精品解析：安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试数学试题

滁州2024届高三适应性考试 数学 姓名______ 座位号______ （在此卷上答题无效） 注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号. 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知随机变量，若，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 4. 已知为奇函数，且时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知向量，，则下列叙述不正确是（ ） A. 若与的夹角为锐角，则 B. 若与共线，则 C. 若，则与垂直 D. 若，则与的夹角为钝角 7. 已知圆，圆，M，N分别是圆上动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为8 C. 以焦半径为直径的圆与直线相切 D. 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若为钝角三角形，则 C. 若，则有两解 D. 若三角形为斜三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______（用数字做答）． 13. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________． 14. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___. 四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 16. 水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数个 10 25 40 25 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果概率； （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望. 17. 如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面. （1）求证：； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆E的离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，判断在定义域上单调性； （2）若对定义域上的任意的，有恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滁州2024届高三适应性考试 数学 姓名______ 座位号______ （在此卷上答题无效） 注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号. 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，将复数化简即可根据几何意义得对应点的坐标. 【详解】因为,所以在复平面内对应的点为,故对应的点在第三象限. 故选: 3. 已知随机变量，若，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接计算，即可得出结果 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为， 又， ∴. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题型. 4. 已知为奇函数，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质及解析式求解即可. 【详解】为奇函数，且时，，. 故选：D 5. 已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出，再解方程组求出，即可得解. 【详解】因为是等比数列， 所以， 则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列， 所以， 所以公比. 故选：A. 6. 已知向量，，则下列叙述不正确的是（ ） A. 若与的夹角为锐角，则 B. 若与共线，则 C. 若，则与垂直 D. 若，则与的夹角为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用平面向量的数量积的定义及坐标运算即可求解，注意排除同向的情况；对B：结合平面向量共线的坐标运算即可求解；对C：结合平面向量垂直的坐标运算即可求解；对D：举出反例即可说明. 【详解】对A：因为与的夹角为锐角，所以且与不同向，所以，则，故A正确； 对B：因为与共线，所以，即，故B不正确； 对C：因为，所以，所以与垂直，故C正确； 对D：因为时，与反向，此时夹角为，故D错误； 故选：BD. 7. 已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】 如图所示，易知，两圆半径分别为， 取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接， 连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)， 则， 当且仅当，，对应重合时等号成立， 此时的最小值为. 故选：D 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形，可得，，由此可构造函数和，利用导数可求得单调性，进而确定，，由此可得大小关系. 【详解】，， 设，则， 在上单调递增，， 即，； ，， 设，则， 在上单调递减，， 即，，即； 综上所述：. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件概率公式逐个分析判断即可 【详解】对于选项A，，故选项A错误； 对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确； 对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确； 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确. 故选：BCD 10. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为8 C. 以焦半径为直径的圆与直线相切 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交， 设直线为， 联立方程，消去x得， 则，， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：， 原点到直线的距离， 所以面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为8，故B正确； 对于选项C：由题意可知：线段的中点， 则到y轴距离为， 所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于选项D：因为 ， 即，故D错误； 故选：BC. 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若为钝角三角形，则 C. 若，则有两解 D. 若三角形为斜三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由可判断C，由两角和的正切公式可判断D. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得， 所以，，A正确； 对于B，若为钝角三角形，假设为钝角， 则，可得，B错误； 对于C，，则，如图： 所以有两解，C正确； 对于D，因， 所以 因为， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______（用数字做答）． 【答案】－10 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令， 则的展开式中的系数为， 故答案为：-10 13. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，代入条件即可求解. 【详解】依题意，由图象的性质可知， 点到焦点距离的最大值为，最小值为， 所以，化简得，即离心率， 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___. 【答案】10π 【解析】 【分析】把平面沿展开到与平面共面的的位置，确定当，，，四点共线时，的长度最小，求出此时的线段的长度，的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆，的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆，即可得外接球的球心与半径，由球的表面积公式求解即可． 【详解】把平面沿展开到与平面共面的的位置， 延长到，使得，连结，如图1所示， 则，要使得的长度最小，则需，，，四点共线， 此时， 因为，，， 所以， 所以，， 故，， 所以，，，， 所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆 如图2，连接， 由于，所以，又 所以， 所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆 所以三棱锥外接球的球心为，半径为，故外接球的表面积为． 故答案为：． 四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）取的中点，连接，在和中，分别利用余弦定理表示，结合化简求出，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， 化简得． ； 【小问2详解】 由（1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， . 16. 水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数个 10 25 40 25 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，0.8 【解析】 【分析】（1）先求出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由题意可得现从中抽取2个，精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，求出其对应的概率，即可求出的分布列，再由数学期望公式求出. 【小问1详解】 设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则， 故恰好抽到2个礼品果的概率为； 【小问2详解】 用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个， 现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望. 17. 如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面. （1）求证：； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件可得平面平面，利于面面平行的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量表达形式进行计算即可. 【小问1详解】 平面平面， 平面. 为正方形，， 同理可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面 平面平面， . 【小问2详解】 由于为正方形，平面平面， 可得平面.如图，建立空间直角坐标系， 设，根据条件可知 则, , 可知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则取， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆E的离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）椭圆E的标准方程为； （2）平行，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求。可得椭圆方程； （2）根据题意设直线MN及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由已知点的坐标分别为， 因为，所以，所以， 又椭圆E的离心率为，所以， 所以， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线与x轴不重合，且过点， 所以可设直线的方程为， 联立方程，消去x可得， 方程的判别式， 设 ∴， ∵，则 则直线的方程为， 代入可得，即 ∴， 则 ∵，即 ∴， 所以直线与DP平行. 【点睛】关键点点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 已知函数. （1）当时，判断在定义域上的单调性； （2）若对定义域上的任意的，有恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：，. 【答案】（1）因为所以在上单调递减，（2），（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求导后利用基本不等式证明导函数小于等于0即可. (2) ,再分、和三种情况分别讨论函数的最大值分析即可. (3)根据(2)中的结论知,对任意都成立, 取再累加求证即可. 【详解】（1）当时,,故 因为,当且仅当时取等号.故 所以在上单调递减. （2）∵, 当时,则,∴在上单调递增, , 当时令,解得, 当时, ,当时, , ∴在上单调递增,在上单调递减,则时, , 当时, ,在上单调递减,则, ∴ （3）当时,成立 当时,由（2）知,对任意都成立 取,,则 所以 当时 所以 所以 所以 所以 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数单调性与分参数的不同范围判定函数的最值从而证明不等式的问题.同时也考查了根据前问的结论累加求证不等式的问题.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$