天津市天津中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学校考

2025-2026学年第二学期天津中学高二年级期中阶段性检测 数学试卷 一、单选题（共10题，每题5分，共50分） 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设m，n为非零实数，则“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 4．已知，，且X和Y的分布密度曲线如图所示，则（ ） A． B． C． D． 5．统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数k如下表所示． （） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关 B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关 C．有95%的把握认为A与B有关 D．有99%的把握认为A与B有关 6．若随机变量X满足，且，则（ ） A． B．10 C．3 D．11 7．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 8．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数在R上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 10．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 二、填空题（共5题，每题5分，共25分） 11．已知，，若，则实数a的取值范围是_______． 12．已知，，则的取值范围为_______． 13．的展开式中含的项为_______． 14．有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为_______． 15．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 三、解答题（共5题，共75分） 16．（14分）．已知展开式中前三项的二项式系数和为46． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项． 17．（15分）．某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立．现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量X． （1）求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； （2）求X的分布列与数学期望． 18．（15分）．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 19．（15分）．设函数在及时取得极值． （1）求出a，b的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 20．（16分）．已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的图像上存在两点，（），使得曲线在A，B两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年第二学期天津中学高二年级期中阶段性检测数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C C C B D B A 11． 12． 13． 14．108 15．6 16．（1）9 （2）144 （3） 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出r，再代入通项计算可得． 【详解】（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为46， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； （2）因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为144； （3）设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为． 17．（1） （2） X 0 1 2 3 4 5 P ． 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果． （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望． 【详解】（1）设事件A：第二次识别成功；事件B：5次中恰有3次识别成功． 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功． 所以． 因为，所以． （2）由题意，得，且X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， 则， ， ， ， ， ． 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P ． 18．（1）25 （2） 【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， ∴这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． （2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 19．（1）， （2） 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以，是方程的两个根， 由韦达定理：，解得，． 将，代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以，． （2）由，，得，， 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为． 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以c的取值范围是． 20．（1） （2）当时，在，上单调递增，在上单调递减． 当时，在上单调递增． 当时，在，上单调递增，在上单调递减． （3） 【详解】（1）函数，定义域为，． 当时，．求导得． 代入，，． 切线斜率为0，切线方程为． （2）求导得． 令，得或（） ①当时：时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增． ②当时：，在上单调递增． ③当时：时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增． 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减． 当时，在上单调递增． 当时，在，上单调递增，在上单调递减． （3）由题意，A，B处切线平行，故． 即，整理得， 即，因，故． 又中点在上，故，即． 于是，是方程的两个根．题干等价于二次方程有两个不等的正根． 所以满足条件：解得． 故a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $