第十章 二元一次方程组 测试卷2025-2026学年人教版数学 七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，融合《九章算术》等文化素材与加密传输等现实情境，适配初中数学第十章复习，全面考查概念理解、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组概念（1题）、解的应用（3题）、古代数学问题（9题）|以加密传输情境（4题）考查方程组解法，体现时代性| |填空题|5/15|二元一次方程定义（11题）、解的性质（12题）、算筹图转化（15题）|结合算筹图（15题）渗透数学文化，培养抽象能力| |解答题|8/75|方程组解法（16题）、实际应用（19题购票、21题《算法统宗》住宿）、探究推理（23题三元方程组）|以《算法统宗》诗句（21题）设计分层问题，强化模型意识与创新思维|

第十章测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各项中，属于二元一次方程组的是（　　）． A． B． C． D． 2．若则y用只含x的代数式表示为（　　）． A．y＝2x＋7 B．y＝7－2x C．y＝－2x－5 D．y＝2x－5 3．关于x，y的方程组与有相同的解，则a＋4b－3的值为（　　）． A．－1 B．－6 C．－8 D．－10 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文加密形成密文，接收方由密文解密得到明文．已知加密规定：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（　　）． A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7 5．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）． A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 6．甲、乙两名同学在解关于x，y的方程组时，甲同学正确地解出乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（　　）． A．a＝－3，b＝－1，c＝－5 B．a＝1，b＝－1，c＝－10 C．a＝2，b＝－4，c＝－10 D．a＝3，b＝1，c＝－10 7．甲、乙两人练习跑步，从同一地点出发，同向而行.如果乙先跑16 m，甲8 s可追上乙，如果乙先跑2 s，甲4 s可追上乙，求甲、乙二人每秒各跑多少米.若设甲每秒跑x m，乙每秒跑y m，则所列方程组应该是（　　）． A． B． C． D． 8．已知|x＋y＋2|＋(2x－3y－1)2＝0，则x，y的值分别是（　　）． A．1， B．1， C．－1， D．－1，－1 9．《九章算术》中的“盈不足”一章里有一道题，原文是：“今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛.问大、小器各容几何？”意思是：有大、小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（　　）． A． B． C． D． 10．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（　　）． A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若关于x，y的方程(m－4)＝3＋4是二元一次方程，则m＝______，n＝______. 12．如果是方程x－3y＝－3的一组解，那么代数式2 026－2a＋6b＝_______. 13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，交换十位上的数字与个位上的数字后得到的新两位数比原数小18.设原数十位上的数字为x，个位上的数字为y，可列方程组为_________. 14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x－5y＝－1，则m＝________. 15．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改成横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把如图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图所对应的二元一次方程组的解为_________. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程组： （1） （2） （3） 17．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，求 a－5b的平方根. 18．（8分）规定＝ad－bc，例如，＝2×0－3×(－1)＝3．解方程组 19．（9分）一个长方体的包装盒由1个侧面和2个底面组成.如果每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面，现有14张白卡纸，那么用多少张白卡纸做侧面，多少张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒？ 20．（9分）某音乐会的门票价格如下表，小明用2 800元作为预订门票的资金． 等级 票价/(元/张) A 150 B 300 C 500 （1）若全部资金用来预订B等级门票、C等级门票共8张，则B等级门票和C等级门票各预订了多少张？ （2）小明想用全部资金预订A等级门票、B等级门票和C等级门票共12张，他的想法能实现吗？若不能，请说明理由；若能，请求出各等级的门票数量． 21．（10分）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数量大大增加，每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 22．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组 （1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解. （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值. 23．（13分）小北、小仑两名同学在学习方程组的过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以求出x＋y＋z的值. 【探究】 （1）小北的方法： ②×3－①×2，整理，得y＝__________. ①×3－②×2，整理，得x＝__________. 所以x＋y＋z＝4. 小仑的方法： ①＋②，得__________________________. 所以③________，得x＋y＋z＝4. 【应用】 （2）已知求x＋y＋z的值. 【延伸】 （3）学校现准备采购若干本英语簿、数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿、5本数学簿、2本作业本需要6元；采购4本英语簿、8本数学簿、2本作业本需要7.2元，那么采购200本英语簿、300本数学簿、100本作业本需要多少元？ 参考答案 1．【答案】B 【解析】A项，x2＝3中含有未知数的项的次数不是1，故不是二元一次方程组，不符合题意；B项，该方程组是二元一次方程组，符合题意；C项，x－y2＝4中含有未知数的项的次数不是1，故不是二元一次方程组，不符合题意；D项，该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意. 2．【答案】B 【解析】将方程组变形为 两个方程相加，得2x＋y＝7，即y＝7－2x. 3．【答案】D 【解析】解方程组得 把代入得 解得 所以a＋4b－3＝1－8－3＝－10. 4．【答案】B 【解析】由题意，得 由④，得d＝7． 将d＝7代入③，得2c＋21＝23，解得c＝1． 将c＝1代入②，得2b＋1＝9，解得b＝4． 将b＝4代入①，得a＋8＝14，解得a＝6． 所以该方程组的解为 所以解密得到的明文为6，4，1，7． 5．【答案】B 【解析】设有x天早晨下雨，这一段时间有y天． 根据题意，得 由②，得y＋x＝15．③ ①＋③，得2y＝22，解得y＝11． 所以这一段时间有11天． 6．【答案】C 【解析】把代入原方程组，得 把代入ax＋by＝2，得－3a－2b＝2，联立得解得 由－c－7＝3，得c＝－10. 7．【答案】D 【解析】由题意，得故选D. 8．【答案】D 【解析】因为|x＋y＋2|＋(2x－3y－1)2＝0， 所以解得 9．【答案】A 【解析】由题意，得 10．【答案】B 【解析】设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别购买x个、y个， 依题意，得8x＋10y＝200， 所以x＝－＋25. 因为x，y为正整数， 所以当y＝4时，x＝20； 当y＝8时，x＝15； 当y＝12时，x＝10； 当y＝16时，x＝5. 所以购买方案有4种. 11．【答案】－4　0 【解析】因为关于x，y的方程(m－4)＝3＋4是二元一次方程， 所以 解得m＝－4，n＝0. 12．【答案】2 032 【解析】因为是方程x－3y＝－3的一组解， 所以a－3b＝－3， 所以2a－6b＝2(a－3b)＝－6， 所以2 026－2a＋6b＝2 026－2(a－3b)＝2 026－(－6)＝2 032. 13．【答案】 【解析】①因为原数十位上的数字比个位上的数字大2， 所以x－y＝2. ②因为对调前个位上的数字为y，十位上的数字为x， 所以原数为10x＋y. 因为对调后个位上的数字为x，十位上的数字为y， 所以新数为10y＋x. 因为新数比原数小18， 所以10x＋y－(10y＋x)＝18， 故答案为 14．【答案】 【解析】解方程组得 将x＝6m，y＝2m代入2x－5y＝－1，得2×6m－5×2m＝－1， 解得m＝. 15．【答案】 【解析】根据题意，可得第一个方程x的系数为3，y的系数为2，相加的结果为8；第二个方程x的系数为6，y的系数为1，相加的结果为13，所以可列方程组为解得 16．【答案】解：（1） 把①代入②，得5(y＋3)＋y＝9， 解得y＝－1. 把y＝－1代入①， 得x＝－1＋3＝2. 所以这个方程组的解为 （2） ①－②×2，得－7x＝－35， 解得x＝5. 把x＝5代入②，得5×5＋2y＝25， 解得y＝0. 所以这个方程组的解为 （3） ①－②，得y－z＝－1.④ ③＋④，得2y＝0，解得y＝0. 把y＝0代入①，得x＝－1. 把y＝0代入③，得z＝1. 所以这个方程组的解为 17．【答案】解：由题意，得的解与题中2个方程组的解相同，解得 分别代入含a，b的方程，得解得 所以a－5b＝14－10＝4. 所以a－5b的平方根为±＝±2. 18．【答案】解：根据规定，得＝3x－2y＝1，＝5x＋3z＝8， ＝3y－6z＝－3， 所以 ②×2＋③，得10x＋3y＝13．④ ①×3＋④×2，得29x＝29，解得x＝1． 将x＝1代入④，得10＋3y＝13，解得y＝1． 将x＝1代入②，得5＋3z＝8，解得z＝1． 所以原方程组的解为 19．【答案】解：设用x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面. 由题意，得 解得 答：用6张白卡纸做侧面，8张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒. 20．【答案】解：（1）设B等级门票预订了x张，C等级门票预订了y张． 根据题意，得 ②－①×300，得200y＝400，解得y＝2． 将y＝2代入①，得x＋2＝8，解得x＝6． 所以原方程组的解为 答：B等级门票预订了6张，C等级门票预订了2张． （2）他的想法能实现． 设A等级门票预订了a张，B等级门票预订了b张，C等级门票预订了c张． 根据题意，得 由②，得3a＋6b＋10c＝56．③ ①×10－③，得7a＋4b＝64，则4b＝64－7a． 因为b为正整数， 所以64－7a为正整数． 所以a不可能超过10． 因为4b与64为偶数， 所以7a一定为偶数． 所以a一定为偶数． 当a＝2时，b＝，不合题意，舍去； 当a＝4时，b＝9，4＋9＞12，不合题意，舍去； 当a＝6时，b＝，不合题意，舍去； 当a＝8时，b＝2，c＝2，符合题意． 所以A等级门票预订了8张，B等级门票预订了2张，C等级门票预订了2张． 21．【答案】解：（1）设该店有客房x间，房客y人． 根据题意，得 将①代入②，得9(x－1)＝7x＋7， 解这个方程，得x＝8． 将x＝8代入①，得7×8＋7＝y，即y＝63． 所以原方程组的解为 答：该店有客房8间，房客63人． （2）若每间客房住4人，则63名房客需要16间，需付费20×16＝320（钱）； 若一次性订客房18间，则需付费20×0.8×18＝288（钱）． 因为320＞288， 所以诗中“众客”再次一起入住，他们选择一次性订客房18间更合算． 22．【答案】解：（1） （2）由题意，得 解得 把代入x－2y＋mx＋5＝0，解得m＝－. （3） （4） ①＋②，得(2＋m)x＝1，解得x＝. 因为x恰为整数，m也为整数， 所以2＋m＝1或2＋m＝－1， 解得m＝－1或m＝－3. 23．【答案】解：（1）3－2z　z＋1　5x＋5y＋5z＝20　÷5 （2） ①×3＋②，整理，得z＝6－2x. ①＋②×2，整理，得y＝x－3. 所以x＋y＋z＝3. （3）设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作业本z元. 由题意，得 ②－①，得3y＝1.2. ①×8－②×5，整理，得2x＋z＝2. 所以2x＋3y＋z＝3.2， 所以200x＋300y＋100z＝320. 答：采购200本英语簿、300本数学簿、100本作业本需要320元. 学科网（北京）股份有限公司 $