2026年山东省青岛市崂山区育才学校中考数学二模试卷

**基本信息** 2026年青岛崂山区育才学校中考数学二模卷，以科技（北斗芯片）、文化（《九章算术》“堑堵”）、生活（体育测试、机器人销售）为情境，通过基础题（实数、图形性质）、综合题（动态几何、函数应用）、探究题（算术与几何平均数）梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、视图、圆、坐标变换|第3题“堑堵”主视图渗透文化传承，第9题位似变换考查空间观念| |填空题|6/18|统计、黄金分割、反比例函数|第12题乐器弦黄金分割联系生活，第14题菱形旋转体现几何直观| |解答题|9/68|函数应用、动态几何、数学建模|24题机器人销售结合一次函数与二次函数，培养模型意识；26题动态几何探究运动中的数量关系，发展推理能力|

2026年山东省青岛市崂山区育才学校中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形、又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即工艺芯片已实现规模化应用．用科学记数法表示0.000000022正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）一次函数和二次函数，，是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△位于第四象限，点的坐标是，把△向左平移5个单位长度得到△，再将△绕点按顺时针方向旋转，得到△，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为位似中心，位似比为2，将△放大，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 10．（3分）如图，四边形是边长为4的正方形，取边的中点，连接，将△沿折得到△，延长交边于点，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．（3分）甲、乙两名射击运动员10次射击成绩折线图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选　　 ． 12．（3分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则，两点之间的距离为　　 ． 13．（3分）如图，边长为2的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为　　 ． 14．（3分）如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时点的坐标为　　 ． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若△的面积为，则　　 ． 16．（3分）如图，正方形边长为6，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　 ． 三、作图题（本大题满分4分） 17．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知四边形，在边上求作一点，在边上求作一点，在边边上求作一点，使四边形为菱形． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18．（8分）（1）． （2）化简：． 19．（6分）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，，裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　　 ； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 20．（6分）我校为了更好地开展学生体育活动，组织九年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理分为五组，下面给出了部分信息： ．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下 组别 成绩分 人数（频数） 1 5 16 20 ．组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）统计表中的　　 ，扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为　　 度； （2）抽取的九年级学生体育测试成绩的中位数为　　 分； （3）若该校九年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校九年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 21．（6分）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据： 22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数为常数，且的图象相交于点和点，点的横坐标为2，点的纵坐标为1． （1）求和的值； （2）将该一次函数的图象向下平移3个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求△的面积． 23．（8分）已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：△△； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 24．（10分）根据以下素材解决问题 素材1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造4台甲型机器人、3台乙型机器人，总花费53万元；制造5台甲型机器人、2台乙型机器人、总花费54万元． 素材2 两种型号机器人的总销售量（台与甲型机器人每台销售单价（万元台）之间的关系如表所示： 甲型机器人每台销售单价（万元台） 10 13 16 19 两种型号机器人的总销售量（台 340 280 220 160 根据以上信息解决下列问题： （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于240台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 25．（8分）根据要求解决问题： （1）【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的　　 ； ②根据表格，猜想　　 （比较大小）． （2）【理解应用】 ①已知，，当　　 时，代数式取得最大值是　　 ； ②如图，已知，在△中，，，则△周长的最大值为　　 ． 26．（10分）如图1，在△中，，，，在△中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿运动；同时△沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，△也停止运动．连接，，．设运动时间为． （1）为何值时，？ （2）设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； （3）若，求出的值． 2026年山东省青岛市崂山区育才学校中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C B B B C C B 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， ， 则，，，， 显然只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形、又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：、中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故、不符合题意； 、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 、此图形既是轴对称图形、又是中心对称图形，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形，关键是掌握中心对称图形和轴对称图形的定义． 3．（3分）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可． 【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：． 故选：． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是关键． 4．（3分）北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即工艺芯片已实现规模化应用．用科学记数法表示0.000000022正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：， 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘运算法则以及完全平方公式，逐项分析判断即可． 【解答】解：根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘运算法则以及完全平方公式逐项分析判断如下： ．，故运算错误，不符合题意； ．，运算正确，符合题意； ．，故运算错误，不符合题意； ．，故运算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了整式的混合运算．完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 6．（3分）一次函数和二次函数，，是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负；结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【解答】解：根据一次函数图象与系数的关系，逐项分析二次函数图象与系数关系再判断如下： ：一次函数，，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数关系、二次函数图象与系数关系，熟练掌握以上知识点是关键． 7．（3分）如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由弦、相交于点，得，，而，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：在中，弦、相交于点， ，， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，是解题的关键． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△位于第四象限，点的坐标是，把△向左平移5个单位长度得到△，再将△绕点按顺时针方向旋转，得到△，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，画出△的位置，据此可解决问题． 【解答】解：如图所示， ， 所以变换后所得点的坐标是． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化旋转及坐标与图形变化平移，能根据题意画出变换后点的位置是解题的关键． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为位似中心，位似比为2，将△放大，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，由此可解． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知点，，以点为位似中心，位似比为2，则： 点的对应点的坐标为或，，即或． 故选：． 【点评】本题考查位似变换，正确进行计算是解题关键． 10．（3分）如图，四边形是边长为4的正方形，取边的中点，连接，将△沿折得到△，延长交边于点，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明△△，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【解答】解：连接， 四边形是正方形， ，， 是中点， ， 由折叠性质可知：，，， ， ， △△， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ，解得， ， 的长为3， 故选：． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．（3分）甲、乙两名射击运动员10次射击成绩折线图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选　乙　 ． 【答案】乙． 【分析】根据统计图给出的数据可得出乙运动员的成绩波动较小，再根据方差的意义即可求解． 【解答】解：根据统计图可得出乙运动员的成绩波动较小，所以乙的方差较小，成绩稳定． 故答案为：乙． 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 12．（3分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则，两点之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点是靠近点的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 13．（3分）如图，边长为2的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】． 【分析】连接、，过作于，根据正方形的性质得出，根据等边三角形的判定得出△是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，分别求出扇形和△的面积即可． 【解答】解：连接、，过作于， 正方形的边长为2， ， 分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点， ， 即△是等边三角形， ，，， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的性质和判定，扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 14．（3分）如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时点的坐标为， ． 【答案】，． 【分析】先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2026次旋转结束时，点在第三象限，和原来的点关于原点对称，即可得出结论． 【解答】解：将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ， 旋转4次后回到原来的位置， 又， 第2026次旋转结束时，点在第三象限，和原来的点关于原点对称， 第2026次旋转结束时点的坐标为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及点的坐标等知识，熟练掌握菱形的性质，找出旋转规律是解题的关键． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若△的面积为，则 ． 【答案】． 【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出△的面积，设，进而得到，根据等面积法列方程求解即可． 【解答】解：由条件可知△的面积为， 设， 为线段的中点， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 16．（3分）如图，正方形边长为6，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　①②③④　 ． 【答案】①②③④． 【分析】根据轴对称的性质得到，故①正确；根据正方形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，故②正确；根据全等三角形的性质得到，根据平角的定义和三角形的内角和定理得到，故③正确；过作于，根据相似三角形的性质得到，求得，故④正确． 【解答】解：点关于的对称点， ，故①正确； 正方形边长为6，是中点， ，，， ， ， △△， ， ， ，故②正确； 点关于的对称点， ，， ， △△， ， ， ，故③正确； ，， ， 过作于， ，，， ， ， ， △△， ， ， ， ， 故④正确； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分） 17．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知四边形，在边上求作一点，在边上求作一点，在边边上求作一点，使四边形为菱形． 【答案】如图，四边形即为所求． 【分析】作平分，交于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，四边形即为所求． 【解答】解：如图，四边形即为所求． 【点评】本题考查作图复杂作图，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18．（8分）（1）． （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先把被减数中的各个二次根式进行化简，再进行约分，然后根据完全平方公式计算减数，最后合并即可； （2）先把各个分式的分子和分母分解因式，再进行约分，然后按照同分母分式相减法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式、二次根式的化简和分式的通分与约分． 19．（6分）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，，裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为 ； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种， 从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有：，，，，，，共6种， 甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．（6分）我校为了更好地开展学生体育活动，组织九年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理分为五组，下面给出了部分信息： ．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下 组别 成绩分 人数（频数） 1 5 16 20 ．组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）统计表中的　8　 ，扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为　　 度； （2）抽取的九年级学生体育测试成绩的中位数为　　 分； （3）若该校九年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校九年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】（1）8，144； （2）70； （3）576人． 【分析】（1）先由组人数和占比求出总人数，再用总人数减去其他组频数得，最后用组频数占比乘以得到对应圆心角； （2）先确定总人数，找到中位数所在的位置，再对应到组组内数据，计算第25、26个数据的平均数得到中位数； （3）先算出样本中60分及以上的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计出达标学生人数． 【解答】解：（1）据图表可知，组的人数为5人，占比为， 可得参加测试的总人数为人， 则， 组的人数为20人， 则组所对应扇形的圆心角． 故答案为：8；144； （2）参加测试的总人数为50， 中位数为50个人的成绩从低到高排序后，第25和第26个学生成绩的平均数， ，， 第25和第26个学生成绩位于组，分别为组的第11和第12个数据，均为70， 中位数为． 故答案为：70； （3）据图表可知，体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为人， 所占比例为， 则九年级共有人成绩达到60分及以上． 答：若该校九年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校九年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等，熟练掌握以上知识点是关键． 21．（6分）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据： 【答案】台阶的高度为；孔子雕像的高度约． 【分析】台阶斜坡的坡比为计算即可求得；作，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，可求出． 【解答】解：台阶斜坡的坡比为，， ， ， 即台阶的高度为； 如图所示，作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在△中，， ， ， 在△中，， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数为常数，且的图象相交于点和点，点的横坐标为2，点的纵坐标为1． （1）求和的值； （2）将该一次函数的图象向下平移3个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求△的面积． 【答案】（1），； （2）6． 【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点，进而求出，再利用反比例函数的解析式求出点，最后求出的值； （2）作于点，由平移规律可得新函数，从而求得点，容易判断轴，则，，直接计算△的面积即可． 【解答】解：（1）将代入，得， 点的坐标为， 将点代入得： ， 解得， 反比例函数的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 由条件可知， 解得， 一次函数的解析式为； （2）如图，作于点， 向下平移3个单位长度所得新函数， 将代入，得， 点的坐标为， ， 轴， ， 由条件可知， ． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 23．（8分）已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：△△； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接． 是的中点， ， 又， ． 在△△中， ， △△； （2）解：当时，四边形是菱形．理由如下： ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， △△， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）由证得两个三角形全等即可． （2）当平行四边形中，即平行四边形是矩形时，四边形是菱形． 【解答】（1）证明：如图，取的中点，连接． 是的中点， ， 又， ． 在△△中， ， △△； （2）解：当时，四边形是菱形．理由如下： ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， △△， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 24．（10分）根据以下素材解决问题 素材1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造4台甲型机器人、3台乙型机器人，总花费53万元；制造5台甲型机器人、2台乙型机器人、总花费54万元． 素材2 两种型号机器人的总销售量（台与甲型机器人每台销售单价（万元台）之间的关系如表所示： 甲型机器人每台销售单价（万元台） 10 13 16 19 两种型号机器人的总销售量（台 340 280 220 160 根据以上信息解决下列问题： （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于240台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 【答案】（1）甲单价8万元台，乙单价7万元台； （2）； （3）当甲型机器人销售单价为15万元时，总利润最大，此时总利润为1560万元． 【分析】（1）依据题意，设甲型机器人制造成本为万元台，乙型机器人制造成本为万元台，则，从而可以计算得解； （2）依据题意，设一次函数解析式：，根据表格数据可得，从而计算可以得解； （3）依据题意，由，即，则，结合总销量为台，从而甲款销量为台，乙款销量为台，故，又，在对称轴左侧随增大而增大，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设甲型机器人制造成本为万元台，乙型机器人制造成本为万元台， ， ， 答：甲单价8万元台，乙单价7万元台； （2）设一次函数解析式：， 根据表格数据可得，该函数的图象过，， ， ， ； （3）由题意， ，即， ， 总销量为台， 甲款销量为台，乙款销量为台． ，即， ， 开口向下，对称轴是直线， ，在对称轴左侧随增大而增大， 当时，最大，万元， 答：当甲型机器人销售单价为15万元时，总利润最大，此时总利润为1560万元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 25．（8分）根据要求解决问题： （1）【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的 ； ②根据表格，猜想　　 （比较大小）． （2）【理解应用】 ①已知，，当　　 时，代数式取得最大值是　　 ； ②如图，已知，在△中，，，则△周长的最大值为　　 ． 【答案】（1）①；②； （2）①20，100； ②． 【分析】（1）①根据几何平均数的定义求；②根据表格猜想结论即可； （2）①观察表格发现，当时，；当时，，据此可得当时，代数式取得最大值，即可得解；②由勾股定理可得，则，当时，最大，最大值为18，即可得解． 【解答】解：（1）①由题意可得：； 故答案为：； ②根据表格猜想：； 故答案为：； （2）①观察表格发现，当时，；当时，； 当时，代数式取得最大值， 时，最大值为100； 故答案为：20，100； ②在△中，，， ， ， 当最大，则最大， ，， 当时，最大，最大值为18， △周长的最大值为：． 【点评】本题考查三角形的综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（10分）如图1，在△中，，，，在△中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿运动；同时△沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，△也停止运动．连接，，．设运动时间为． （1）为何值时，？ （2）设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； （3）若，求出的值． 【答案】（1）； （2）的最大值为； （3）． 【分析】（1）易知△△，根据相似比建立方程求解即可； （2）作于点，于点，分两种情况讨论，点在、上，然后利用二次函数增减性求解即可； （3）依题意画出图形，利用相似三角形求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得，， ， ，， △△， ，即， ； （2）作于点，于点， ①当点在上运动时，，如图， ， ， 开口向上，对称轴为， 时，取最大值，此时； ②当点在上运动时，； ， ， 开口向下，对称轴为， 时，取最大值，此时， 综上所述，的最大值为； （3）如图，时，△△， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $