第八章 立体几何 解答题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何解答题，通过5类题型系统覆盖位置关系证明、空间角距离计算、综合应用、探索性问题、折叠与作图，以题载法构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系与量的计算|7题|含线面平行/垂直证明、线面角及距离计算|以判定定理为基础，衔接空间向量工具，形成"证明-计算"逻辑链| |综合应用|5题|融合位置关系、角、体积的多问综合|体现知识交叉，强化空间想象与运算能力| |探索性问题|5题|含动点存在性、角度最值探究|通过假设推理，培养逻辑推理与创新意识| |折叠问题|5题|涉及翻折前后几何量关系分析|突出不变量与变量转化，深化直观想象| |作图问题|6题|含截面、交线作图及轨迹探究|强调空间构图能力，衔接几何直观与数学表达|

第八章 立体几何解答题 目录 题型1：位置关系的证明与空间角、空间距离的计算 2 题型2：位置关系、空间角、体积的综合 17 题型3：探索性问题 29 题型4：折叠问题 39 题型5：作图问题 51 题型1：位置关系的证明与空间角、空间距离的计算 【例1.1.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【难度】0.66 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求线面角 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 【例1.2.】 在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. (1)求证:. (2)若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【难度】0.56 【知识点】证明线面垂直、求线面角、证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）根据线面平行的判定与性质推导平面平面，可得，结合为直角三角形推出平面，可知垂直平分，即可证得. （2）①由面面垂直的判定定理得平面平面，过作可得平面，结合，可知即为与平面所成角，结合已知边长计算即可得所求正弦值. ②利用线面角的几何意义，点到平面的距离等于线段的长度乘以与平面所成角的正弦值，代入数据计算即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接. ，分别为的中点，. 又平面，平面， 平面. 平面，，平面， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 在中，，，， ，， ，又，， 平面，又平面，. 又∵是中点，∴垂直平分, ∴. （2）由（1）可知，平面，平面，平面平面. 如图，过点作，为垂足，则平面， 为与平面所成的角. 在等边中，， 在中，由，可得， ， 又，与平面所成角的大小为，即正弦值为. ②设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 则由①可知， ∴. 【例1.3.】 如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.63 【知识点】证明面面平行、求线面角、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）分别计算底面正方形面积和侧面四个全等三角形的面积，求和即可； （2）利用线面平行的判定定理，通过三角形中位线及平行线分线段成比例定理证明和，进而利用面面平行的判定定理得证； （3）找出点在底面的投影，构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 【例1.4.】 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.59 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、球的表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接，证明平面即可得到结论； （2）取的中点，连接，可证，由线面平行的判定即可证明结论； （3）由线面平行的性质可得，取的中点，连接，或其补角为直线与所成的角，结合几何关系求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示，因为底面是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点，连接，如图所示，又是棱的中点，所以， 又底面是边长为2的正方形，是棱的中点，所以， ，所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （3）由（2）知平面，又平面平面平面，所以，所以， 取的中点，连接，则，所以或其补角为直线与所成的角. 因为四棱锥的所有顶点都在球的球面上， 所以球的半径， 所以球的表面积，解得. 记，连接，又平面平面， 所以，所以， 所以， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. 【例1.5.】 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角 【分析】（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角形的性质，构建垂直关系； （2）采用几何法，先找到二面角的平面角，再通过解直角三角形计算其三角函数值，核心是利用三垂线定理确定平面角，再结合勾股定理与三角函数公式求解； （3）使用等体积法求点到平面的距离，再根据线面角的定义，将距离与线段长度结合，求出直线与平面所成角的正弦值，体现了体积法在空间距离与角度问题中的应用． 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以．    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 【例1.6.】 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点． (1)记平面与平面的交线为，求证：； (2)若，求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求二面角、线面平行的性质、空间垂直的转化、由线面角的大小求值 【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理可得答案； （2）分别取的中点，由余弦定理求出，面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角．求出正弦值即可； （3）由面面垂直的性质定理得平面，设，设到平面的距离为h，根据求出，再由直线与平面所成角的余弦值得．在中由余弦定理求出可得答案． 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以； （2）分别取的中点，连接，如图所示． 因为，所以， 又，由余弦定理得 ， 又，所以， ， 所以，即，即． 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面， 所以，，因为分别为的中点， 所以，，又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角． 因为，， 所以， 所以， 即二面角的正弦值为； （3）连接，如图所示，因为， 点为的中点，所以，， 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，又， 所以． 显然点E不与点A重合，设， 所以 ． 设到平面的距离为h，则，解得， 又直线与平面所成角的余弦值为， 所以， 所以．在中，， 则， 在中，， 即， 整理得，解得或（舍）， 所以． 【例1.7.】 如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)与不垂直，理由见解析 (2)． (3) 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】（1）假设，得到线面垂直，，由三角形全等得到，于是，与矛盾，得到结论； （2）作出辅助线，证明出线面垂直，为二面角的平面角，设，表达出各边长，利用得到方程，解得，求出，，由勾股定理得到方程，求出； （3）作出辅助线，由（2）知平面，设，则点E到平面的距离，又，设与平面所成角的大小为θ，则，变形后，利用函数单调性求出取值范围，得到答案. 【详解】（1）直线与不垂直，理由如下： 事实上，假设，又，，平面， 所以平面．又平面，所以． 在和中，，， 所以，所以． 于是，与矛盾． 所以，假设不成立，即与不垂直； （2）设点A在平面内的射影为O，在平面内，过点O作，垂足为P， 连接，因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角．即， 所以， 点O作，垂足为Q，连接，同理可得． 在中，，， 故∽，所以，即， 解得，． 连接并延长交于点F， 因为为边长为2的等边三角形，， 故，则F为的中点，且． 设，在中，，，， 因为，所以，由勾股定理得， 在中，． 因为，所以，解得． 其中， 此时，所以． （3）由已知，点A在底面的射影O在的角平分线上． 在平面内，过点O作，垂足为P． 连接，在平面内，过点O作， 由（2）知，平面，又平面，所以． 又，所以平面． 易得，，，， ． 设，则点E到平面的距离，， 又， 设与平面所成角的大小为θ，则， 因为，， 当时，取得“”． 所以，与平面所成角的正弦值的取值范围为． 题型2：位置关系、空间角、体积的综合 【例2.1.】 在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3)12 【难度】0.62 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】（1）取的中点为，连接，可得就是直线与底面所成角，利用几何关系求解即可； （2）过作，垂足为，连接，可得就是二面角的平面角，利用几何关系求解即可； （3）把多面体补成为长方体，利用求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 【例2.2.】 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.53 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求线面角、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定证明； （2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角,结合边长关系求解. （3）先证明三棱锥的外接球的球心在线段上，再结合勾股定理求解. 【详解】（1）证明：连接，与交于点，连接， 因为为侧面的中心，所以为的中点， 连接，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为为的中点，易知，又平面，平面， 故平面. （2）连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为，故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以，则. 故直线与平面所成角的大小为. （3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为的外接圆的圆心为，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的表面积为. 【例2.3.】 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． (1)证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. (3)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析，四面体EBCD是鳖臑，四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； (2)4 (3) 【难度】0.47 【知识点】求二面角、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）推导出，从而平面，进而，再由，能证明平面；由平面，平面，能得到四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是． （2）由是阳马的高，得到；由是鳖臑的高，得到，由此能求出的值． （3）由面EDB与面ABCD所成二面角求出，再算出的外接圆半径与圆心到相关点的距离，设外接球球心到平面的距离，分球心与异侧、同侧两种情况列方程求，得到外接球半径，再利用球的表面积公式算出结果. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 因为ABCD为长方形，所以， 因为，平面PCD， 所以平面PCD，因为平面PCD，所以， 因为PD=CD，点E是PC的中点，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （2）解：由已知，PD是阳马P-ABCD的高， ， 由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，， ， 在中，，点E是PC的中点， ， ． （3）解：取DC中点F，连接EF，过F作，连接EG； 因为E，F是PC，DC中点，所以，又平面， 所以平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，，平面EFG， 所以平面EFG，所以∠EGF就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角： 设，又因为，所以，所以， 所以，又EF=1，得 所以，解得， 因为CD=2，，所以，，； 所以，； 设的外接圆半径为r，外接圆圆心为O， 则，， 过点O作，，垂足分别为M，K，连接OF， 则，， 又DF=1，所以，所以， 设球心为，设，若球心和点E位于平面DHB异侧， 则， ，三棱锥E-HBD的外接球的半径为， ， 若球心和点E位于平面DHB同侧， 则 解得（舍去）． 综上，三棱锥E-HBD的外接球的表面积为． 【例2.4.】 如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.38 【知识点】判断面面是否垂直、多面体与球体内切外接问题、求二面角 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【详解】（1）（1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 【例2.5.】 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②二面角的正切值为 【难度】0.48 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果. 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 题型3：探索性问题 【例3.1.】 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求线面角 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 【例3.2.】 已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【难度】0.52 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、面面平行证明线线平行 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 【例3.3.】 如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii）存在， 【难度】0.52 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 【例3.4.】 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.64 【知识点】证明面面垂直、由线面角的大小求值、线面平行的性质 【分析】（1） 可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明；           （2） 可证平面，由线面平行的性质定理即可证明；         （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面， 可得平面， 又因为平面PBD，所以平面平面. （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以. （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且， 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF， 可知即为EF与底面所成角，                           在中，，    若，，所以. 【例3.5.】 如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在符合题意的点， 【难度】0.65 【知识点】空间线段点的存在性问题、求线面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； （3）利用等体积法将体积比转化为对应三角形面积比，结合另一组同高棱锥的体积比等于底边长之比，从而求出线段的长度，确定满足条件的点. 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 题型4：折叠问题 【例4.1.】 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【难度】0.42 【知识点】面面平行证明线线平行、求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 【例4.2.】 如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； 【难度】0.52 【知识点】求点面距离、证明面面垂直、余弦定理解三角形、求线面角 【分析】(1)通过计算线段长度，利用勾股定理证明线面垂直，进而证明面面垂直； (2)采用等体积法，通过转换顶点求点到平面的距离； (3)利用面面垂直的性质找到线面角的平面角，再通过三角函数关系求解余弦值即可. 【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 【例4.3.】 如图1，在矩形中，已知，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：； (3)在翻折过程中，当二面角为时；在平面内有一动点满足：直线与底面所成角正弦值为，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】由线面角的大小求值、证明线面平行、由二面角大小求线段长度或距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取的中点，连接，根据几何关系证得四边形为平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证明平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可； （3）过作垂足为，利用定义法得为二面角的平面角，设，可得，求出，进而为直线与平面所成的角，求得，，求出动点的轨迹，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又因为为的中点，所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以； 又平面平面，所以平面； （2）在图1中，连接， 所以，因为，所以， 又因为，所以，所以，同理， 又，所以，所以. 由翻折性质得：，因为， 所以平面，平面，所以； （3）过作垂足为， 由（2）知：平面，平面平面， 所以平面，所以； 因为，所以平面， 过作垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，，平面，平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为平面，平面，所以， 所以为等腰直角三角形，设，由题意，知：， 在中，， 所以. 所以，所以分别为的中点， 因为平面，平面，所以，平面，所以为直线与平面所成的角，所以， 所以，所以，且平面， 所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以动点R的轨迹长度为. 【例4.4.】 如图1，在平行四边形中，，将沿翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)若点在平面内，，当三棱锥的体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合已知可证平面； （2）过点作于点，连结，利用线线垂直证明线面垂直，进而可证为直线与平面所成的角的正弦值，求解即可；法二：过点作于点，连结，利用面面垂直的性质平面，下同解法一；法三：设点到平面的距离为，利用等体积法求得，进而可求直线与平面所成的角的正弦值； （3）由题意可得，法一：利用基本不等式求得的最大值即可.法二：设，则，可得，利用换元法与二次函数的性质可求最值.法三：设，可得，可求最大值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又因为，所以平面； （2）解法一：过点作于点，连结 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 所以为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成的角， 在平行四边形中，，因为，所以， 所以，在中，， 由勾股定理可得，根据等面积法可得 在中，，所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为； 解法二：因为平面，平面，所以平面平面， 过点作于点，连结 又因为平面平面，平面， 所以平面， 下同解法一： 解法三：在平行四边形中，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 根据等体积法可得， 因为，所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）由（2）知平面，又因为，所以， 解法一：因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值． 解法二：设，则，所以， 令，则， 所以当，即时，三棱锥的体积取得最大值． 解法三：设， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以当，即时，三棱锥的体积取得最大值， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值． 【例4.5.】 如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可； （3）作出二面角的平面角，再结合三角函数值求出的长度即可判断. 【详解】（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 题型5：作图问题 【例5.1.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在为线段中点，证明见解析； (3)作图见解析，截面周长为. 【难度】0.48 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、由平面的基本性质作截面图形、证明面面平行 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 【例5.2.】 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. (1)设平面，请在图中画出直线（不必说明理由），并求证：平面； (2)在侧面内画出P的轨迹，并求点到所在平面的距离； (3)当最小时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)画法见解析；证明见解析 (2)轨迹见解析； (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求二面角、求点面距离 【分析】（1）由线面位置关系画出直线，再由线面垂直的判定定理证明可得； （2）取的中点，的中点，连接、、、，由面面平行的判定定理证明平面平面可得P的轨迹；再由等体积法可得距离； （3）连接，，设左侧面对角线的交点为，右侧面的中点为，连接，由几何关系得到为二面角的平面角，再由余弦定理可得. 【详解】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且， 故四边形为平行四边形，则. 又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形即为平面，直线即为直线. 证明如下：由正方体的性质可得面，面，所以， 又，平面， 所以平面. （2） 取的中点，的中点，连接、、、， 显然，，所以，平面，平面， 所以平面， 又为的中点，所以且，又且， 所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点是侧面内的动点，且， 所以在线段上，即为P的轨迹. 又， 即为等腰三角形，所以当为的中点时最小， 又， 此时， 设点到所在平面的距离为， 由等体积法可得，即， 解得. （3） 连接，，设左侧面对角线的交点为，右侧面的中点为，连接， 由正方体的性质可得，所以四边形为等腰梯形， 又为的中点，为的中点，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 在等腰梯形中，，，为的中点，为的中点， 所以， 在中由勾股定理可得， 在中由余弦定理可得， 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 【例5.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断正方体的截面形状 【分析】（1）由面面平行的性质确定，即可确定截面； （2）确定球心的位置，并根据球的半径相等，得到方程，求出球的半径，计算即可； （3）证明面面平行，确定M的位置，直线与所成的角即为，由空间中的线面关系计算出，进而得到余弦值的最大值即可. 【详解】（1）过点的截面是，理由如下： 设平面平面，平面平面， ∴，又，分别是和的中点， ∴，，∴，∴即为直线， ∴正方体中过点的截面是； （2）如图，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z， 过Z作ZN⊥平面EPH，交面于N，则N为的中心， 三棱锥的外接球球心Q在直线ZN上， 设外接球半径为，，则， 其中，， 故， ∴球的表面积； （3）取的中点，又的中点，则，又， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又在正方体中，， 平面，平面， ∴平面，又， ∴平面平面， ∴点在线段上运动，又， ∴直线与所成的角即为直线与所成的角， 又平面，平面， ∴，是直角三角形， ∴， 当与垂直时，取得最小值， 其中，由勾股定理得， 故的最小值为， ∴，此时取得最大值， 由于且， 故，故的最大值为， ∴直线与所成的角的余弦值的最大值为. 【例5.4.】 如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)作图见解析. 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、空间中的点（线）共面问题、证明面面平行、由平面的基本性质作截面图形 【分析】（1）利用平行公理，结合正方体的结构特征证明即可. （2）利用面面平行的判定推理得证. （3）过作直线交的延长线分别于，连接相关线段即可. 【详解】（1）在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，由四边形为正方体的对角面， 得四边形是矩形，则，因此， 所以，，，四点共面. （2）连接， 由，分别是，的中点，得， 又平面，平面，则平面， 而，且，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，因此平面， 又平面，所以平面平面． （3）过作直线交的延长线分别于， 连接分别交于，连接， 由，得，直线平面平面平面 因此五边形是平面截正方体所得截面，如图， 所以是平面与正方体侧面的交线. 【例5.5.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质的有关计算、余弦定理解三角形、证明线面平行、由平面的基本性质作截面图形 【分析】（1）延长交于点F，连接即得到面和面的交线，接着证明为的中点即可证明，从而由线面平行判定定理即可求证平面； （2）取中点，连接，求证四点共面即可得到四边形即为所求截面，再利用题设条件求出该四边形四边长即可求解. 【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，则面，且面， 连接，则面，且面，即是面和面的交线， 取中点，因为，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点，又点为棱的中点， 所以，因为平面，在平面外， 所以平面，即平面； （2）因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则， 取中点，连接，则即，所以， 所以四点共面，则四边形即为所求截面， 因为，， 所以， 又， 所以， 所以在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长为. 【例5.6.】 如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为. (1)求棱锥的体积（结果用表示）； (2)当时， ①请在图中直接画出平面与平面的交线；（不写过程，保留作图痕迹） ②求证：平面平面. 【答案】(1) (2)①作图见解析；②证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）依题意可得，设矩形的面积为，则，，即可得到四棱锥的体积与三棱锥的体积相等，再由锥体与体积的关系即可得解； （2）①延长、交于点，连接，即可说明即为两平面的交线；②首先说明，即可得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）因为，则，所以， 设矩形的面积为，则，， 所以四棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 又三棱锥的体积等于，所以棱锥的体积为； （2）①当时，平面，延长、交于点， 连接， 因为，平面，，平面， 所以平面，平面， 又平面，平面， 所以平面与平面的交线为 ②因为，，所以，又为等边三角形， 所以，则，所以， 则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何解答题 目录 题型1：位置关系的证明与空间角、空间距离的计算 2 题型2：位置关系、空间角、体积的综合 4 题型3：探索性问题 6 题型4：折叠问题 8 题型5：作图问题 10 题型1：位置关系的证明与空间角、空间距离的计算 【例1.1.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【例1.2.】 在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. (1)求证:. (2)若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【例1.3.】 如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【例1.4.】 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 【例1.5.】 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【例1.6.】 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点． (1)记平面与平面的交线为，求证：； (2)若，求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【例1.7.】 如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 题型2：位置关系、空间角、体积的综合 【例2.1.】 在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【例2.2.】 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的表面积. 【例2.3.】 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． (1)证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. (3)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 【例2.4.】 如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【例2.5.】 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 题型3：探索性问题 【例3.1.】 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【例3.2.】 已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【例3.3.】 如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【例3.4.】 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【例3.5.】 如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 题型4：折叠问题 【例4.1.】 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【例4.2.】 如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【例4.3.】 如图1，在矩形中，已知，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：； (3)在翻折过程中，当二面角为时；在平面内有一动点满足：直线与底面所成角正弦值为，求动点的轨迹长度. 【例4.4.】 如图1，在平行四边形中，，将沿翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)若点在平面内，，当三棱锥的体积最大时，求的长． 【例4.5.】 如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 题型5：作图问题 【例5.1.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【例5.2.】 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. (1)设平面，请在图中画出直线（不必说明理由），并求证：平面； (2)在侧面内画出P的轨迹，并求点到所在平面的距离； (3)当最小时，求二面角的余弦值. 【例5.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 【例5.4.】 如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 【例5.5.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 【例5.6.】 如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为. (1)求棱锥的体积（结果用表示）； (2)当时， ①请在图中直接画出平面与平面的交线；（不写过程，保留作图痕迹） ②求证：平面平面. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $