专题23.5实际问题与一次函数5大题型专项突破（期末复习讲义）2025-2026学年人教版数学 八年级下册

专题23.5 实际问题与一次函数 【5大题型专项突破】 【题型1 最大利润问题】............................................................................................................................1 【题型2 行程问题】....................................................................................................................................4 【题型3 分配方案问题】..........................................................................................................................14 【题型4 梯度计价问题】..........................................................................................................................18 【题型5 其他问题】..................................................................................................................................21 题型1 最大利润问题 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价． (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 【答案】(1)型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； (2)元． 【分析】（）设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先求出，然后根据题意得，最后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元， 根据题意，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； （2）解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为（元）． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）河南非遗文化底蕴深厚，朱仙镇木版年画、淮阳泥泥狗等文创产品深受游客喜爱．某文旅商店购进A，B两款河南非遗文创产品共100套售卖，已知购进4套A款文创产品和5套B款文创产品共需310元，购进6套A款文创产品和8套B款文创产品共需480元． (1)求A，B两款文创产品购进时的单价． (2)设购进A款文创产品套，购进A，B两款文创产品的总花费为元，求与之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A款文创产品的售价为52元/套，B款文创产品的售价为40元/套．该商家计划购进A，B两款文创产品所花的总费用不超过3600元，要使A，B两款文创产品全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A款文创产品购进的单价为40元，B款文创产品购进的单价为30元 (2) (3)购进A款文创产品60套、B款文创产品40套可使商家获得最大利润，最大利润是1120元 【分析】（1）设款文创产品购进的单价为元，款文创产品购进的单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）：设购进款文创产品套，则购进款文创产品套，根据题意，列出函数关系式，即可求解； （3）求出x的取值范围，设商家获得的利润是元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设款文创产品购进的单价为元，款文创产品购进的单价为元，根据题意，得 ， 解得 答：A款文创产品购进的单价为40元，B款文创产品购进的单价为30元． （2）解：设购进款文创产品套，则购进款文创产品套． 根据题意，得． 答：与之间的函数关系式为． （3）解：根据题意，得， 解得． ， ， 设商家获得的利润是元，则． ， 随的增大而增大． ． 当时，的值最大，最大值为， ． 答：购进A款文创产品60套、B款文创产品40套可使商家获得最大利润，最大利润是1120元． 【变式1-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】(1)一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元 (2)面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 【变式1-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每个A款纪念品售价为120元，每个B款纪念品售价为80元 (2)购进A款纪念品200个时，该商店销售利润最大，最大利润为17600元 【分析】（）设两个未知数，根据题干给出的两种售价总和的条件，列出二元一次方程组求解即可； （）设购进A款纪念品的数量，根据单利润乘以数量得到总利润，整理出总利润关于A款数量的一次函数，再根据题干给出的数量关系和总价限制列出不等式组，得到自变量的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应的购进数． 【详解】（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元， 根据题意可得解得 答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元； （2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个， ∴降价后A款纪念品的售价为（元）， 每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元） ∴总利润； 根据题意列不等式组得解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元． 【变式1-4】（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 题型2 行程问题 【例2-1】（25-26八年级下·广东广州·期中）小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【答案】(1)2 (2) (3)在分钟时，速度最快，速度是 【分析】本题考查一次函数的实际应用和一次函数与图形之间的关系．通过读题显然得知，小方同学在分钟时想起要带报纸开始折返，在分钟时到达报刊亭，在分钟时继续往学校走，在分钟时到达学校． 【详解】（1）解：小方在报刊亭停留时间是：． （2）解：小方行驶的路程是：． （3）解：小方在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； , 在分钟时，速度最快，速度是． 【例2-2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从地出发前往相距的地，行驶过程中所行路程分别用，（单位：）表示，它们与行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． (1)分别求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)分别求行驶了及时，两车之间相距的路程． 【答案】(1)； (2)分别求行驶了及时，两车之间相距的路程为、 【分析】（1）设甲车函数表达式为，乙车函数表达式为，再根据题意求解即可； （2）分别求出当行驶了及的甲、乙两辆汽车的路程即可． 【详解】（1）解：由图可得，两车均从A地出发，路程与时间成正比例关系， 设甲车函数表达式为，乙车函数表达式为， 由图可知，甲车60分钟行驶， ∴将点代入， 解得， ∴甲车的函数表达式为， 由图可知，乙车100分钟行驶， ∴将点代入， 解得， ∴乙车的函数表达式为； （2）解：当行驶时， 此时， ∴两车均在行驶中， ∴甲车路程：；乙车路程：， ∴两车距离：； 当行驶时 此时，甲车已到达B地，路程保持不变， ∴甲车路程：；乙车路程：， ∴两车距离：． 【变式2-1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 【变式2-2】（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）的函数关系如图，下列结论：①，②，③中，正确的是______． 【答案】①② 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一次函数的应用；分析图象可知：甲、乙两人的距离先从米开始，到秒时减少为米，又到秒时甲、乙两人的距离达到最大，之后到秒时减少为米，据此可先求出甲、乙两人的速度，在乙出发后开始追甲，追上甲时两人的距离第一次为米，可求出，当乙追上甲后，两人的距离开始逐渐增大，乙到达终点时两人的距离达到最大，可求出，乙到达终点时原地休息，甲继续跑，两人之间的距离就在不断减小，当甲也到达终点时，第二次为米，可求出． 【详解】解：观察函数关系图可知：甲、乙两人的距离先从米开始，到秒时减少为米，又到秒时甲、乙两人的距离达到最大，之后到秒时减少为米， ∵甲先出发2秒， ∴在乙出发后，甲、乙两人的距离就等于甲先跑步的路程，即是甲2秒的路程， ∴甲的速度为米/秒， ∵到秒时甲、乙两人的距离达到最大， ∴到秒时乙到达了终点， ∴乙的速度为米/秒， ∴在乙出发后开始追甲，追上甲时两人的距离第一次为米， ∴秒 故①正确； ∵当乙追上甲后，两人的距离开始逐渐增大，乙到达终点时两人的距离达到最大， ∴米， 故②正确； ∵乙到达终点时原地休息，甲继续跑，两人之间的距离就在不断减小，当甲也到达终点时，第二次为米， ∴秒， 故③错误； 综上：①②正确． 【变式2-3】（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 【答案】(1) (2)80米/分 (3)510米 【分析】（1）运用待定系数法即可解答； （2）首先求出甲的速度，然后求出相遇时行走的路程，然后求解即可； （3）求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得：点，， 设线段的表达式的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴线段的表达式为； （2）解：甲的速度为（米/分）， 相遇时行走的路程为（米）， ∵甲先出发4分钟， ∴相遇时乙行走的时间为（分） ∴乙的步行速度为（米/分）， （3）解：由（2）得：相遇时行走的路程960米， ∴与终点的距离为米， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：分， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：分， ∴乙比甲早分钟到达终点， ∴乙到达终点时，甲离终点还有米． 【变式2-4】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求A，B两地之间的距离及a的值； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 【答案】(1)A，B两地之间的距离是60千米，； (2) (3)货车出发小时两车第一次相距15千米 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货物耗时15分钟， ∴； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得； 货车出发小时两车第一次相距15千米． 【变式2-5】（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【答案】(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【分析】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 题型3 分配方案问题 【例3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． (1)若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； (2)该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 【答案】(1) ， (2) 当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 【分析】（1）根据甲、乙旅行社的优惠条件列出函数关系式； （2）分三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：甲旅行社支付的费用是， 乙旅行社支付的费用是； （2）解：当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 【变式3-2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）为亲近大自然，体验采摘乐趣，莉莉和爸爸、妈妈一家三口打算利用周末去某草莓采摘园摘草莓（三人全部参与采摘）．当天草莓的单价为每千克20元，为满足客户需求，该采摘园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买门票，门票单价为10元／人，采摘的草莓按原价的六折收费． 乙方案：游客进园不需购买门票，如果采摘的草莓不超过5千克，则按原价收费：若超过5千克，则超过部分按原价的五折收费．设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过5千克时，分别求出，关于的函数表达式． (2)若采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙方案更划算，理由见详解 【分析】（1）理解题意，结合甲乙两种不同的销售方案以及草莓的单价为每千克20元进行列式表示，即可作答． （2）理解题意，结合采摘量为15千克，算出，的值，再比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：∵采摘量为千克，且采摘量超过5千克， 依题意，， ； （2）解：乙方案更划算，理由如下： 由（1）得，， 依题意，当时，则，， ∵， ∴， 即乙方案更划算． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【分析】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 题型4 梯度计价问题 【例4】（25-26八年级下·福建南平·期中）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【详解】解：大于千克，单价为元， 数量为千克， ． 【变式4-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 【变式4-3】（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 题型5 其他问题 【例5】（25-26八年级下·河南周口·期中）一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当加入稀盐酸的质量超过时，产生的气体不变，故A错误； B．当加入的稀盐酸时，产生气体，故B错误； C．设当加入稀盐酸质量小于时，产生气体质量关于加入的稀盐酸质量之间的函数解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即m的值为，故C正确； D．把代入得：， 解得：， 即产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为，故D错误． 【变式5-1】（25-26八年级下·内蒙古·期中）最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 【答案】63 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入计算可得的值． 【详解】解：根据表格中的数据可得当质量增加时，总金额增加15元，因此y是x的一次函数， 设，将，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为， 将代入得． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 0 15 30 45 60 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象； (2)直接写出关于的函数解析式； (3)请你估算第40分钟测量时容器的盛水量是多少毫升？ 【答案】(1)见解析 (2)； (3)第40分钟测量时容器的盛水量是毫升． 【分析】（1）描点、连线，画出函数图象即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：描点、连线，函数图象如图： （2）解：由（1）的图象知，该函数是一次函数， 设一次函数解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：当时，， 答：第40分钟测量时容器的盛水量是毫升． 【变式5-3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数（厘米） 4 12 20 28 36    【探索发现】 (1)建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点．观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是___________（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）． (2)【结论应用】应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米）． 【答案】(1)图见解析，一次函数， (2)①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米；②当箭尺读数厘米时是下午 【分析】（1）直接建立平面直角坐标系，再描点即可；根据图象特征判断对应的函数类型，并用待定系数法求其函数表达式即可； （2）①将代入中，求出对应的值即可； ②将代入中，求出对应的值，再根据本次实验记录的开始时间，计算当箭尺读数为厘米时是几点钟即可． 【详解】（1）解：描点如下图所示： 由题意和图象可知，这个函数的类型最有可能是一次函数． 设，（）， 分别将和代入得， ， 解得，， ． （2）解：①当时，． 答：供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米． ②当时，即， 解得，． 本次实验记录的开始时间是上午，且， 当箭尺读数为厘米时是，即下午． 答：当箭尺读数为厘米时是下午． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.5 实际问题与一次函数 【5大题型专项突破】 【题型1 最大利润问题】............................................................................................................................1 【题型2 行程问题】....................................................................................................................................3 【题型3 分配方案问题】............................................................................................................................6 【题型4 梯度计价问题】............................................................................................................................7 【题型5 其他问题】....................................................................................................................................8 题型1 最大利润问题 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价． (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）河南非遗文化底蕴深厚，朱仙镇木版年画、淮阳泥泥狗等文创产品深受游客喜爱．某文旅商店购进A，B两款河南非遗文创产品共100套售卖，已知购进4套A款文创产品和5套B款文创产品共需310元，购进6套A款文创产品和8套B款文创产品共需480元． (1)求A，B两款文创产品购进时的单价． (2)设购进A款文创产品套，购进A，B两款文创产品的总花费为元，求与之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A款文创产品的售价为52元/套，B款文创产品的售价为40元/套．该商家计划购进A，B两款文创产品所花的总费用不超过3600元，要使A，B两款文创产品全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【变式1-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【变式1-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【变式1-4】（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 题型2 行程问题 【例2-1】（25-26八年级下·广东广州·期中）小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【例2-2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从地出发前往相距的地，行驶过程中所行路程分别用，（单位：）表示，它们与行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． (1)分别求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)分别求行驶了及时，两车之间相距的路程． 【变式2-1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【变式2-2】（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）的函数关系如图，下列结论：①，②，③中，正确的是______． 【变式2-3】（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 【变式2-4】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求A，B两地之间的距离及a的值； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 【变式2-5】（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2) 求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 题型3 分配方案问题 【例3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． (1)若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； (2)该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【变式3-2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）为亲近大自然，体验采摘乐趣，莉莉和爸爸、妈妈一家三口打算利用周末去某草莓采摘园摘草莓（三人全部参与采摘）．当天草莓的单价为每千克20元，为满足客户需求，该采摘园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买门票，门票单价为10元／人，采摘的草莓按原价的六折收费． 乙方案：游客进园不需购买门票，如果采摘的草莓不超过5千克，则按原价收费：若超过5千克，则超过部分按原价的五折收费．设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过5千克时，分别求出，关于的函数表达式． (2)若采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 题型4 梯度计价问题 【例4】（25-26八年级下·福建南平·期中）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【变式4-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【变式4-3】（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 题型5 其他问题 【例5】（25-26八年级下·河南周口·期中）一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 【变式5-1】（25-26八年级下·内蒙古·期中）最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 【变式5-2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 0 15 30 45 60 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象； (2)直接写出关于的函数解析式； (3)请你估算第40分钟测量时容器的盛水量是多少毫升？ 【变式5-3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数（厘米） 4 12 20 28 36    【探索发现】 (1)建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点．观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是___________（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）． (2)【结论应用】应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $