+1 7.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面 围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿同一顶点出发 的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三 角形、6个面为正方形的一种半正多面体.若AB=√2，则此半正多面体外接 球的表面积为() A.4W3元 B.12π C.&2 3 D.8π 【答案】D 【详解】如图，在正方体EFGH-EG,H,中，分别取正方体、正方 形EGH1的中心O、O,连接EG,OO,OA,OA,,A,B分别为 EH1,HG的中点，则E,G=2AB=2W2,∴正方体的边长为EF=2, 故00=0A=1,可得0A=V002+0A2=√5 根据对称性可知：点O到该半正多面体的项点的距离相等，则该半正 多面体外接球的球心为O,半径R=OA=√2，故该半正多面体外接 球的表面积为S=4πR2=4π×(V2)=8r 故选：D g若商政f=dx+x.且x:店ea2e,则a的取在国是《） A.[1,+∞) C.e-1,+00) D.[e+l,+o) 【答案】C 【详1岁xee小ame+axa之e, 两边同乘x,得ax-Inax≥xe,em.hnax≥te” 令g(x)=xe",x∈(-l,+o),求导得g(x)=e+xe'>0,所以g(x)在x∈(（-l,+o)单 调递增，又因为anar≥e>0,且a>0,所以lnar>0: 所以g(nax)≥g(x),.nax≥x,即lna+lnx≥x,∴.na≥-lmx+x, 令=x-[尽e来号0-1 当x方()-1士0.()华调运减。 当x∈[L,e,H(x)=1-≥0，(x)单调递增 x4-le)-e-1e-1 e 所以hna(x)=e-1,lna≥e-l. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.下列命题中正确的命题是() A.3xe(-,0),使2*<3： B.若sina+c0sa=1,则sin4au+cos4u=1: C.己知a,b是实数，则“宁<（学°是log,a>loe,b的必要不充分条件： sin a 2 D.若角的终边在第一象限，则 的取值集合为2，-2} sin 【答案】BCD 【解】对于A中：当x<0时，孕>1，即2>3，所以A不正确： 对于B中：若sinu+cosa=1,则(sina+cos)2=1+2 sinacosa=1, 「sima=1 sina=0 所以2 sinacosa=0,可得 cosa=0或 osa=1'此时sin4a+cosa=1, 所以B正确： 对于C:由3°<°，可得a>0,又由lg:a>og:b,可得则a>b>0, 所以令<（兮~是1og,a>1g,b~的必要不充分条件，所以c正确： 对于D:由角a的终边在第一象限，可得号e(加+孕.ke乙， sin a 当k为偶数时， &在第一象限时，可得a 2 7=2 sin- cos 2/ 02 sin cos 当k为奇数时， 在第三象限时，可得 十 2 2 sin- cos sin a COS e 所以 2 2 sin2 的取值集合为{2，-2}，所以D正确。 cos 2 故选：BCD, 10.若x,y满足x2+y2-y=1,则() A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【答案】BC 【详解】因为ab≤ a+b)2 a2+b2 2 (a,b∈R),由x2+y2-y=1可变形为， 2 (+y)2-1=3y≤3+y 解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2,当且 (2 仅当x=y=1时，x+y=2,所以A错误，B正确： 由x+-w=1可变形为(2+y）-1=y< 2 -,解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=1 时取等号，所以C正确； 因为x+y2-w1变形可得x)+y=1,设x-，=os23 4 2y=sin0,所以 x=C0Sθ+- 方咖6，因此 x+r=cos26+3sn20+2s0c0s6=1+ 3 √3 sin2a- 3cos20 3 号刘9吾引喉斗所当x95时满起爷式，包是rr21个立 3 所以D错误.故选：BC. 11.已知抛物线C:y2=4x,设0为坐标原点，T(4,4),P(,刊，过点P(,m)作抛物 线C的两条切线，切点分别为A,B(异于点T),则下列结论正确的() A.若m=-1,△OAB可能为锐角三角形 B.若=-1，点P在直线AB上的投影为定点 C.若m=-1,且直线AT,BT分别交x轴于点M,N,则|OM‖ON上4 D.若m=-4,且直线AP,BP分别交y轴于点M,N,则OM‖ON=4 【答案】BCD 【详解1如图当y=2时，子 设A(,,,少)，则在点A处切线的斜率为k=召 2 故切线方程为y-出=二(x-x)，整理可得 y-y=2(x-x),因为y=4x,所以%=2(x+x), 同理可得点B处切线的切线方程为y,=2(x+x,), 因为点P(,n)在过点A的切线方程上，同时也在过点B的切线方程上， 所以过抛物线外一点P(,)的切点弦方程为y=2(x+m. 对于A,当m=-1时，得到14B:y=2x-2,过焦点F(L,0), 直线1B:四y=2x-2与抛物线C:y2=4x联立方程组可得y2-2y-4=0, 所以乃+y3=2,y1y3=-4, x6= （++ n+nby++1=-4n2n 4 2 4 +2+1=1, 此时OAOB=xx2+yy2=1-4=-3<0, 故△OAB为钝角三角形，故A错误； 对于B,因为k=-×2 =-1,故PF⊥AB, 2 n 故点P在直线AB上的投影为定点F,故B正确： 对于C, k如=当4片44 方-4上-4为+4： 4 故1x:4x-0y+4)y+4y=0, 令y=0，则M=-片，同理xw=-y3，故 OM‖ON=yy=4,故C正确： 对于D,当=-4时，设过P(-4,)作抛物线的切线方程为 x=ty-mn-4, 与抛物线方程y2=4x联立得y2-4y+4m+16=0, 由△=0，整理得t2-t-4=0,则t+t2=n,2=-4, 4 故1p:x=ty-t-4,令x=0,则yM=n+,同理可求w=n+ 故OM IION1 - 4,故D正确 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线 上 12已知y=血，2十1川为奇函数，则实数a的值是 【答案】4 【详解】由题意知0。+1=X+a-2 >0,得(x-2)(x+a-2)>0, x-2 x-2 令(x-2)(x+a-2)=0,解得x=2或x=2-a, 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以2+(2-a)=0,解得a=4,即y=n 4 +1 x-2 =I*+2 “x-2 令)-=h号其定义减为（心-22. )=x+2=n气=一（x),满足题意，故答案为：4 13.己知等比数列{a}的前n项和为Sn,公比为gq(q<0),若aG=4,S3=3,则{a}的 公比9= 【答案】-2 【详解】等比数列{a}中，44=a,又aG=4,所以44=a,而4≠0， 则4=1,4=q1,由S3=3,得1+q+q=3,而q<0,所以q=-2. 14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5~184.12)在研究统计规律时发 现的，其内容是：对于任一随机变量X,若其数学期望E()和方差D(X)均存在，则对任 意正实数e,有P(x-B(X<e)≥1-D根据该不等式可以对事件1x-E()Ke的概率 作出估计.在数字通信中，信号是由数字0和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发 射信号“0和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使 发射信号“1”的频率在区间(04,0.6内，估计信号发射次数n的值至少为 【答案】1250 【详解】由题意知X~B(,),所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n, 若04<X<0.6,则0,4n<x<0.6m,即-0.1n<x-0.5n<0,1m,即lx-0.5m<0.1, 由切比雪夫不等式P(X-0.5m<0,1m≥1-025n (01知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内， 则1-025≥0,98，解n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250. (0.1m 故答案为：1250 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C对应边分别是a,b,c.己知a,b,c成等差数列，且 2sinA=sinC (1)求cosA的值： (2)若△ABC的外接圆半径为41西 求△ABC的面积. 15 【答案】（山名 235 16 【详解】(1)因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c. 因为2sin4=simC,由正弦定理可得2a=c,将其代入2b=a+c,可得b=3 3a 由余弦定理可得cosA=b+c2-d +(2a)2-d21am 2 4 2bc 2+3 6a ×2a 8(5分) 2 (2)因为c0sA=8 77)2 ,且A∈(0，π)，所以sinA=V1-cos2A= 5- 8 V64 8 设△ABC的外接圆半径为R,则R=4 15 .(7分) 由正弦定理 a=2R可得a=2Rsin4=2×45x5-1,则c-2a=2b=3-3 sin A 15x8 22 以A4BC的面积S咖4了 22*2x453M53分) ×816 16.(15分)某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 5 6 保有量y(万辆) 1.8 2.7 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提 下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型y=ce应(c>0)对变量x,y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x 的回归方程（参数d的估计值精确到0.01） 参考数据：元=3.5，=4.1，】 x=91,2y=1134: i-1 设4=lm%,7=1.16, 4=3189 i1 参考公式：回归直线v=a+u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 兰4y=四 ∑4y-1m而 a=v-Bu > ∑242-m 【答案】(1)日 (2)y=e043x-035 【解析】(1)保有量大于3万辆的年份有第4,5,6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1,2,3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件A,2年保有量全都大于3万辆为事件B, 事件A的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有C=15 两年都不大于3万辆的选法为C=3,所以P(4)=1-3=4 155 两年都大于3万辆的选法为C=3,所以代1B)=5亏 31 1 则PBA=PU4B)-乏-1 P四44(7分) (2)已知模型y=ce(c>0),两边取对数得ny=nc+d, 令t=ny,则t=nc+k,即转化为线性回归方程=a+u, 其中a=lnc,B=d,v=t,由题意得n=6, 之-nm 则d=p= 31.89-6×3.5×1.167.53 ≈0.43， x-m 91-6×3.5217.5 i=1 a=v-pm=t-Px=1.16-0.43×3.5≈-0345≈-0.35， 因为a=1nc,所以c=e035,则y=e0e04x=ex-05.(15分) 17.(15分)如图，平行六面体ABCD-AB,CD1中，底面ABCD是边长为2的菱形， A4=3,∠DAB=∠AAD=∠AAB=60° D (1)求平行六面体ABCD-A,B,CD,的体积： B (2)求平面DBC与平面BCC1B,夹角的余弦值. 【答案】(1)65 eg 【解析】 (1)如图，过A作AH⊥平面ABCD,垂足为H, 因为AB,ADC平面ABCD,所以AH⊥AB,AH⊥AD 过H作HM⊥AB,HN⊥AD,垂足分别为M,N, 连接AM,AN,HM∩AH=H,HM,AHC平面AHM,所以AB⊥平面AHM, AMC平面AHM,所以AM⊥AB,同理得A,N⊥AD, 又∠AAD=∠AAB,AA为公共边，所以△AAM≌△AAN,所以A,M=AN, 又∠AM=∠AHN=90°，AH为公共边，所以 D RIAHM≌RtAA,HN, B 所以M=N,所以H在∠DAB的平分线上 又底面ABCD是菱形，所以H在AC上 cos o 又 AA AA 0OS-MAH=AM M B AH 所以co8∠AAH=cos<A4M=V ,所以AH=√3=AC,所以H为AC中点 cos∠MAH3 AH-AC-5,Aw=号4=3，所以4H-6, 菱形ABCD的面积为2W3,所以平行六面体ABCD-AB,C1D1的体积为6√2；(？分) (2)由(1)可得HA,HB,HA两两垂直，建系如图所示， 则A(5,0,0),B(01,0),D(0,-1,0),C(-5,0,0),A(0,0,V6) 所以A4=C℃=(V3,0,V6),CD=B4=(0,-1,V6),BC=(←V3,-1,0), 设平面BCD,的法向量为m=(,水，)，平面BCCB, 的法向量为i=(x,,2) B BA·m=0-片+V6z1=0 则 BC.m=0-V3x-4=0 取2，=1，则x=-√2，y=V6, 所以m=(-√2，√6,1)为平面BCD的一个法向量， CG=0J-3x+v6,=0 BC.=03x-y2=0 取5=1，则x=V2,为=-V6, 所以元=（√2，-√6,1）为平面BCC,B,的一个法向量， |77 设平面D,BC与平面BCC,B,所成角为0，则cos日= 13×3-9 所以平面D,BC与平面BCC,B所成角的余弦值为乙(15分) 187分)已知曲线C上的动点M满足M引-M=4,且E(-V5,0),E(W5,0): (1)求C的方程： (2)已知A(-2,0),B(2,0),P为C上的动点（点P与A不重合），直线BP和直线x=-1 交于点N,直线A交C于点Q. (i)求证：直线P2过定点： (i)设直线Pe的倾斜角为日，△4P2,△4PB的面积分别为S,S,当0∈ π5π 66 时，求 取值范围。 S, 【答案】(1) 等-y2-10x<o叭 (2)(i)证明见解析；(i)5-2√5,5+2√5 【解析】 (1)因为E(-V5,0),F(N5,0,可得|FE=2W5, 又因为MF-=4,可得MF-M=4<|EE=2V5, 由双曲线的定义，可得曲线C是以F(V5,0),F(V5,0)为焦点， 实轴长为2a=4的双曲线的左支，所以c=√5，a=2,则b2=c2-a2=1 所以双线C的方指为聋户-x<0)a分) (2)(i)设直线Pe的方程为x=y+t,且P(x,y),Q(x,y), x=my+t 联立方程组x2 y2=1’ 整理得(m2-4)y2+2y+t2-4=0(m2≠4)， 则△=16(m+f-4小>0且y+5=-2mm m24巧y= t2-4<0, m2-4 则当+业=-2m 为P-4,可得m%5 (2-4)(+y) -2t 直线BP:y三x2,令1，可得2，所以W奶 x-2 (x-2 又4N0三点共线，可得kmke,所以二3当：为 x-2x2+2 即3(x+2)+(x-2)=0,即3y(y+t+2)+2(+t-2)=0, 即4my+3(t+2)h+(t-2)y2=0, 所以4xC-45+）+3+2+-2)y=0, -2t 整理得(t+4)(t+2)片-(t-2)(t+4)为2=0恒成立，所以t=-4, 所以直线Pe方程为x=y-4,所以直线Pe过定点T(-4,0):(10分) m10知，+g1gm21<0.-21 8m 12 82水对s4塔片 又南+-五+2+216xm y33 3m2-4 1 令2=兰，则2<0，且元+1+2= 16m2 y 3m2-41 因为直线2的0∈厂匹，5m] L6'6 可得m∈[-V5,v5,则m∈[0,3列， 所以 1m43小02++2e16,0 =1+ 4 m2-4 「22+18+1≤0 所以 22+22+1≥0 解得-9-4W5≤≤-9+45， 是--2-5-a 19.(17分)设函数f(x)=anx-sinx-ax3 (1)求曲线f(x)在x=0处的切线方程： (2)若对任意x∈ π 0 2 都有f(x)≥0，求u的最大值； (3)已知数列{a}满足：①0+1= 41+a 1-a4 ;②41,4，，ag99均大于0,400<0.设 马，求证：五+b,++bs 、π3 4 附：13+23+…+n2= n(n+1) 2 【答案】(1)y=0 (2)月 (3)证明过程见解析 【解析】 (1)f(0)=tan0-sin0-0=0,f(x)= sinx -sinx-ax', COSx f(x)=cos'x+sin'x -cos x-3ax2, cos2x -c08x-3ar2= cos2x 数0e0cos0-0=1-1=01 故曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=0；(4分) (2)对任意x∈ ,都有fx)≥0，其中f(0)=0,f(0)=0, 令()=f(x)=1 cos2x -cosx-3ar2,则g'(x)= 2sin+sinx-6cg)=0. cos3x 令h(x)=g'(x)= 2sin x+sinx-6x, COs'x 则mx)2+4sinx+co8r-6a,其中i(0)=2+1-6a=3-6a, COSx 令1(0)≥20，即3-6a20,解得a≤) 下面证明a≤行时，f20在xe0 上恒成立， 2 1 f(x)=tanx-sinx-ax2≥tanx--sinx-x3, 令g(x)=tanx-sinr-x, x xE 注意到q(0)=0, 2 则q(x)=1 s-COSx-。x,注意到q(0)=0 2 令w(x)=q(x),则w(x) 2sinx+sinx-3x,注意到w(0)=0, cos3x 令r(四)=w(),则r(x)=6m+ 2 +c0sx-3, cosx cos2x 只中0色引相成之1=coE0,w回=产1-3 cosx 故-+1-片0，故ue)=子1-3e@卡单成 其中u(1)=2+1-3=0,故u(t)>0在t∈(0,1)上恒成立， 故ozmx-3>0在r 上恒成立， cos2x 故(x)= 6sin'x 2 -+c0sx-3>0在x∈0， 2 上恒成立， 故r()=w(x)在xC(0,2 上单调递增， 收w()w0-0.收w广g在x(0到 上单调递增， g(x)>g(0)=0,g(x)=tanx-sinx-- r在e0 上单调递增， g)>g(0)=0,故f)≥4()>0，所以a≤左a的最大值为：（0分) (3)令a4,=tana,则a1=tan,ant1=tano+1, a,4as均大于0设2，aa0 因为a1=a -,1≤n≤2025， tan%+tan c=tan(a+ax,1≤n≤2025， 所以tan d.+l=1-tanc4,tan, 显然a4+,∈0，乃 1≤n≤2025，若4+%，∈5,1≤n≤2025，上武不成立， 由于y=tanx在x∈0， 上单调递增，故0C+1=0必1+0,0+1-，=%1,1≤n≤2025， 2 故{}为等差数列，首项和公差均为o,故c,=a%+(n-1)a%,=n0,1≤n≤2025， 故an=tan na,1≤n≤2025， Ba=a- a=tan na tan na va +1 =tann01-sin101,1≤n≤2025 √tan2noy,+l 由2)知，mg-sma>引a广.所以6，>a户.1sns2025 瓦b as>aj+aj广20a5a-t+2++202列) 132025×2026 2 因为9g>0,410<0,所以tan9999c%1>0,tan10000a<0, 所以9999a<7,10000a> 2’20000 <C1< 2 19998 所以+b,++bs>220000 1元3 2025×20262元2(2025×2026) 2 4 2×200003 其中(2025×2026)、(2000×2000)_1.6×10 2×200003 1.6×1013 1.6x105=1, 所以6+++bs>子（7分 4