山东省临沂市沂水县2025-2026学年九年级二轮考试考试数学试题

九年级阶段性作业 数学 2026.05 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各数中比-3小的数是（ ） A．-4 B．-2 C．-1 D．3 2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写，一皮秒仅相当于一万亿分之一秒，400皮秒用科学记数法表示为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A． B． C． D． 6．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 7．如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（ ） A．4300~4399元 B．4400~4499元 C．4500~4599元 D．4600~4699元 8．将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（ ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 9．如图，直线，直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A． B． C． D． 10．同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地，甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是（ ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距220 km C．甲车的速度是70 km/h D．乙车中途休息36分钟 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是___________． 12．关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是___________． 13．若，则的值为___________． 14．如图1，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长当时，有最小值4：如图2，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；…；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为___________． 15．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（本题满分8分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17．（本题满分8分）如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求（1）中所作的正方形的边长． 18．（本题满分8分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转，边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 19．（本题满分8分）甲、乙两人是新华初级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加兴趣小组活动的测试成绩及当地近五年数学综合素养展示的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是，；方差分别是，． 信息二：当地近五年数学综合素养展示获奖分数线（单位：分） 年份 2021 2022 2023 2024 2025 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年数学综合素养展示获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加数学综合素养展示，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 20．（本题满分10分）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知=28 m，=21 m，该地冬至正午太阳光线与平行于地面的直线的夹角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？（参考数据：，，．结果保留小数点后一位） 21．（本题满分10分）如图1，是的对称中心，与相切于点． （1）求证：直线是的切线． （2）当与相切于点时，如图2，是菱形吗？说明理由． 22．（本题满分11分）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当，时，若点坐标为（2，0），求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由： （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，(1，1)，，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线在同一平面内） 23．（本题满分12分）已知，点，分别在射线，上，以为边向外作，使，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）当点在内部时， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为取值范围内的任意角度，作，交射线于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学单元作业参考答案与评分标准2026.05 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.A.2.C.3.B.4.D.5.C.6.A.7.C.8.D.9.B.10.A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.方程有两个不相等的实数根.12.x≥3.13.1.14.4√n.15.213. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(本题满分8分)》 解：(1)1-3引+V27+(1-2sin30°. 1 =3+3V3+2-2× 3分 =3+3V3+2-1 =4+35. .4分 (2)+1+2)+a-」 a a =a2+1+2a a a (a+1)(a-1) =(a+1)2 a (a+1)(a-1) 2分 =a+1 a-1 …小4 3分 当a=2时，原式=2+1=3 -2-11 4分 17.(本题满分8分) 解：(1)正方形EFGH即为所求； G ……4分 (2),四边形ABCD是矩形，：∠A=90°， :BD=VAB2+AD2=V22+42=2V5.0B=0D=V5. tan∠ADB=4g=OE，AOE=5 AD OD 7分 第1页（共6页） 四边形EFGH是正方形， .OF=On =5 E010H.EH=20E=i@ ·正方形EFGH的边长为 2 8分 18.(本题满分8分) 解：(1)含45°角的三角板0AC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比例函数y=《x>0)的图象经过点 C, 4 k=2×2=4..反比例函数的表达式为：y=;3分 (2)C(2,2),C02=22+22=8. ,含45°角的三角板0AC为等腰直角三角形，∠AC0=90°， AC=C0A0=VC02AC2=4. 如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点， .0E=0A=4. D :D的对应点G在y=4的图象上，y。=1.:EG=1. F G 由旋转可得：AD=GE=1,D(-1,4).8分 E x 19.(本题满分8分) 解：(1)由题意得： ℃8=[，S8-Z6)+《S8-L8)+48-9)×乙+S8-s8+S8-p8+S8-8x7+.S8-8xX9=D 两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定；3分 (2)选甲更合适，理由如下： 因为当地近五年数学综合素养展示获奖分数的平均数为： 90+89+90+89+90=89.6,在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6， 所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适；…6分 (3)选甲更合适，理由如下： 因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以 选甲更合话.8分 20.(本题满分10分) 解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E, 第2页（共6页） C --- A.-.E 心y B D 1分 结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90°， :BD=28m,CD=21m, .AE=BD=28m,AB=DE.3分 :∠CAE=a=35°， .在Rt△ACE中，CE=AE.tana=28×0.7=19.6(m). .AB=DE=CD-CE=21-19.6=1.4(m）.5分 任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q,BQ,AE交于点T, 过Q作QK⊥BD于K, 住宅楼 A B D K …7分 ∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°，四边形CDKQ为矩形 .CD=QK=2l(m）..8分 OK 21 .在Rt△BKO中，BK= =30(m), tan∠OBK tan35o .DK=30-28=2(m): .该活动中心移动了2米 10分 21.(本题满分10分) (1)证明：如图，连接BD,OE,延长E0交AD与F, :O是ABCD的中心，BD过点O,OB=OD. :AD //BC,:ZODF =Z0BE ZDFO ZBEO △D0F≌△B0E(AAS).0F=0E.3分 :BC与⊙O相切于点E,.OE⊥BC.OF⊥AD. 直线AD是⊙O的切线。 5分 (2)解：如图，口ABCD是菱形，理由如下： 连接OH,OE,BD, 第3页（共6页） 点O是口ABCD的中心，BD过点O. :BC与⊙0相切于E,:OH⊥AB,OE⊥BC. :OH=OE,.BD平分∠ABC·LABD=LCBD. 8分 ,四边形ABCD是平行四边形，：AD11BC,·LCBD=LADB· ∠ABD=∠ADB.AB=AD. 四边形ABCD是平行四边形，。ABCD是菱形. 10分 图1 图2 22.(本题满分11分) 解：(1)当a=,b=号时，C:y=-x+)x+c 2 2 2 2 点F坐标为2,0,0=-号x2+)×2+c.ic=1. 2 2 1 1 .抛物线G的表达式为y=-。x2+。x+1; 3分 2 2 (2)不能，理由如下： :FG=4,点F坐标为(2,0)，.G6,0) Gy=-2-0=r+g号 5 点A的坐标为(4.5,0)，AB=1,B(5.5,0), 将r=55代入y=-x2+8x-2=035<0.5. 5 55 二.此时石块沿抛物线C,运动时不能越过障碍物；6分 3四边形MNP0是正方形，M,N0,),Q, P1,,如图所示， 第4页（共6页） y 2 Q P 1 -2-1 -1 抛物线开口向下，.a<0. ∴a越小开口越小，a越大开口越大. 7分 点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）， ∴.由图象可得，当抛物线顶点为点M,且经过 点(4,0)时，开口最大，此时a最大 4设G的表达式为y=a-分+1. 将(4,0)代入得，0=a4-分+1 解得a=-4 49 9分 由图象可得，当抛物线顶点为点P,且经过点 (3,0)时，开口最小，此时a最小 设G的表达式为y=ax-y+3 2 将6,0)代入得，0=a3-1}+3 解得a=-3 8 8sas、4 ·a的取值范围为- 49 11分 23.(本题满分12分) (1)证明：如图1，CD⊥OM ∴.∠MON+∠ODC=90°，∠BCD+∠OCB=90°. 又：∠MON=∠OCB,.OB=BC,∠BCD=∠ODC. .BC=BD.点B是OD的中点. 3分 (2)证明：如图2，：∠AOB=∠ABC=∠ACB=30°， .∠BAC=120°，∠BDC=60°. 4 第5页（共6页） 分 连接AD,过A作AP⊥ON于P, .∠PAQ=120°.∴.∠BAP=∠CAQ. 又.DC⊥OM于Q,.△APB≌△CAQ.6分 AP=AQ,∠ABP=∠ACQ ∴.∠PDA=∠CDA,∠ABO=∠ACD. .∠AOB=∠ADC·△AOB≌△ADC. 0B=CD,8分 808-0e 证明：如图3，在DE上取DE的中点F以及另一点G, 连接CF,CG,使CG=CF. ,CE∥OM,CD⊥OM,EC⊥CD. ACG=C℉=DE,11t分 连接AG,同(2)一样证明△AOB≌△AGC. ÷0B=CG,÷OB=DE. .12分 D D W G B P E B B Q A M 图1 图2 图3 第6页（共6页）