专题8.11 立体几何初步80道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题8.11 立体几何初步80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 正棱台及其有关计算 题型二 圆锥中截面的有关计算 题型三 球的截面的性质及计算 题型四 斜二测画法中有关量的计算 题型五 棱柱表面积的有关计算 题型六 柱体体积的有关计算 题型七 锥体体积的有关计算 题型八 台体体积的有关计算 【经典计算题一 正棱台及其有关计算】 1．设正三棱台的上下底面的边长分别为和，侧棱长为，求这个棱台的高. 【答案】. 【解析】画出正三棱台的图形，连接上下底面中心，就是棱台的高，求出，利用勾股定理，求出即可. 【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心，， 过作，垂足为， 上下面为正三角形，，， 则，， ， 即棱台的高为. 2．已知正四棱台两底面边长分别为3和9.若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高. 【答案】. 【解析】根据正四棱台的结构特征，由平面几何知识可分别求出底面积和侧面积，即可求出棱台的高． 【详解】如图所示： 由题意知，棱台的两底面面积之和为． 设棱台的斜高为，则， ，∴棱台的高为． 3．如图所示，正四棱台的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 【答案】这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为 【分析】取棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E，利用四边形，都是直角梯形计算． 【详解】设棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E.连接，，，OB，，OE，则四边形，都是直角梯形，如图. 正方形ABCD中，∵， ∴，. 在正方形中，∵， ∴，. 在直角梯形中， . 在直角梯形中， . 故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为. 4．如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与分别是下底面与上底面的中心.      （1）求棱台的斜高； （2）求棱台的高. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）棱台侧面是等腰梯形，在等腰梯形中可计算出斜高； （2）在直角梯形中计算高或补形为棱锥的直角三角形计算． 【详解】（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形. 如图（2）所示，在梯形中，分别过，作AC的垂线与，则由，可知，从而， 即斜高为. （2）根据O与分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出 . 假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱台的高. 因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图（3）所示，则是的中位线. 因为棱台的棱长为1，所以，，从而 ， 因此. 因此棱台的高为. 5．如果正三棱台的下底面边长为，上底面边长和侧棱长都为，求棱台的斜高与高. 【答案】斜高为，高为 【分析】过作于，在中，利用勾股定理可计算出，从而得出该正三棱台的斜高，过作于，在中，利用勾股定理计算出，即为该三棱台的高. 【详解】如图，过作于，在中，，， ，斜高为. 过作于，在中，，， ，高为. 6．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 【答案】4 【分析】利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求出棱台的高． 【详解】如图所示，在正三棱台ABC-A1B1C1中，两底面边长分别为AB=30cm，A1B1=20cm， ∴侧面积为S侧=3××（30+20）•DD1， 两底面积之和为S底=×（302+202）， ∵S侧=S底，∴•DD1=×1300，解得DD1=， ∴OO12==， ∴OO1=4； 即棱台的高为4． 【点睛】本题主要考查了求正三棱台的高的问题，其中解题时应结合图形，利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 7．已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高． 【答案】高是，斜高是． 【分析】取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B1K，正四棱台的高OO1＝FN，由此能求出正四棱台的高和斜高． 【详解】解：取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1， 过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E， 过F作FN⊥OE，交OE于N， 正四棱台的斜高B1K＝EF＝＝＝． 则正四棱台的高OO1＝FN＝＝＝． ∴正四棱台的高是，斜高是． 8．正四棱台的上、下两底面边长分别是3，6，其侧面积等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？ 【答案】斜高为，正四棱台的高为2. 【分析】如图，在正四棱台中，设分别为的中点，则为斜高，连接，过作，垂足为，则为正四棱台的高，根据侧面积与底面积的关系可得斜高，根据勾股定理可得体高. 【详解】 如图，在正四棱台中，设分别为的中点， 连接，过作，垂足为. 由正四棱台可得四边形为等腰梯形，由对称性可得， 故为斜高. 由正四棱台可得四边形为正方形且， 故且，同理，故， 故共面. 因为平面， 故平面，而平面， 故平面平面，而平面， 平面平面，故平面， 故为正四棱台的高. 因为侧面积等于两底面积之和，故， 故即斜高为. 由正四棱台可得四边形为等腰梯形， 故，故正四棱台的高为2. 9．若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高. 【答案】棱台的侧棱长为，斜高为 【解析】正棱台两底面中心分别为O和，AB和的中点分别是E，，四边形，都是直角梯形，在这两个直角梯形中计算． 【详解】如图，正三棱台中，两底面中心分别为O和，AB和的中点分别是E，，连接，，，OA，，OE，则四边形，都是直角梯形. 在等边中，，则，. 在等边中，，则，. 在直角梯形中，， 所以， 即棱台的侧棱长为. 在直角梯形中， ， 即棱台的斜高为. 10．如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解； （2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解. 【详解】（1）解：过点、分别在平面内作，， 垂足分别为点、，如下图所示： 根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形， 因为四边形为正方形，且，则，同理， 在等腰梯形内，因为，，， 所以，四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 所以，， 所以，该正四棱台的侧棱长为. （2）解：过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，，，， 则四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 则，所以，. 因此，直线与的距离为. 【经典计算题二 圆锥中截面的有关计算】 11．如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥.如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比.    【答案】 【分析】根据平面平行得到三角形相似，进而得到两个圆锥的底面面积之比 【详解】设是大圆锥的一条母线， 过和的平面与两个圆锥的底面的交线分别为直线和， 则由两个平面平行的性质定理，知；所以∽， 设圆锥的底面面积为，圆锥的底面面积为， 所以. 12．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的母线与圆台的母线之比为3：1，圆台的上底面半径为3cm，求圆台的下底面面积. 【答案】 【分析】根据三角形相似即可得下底面圆的半径，进而可求圆的面积. 【详解】如图，设PA为大圆锥的一条母线， 过PA和 的平面与两个圆锥的底面的交线分别为和，则由两个平面平行的性质定理，知，所以， 所以， 由题意，得，则， 所以，所以圆台的下底面面积为. 13．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面面积，结合正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. （2）在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 14．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长． 【答案】． 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】设圆台的母线长为，由截得圆台上、下底面的面积之比为，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为，．过轴作截面，如图所示． 则，所以， 又， 所以，解得， 即圆台的母线长为9cm. 15．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积. 【答案】 【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解. 【详解】如图所示作出轴截面， 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径， 设圆锥的截面圆的半径为x. 因为，所以是等腰直角三角形. 又，所以，故. 所以截面积. 16．一个圆锥的底面直径为，高为，在它的内部有一个高为的内接圆柱． （1）用表示圆柱的轴截面面积， （2）当为何值时，最大． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用轴截面中三角形相似求出圆柱的底面半径，再根据矩形的面积公式可得结果； （2）利用二次函数知识可求得结果. 【详解】（1）画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示． 设圆柱的底面半径为， 则由三角形相似可得，解得． 圆柱的轴截面面积为． （2）， 所以当时，取最大值． 17．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24. （1）求圆台的母线长l. （2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知可得，结合题干数据和勾股定理可求解，即得解； （2）设正方体的棱长为x，利用相似三角形的比例关系列出等量关系，可得解. 【详解】(1)由已知，又 所以， 所以，圆台的母线 （2） 如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x， 则 解得 故正方体的棱长为 18．若一圆锥的底面半径为4，体积是. （1）求该圆锥的母线长； （2）已知该圆锥的顶点为，并且、为圆锥的两个母线，求线段长度为何值时，△的面积取得最大值？ 【答案】（1）5；（2）. 【分析】（1）先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果； （2）先确定△的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求长度. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径为4，体积是，所以 因此母线长为； （2）△的面积 因为，所以当时，△的面积取最大值，此时 【点睛】本题考查圆锥的体积以及截面积，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．已知正方体内接于圆锥，如图所示． （1）试说明此几何体的结构特征． （2）若圆锥的高为，底面半径为，求正方体的棱长． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【分析】画出几何体的轴截面，根据轴截面计算出正方体的对角线长，进而求算出正方体的棱长. 【详解】（1）该几何体是一个正方体内接于一个圆锥，其中正方体上底面的面对角线在圆锥的母线上，下底面位于圆锥的底面. （2）画出几何体的轴截面如下图所示，其中为正方体的面对角线，设正方体的边长为，则，依题意，且，即，解得. 【点睛】本小题主要考查圆锥内接正方体棱长的求法，考查解直角三角形，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 20．如图所示，有一块矩形铁皮，，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求： （1）矩形铁皮的长度； （2）做成的圆锥体的体积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）取半圆的圆心记作点，圆面的圆心记作，作交于点， 求出圆锥底面半径和母线长，利用勾股定理，结合图形求出的值； （2）由圆锥的母线长和底面半径求得圆锥的高，再计算圆锥的体积． 【详解】解：如图所示：取半圆的圆心记作点，圆面的圆心记作，作交于点，设圆锥底面半径为，圆锥母线长为，则：， （1）在中，由勾股定理可得： （2）由（1）可得：圆锥的母线长，底面半径， 则圆锥的高为： 圆锥的体积为： 【经典计算题三 球的截面的性质及计算】 21．用一个平面截半径为13cm的球，截面面积是，求球心到截面的距离． 【答案】 【分析】首先作出过球心和截面圆圆心的截面图，根据几何关系，即可求解. 【详解】作过球心和截面圆圆心的截面图，如图所示，    设球的半径为，截面圆的半径为，则，则， 如图，，，球心到截面的距离. 22．如图，O为球心，为小圆的圆心，大圆O与小圆平行，已知球的半径r为13，小圆的半径为5，求大圆O与小圆之间的距离d． 【答案】12 【分析】先利用球的性质得到大圆O与小圆之间的距离即为，再利用直角三角形进行求解. 【详解】易知大圆O与小圆之间的距离即为， 记小圆圆周上任意一点为A，且大圆O与小圆平行， 所以为直角三角形． 则， 即大圆O与小圆之间的距离为12． 23．将地球视为球体，记地球半径为R，地球球心为O，设A､B为赤道上两点，且半径OA与OB的夹角为 (1)求线段AB的长； (2)赤道在A､B两点间的劣弧长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在中，由余弦定理可得答案. （2）在大圆面内由弧长公式可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 所以 （2）赤道在A､B两点间的劣弧长： 24．已知球的半径为5. （1）求球的表面积； （2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离. 【答案】（1）；（2）1或7. 【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可； （2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可. 【详解】解：（1）因为球的半径为，所以球的表面积为. （2）设两个半径分别为和的平行截面的圆心分别为和， 所以， 所以， 所以， 或， 所以两个截面之间的距离为1或7. 【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题. 25．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，求这两个平行平面的距离． 【答案】cm或cm. 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、， 球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm． 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和， 即cm． 26．我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【答案】30660 【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可. 【详解】 如图，是北纬上一点，由题意得，， 所以，故， 设是北纬的纬线长，． 27．如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离． (1)是边长为3的正三角形； (2)是边长分别为，，的三角形． （以上结果均保留2位小数） 【答案】(1)9.85 (2)9.11 【分析】结合图形，利用正弦定理求得，再利用即可求得所求. 【详解】（1）记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有， 因为是边长为3的正三角形，利用正弦定理，得， 所以，解得． （2）记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有， 因为是边长分别为，，， 所以由余弦定理得， 又，所以， 再由正弦定理得，即， 所以． 28．已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 【答案】． 【分析】记正三角形所在小圆的圆心为，根据球的半径为2，球心到平面的距离为1，求得OE的长度，再由过点的截面与垂直时，截面面积最小求解. 【详解】记正三角形所在小圆的圆心为， 因为球的半径为2，球心到平面的距离为1， 则，，． 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面面积最小， 此时截面小圆半径，面积． 即截面面积的最小值为． 29．三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切. (1)求球心O到三角形各边的距离； (2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离； (3)求球心O到三角形各顶点的距离. 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】（1）由三角形各边都与球O相切即可求解； （2）先求出过三角形的平面截球形成的小圆的半径，再由勾股定理求得球心O到三角形ABC所在平面的距离； （3）先求出圆心到三个顶点的距离，再计算球心O到三角形各顶点的距离即可. 【详解】（1）由各边都与半径为2的球O相切可得球心O到三角形各边的距离为球的半径2； （2） 过三角形的平面截此球所得截面为小圆，在中，设为的周长，为内切圆的半径， 则，得，则球心到圆心的距离为；即球心O到三角形ABC所在平面的距离为； （3） 连接，由（2）得内切圆的半径为1，则，， ，则球心O到顶点的距离，球心O到顶点的距离， 球心O到顶点的距离. 30．已知三棱锥的各个顶点都在球O的表面上，底面ABC，，，，D是线段AB上一点，且．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，求球O的半径． 【答案】 【分析】设面ABC所截圆的圆心为，外接球的球心为O，取AB的中点E，，由求得球的半径，由求得与OD垂直的圆的半径求解. 【详解】解：如图所示： 因为，，，由勾股定理可得． 设面ABC所截圆的圆心为，外接球的球心为O，则有． 取AB的中点E，连接，，则，故，． 设，则． 设球的半径为R，则． 故与OD垂直的截面圆的半径， 所以． 故所得截面圆面积的最小值为，而最大截面圆的面积为， 所以， 解得，． 【经典计算题四 斜二测画法中有关量的计算】 31．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 32．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积. 【答案】答案见解析， 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图.进而求得三角形面积. 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示， 则的面积为. 33．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，，求DC的长度， 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原后计算即可. 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，故原高为， 画出原图形如图所示，过点D作于E， 而横向长度不变，且梯形是直角梯形， 所以. 34．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．    （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ． （2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形． （3）由已知可得在中，，，故． （4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高）， 画直观图后，，， ． 35．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高． 【答案】 【分析】根据题意，作出梯形的直观图，结合斜二测画法的规则，结合，得到，直观图的高，即可求解. 【详解】如图（1）所示，过点作，垂足为，过作轴，垂足为， 因为四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，可得， 在直角中，可得，所以， 如图（2）所示，在梯形的直观图中， 分别坐标，，垂足分别为， 因为轴，所以， 延长交于点，根据斜二测画法的规则，可得， 在直角中，可得， 即直观图的高为. 36．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，求这个平面图形的面积．    【答案】 【分析】根据直观图还原平面图形,再求解面积即可. 【详解】根据斜二测画法可知原直角梯形中,∵在直观图中，，可得. ∴原平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形， ∴原平面图形的面积为． 37．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积． 【答案】作图见解析，面积cm2 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高度，求出面积. 【详解】画法:(1)如图 (1),在等边三角形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点.在图 (2)中,画相应的轴与轴,两轴相交于点,使. (2)在图 (2)中,以为中点,在轴上取,在轴上取. (3)连接,并擦去辅助线轴和轴,便获得等边三角形水平放置的直观图(图 (3)). 由题意在平面直角坐标系中，三角形是边长为2的正三角形 ∴，边上的高为， 在三角形中，， ∴, 边上的高， 故 ， 故直观图面积cm2. 38．用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形A′B′C′边B′C′上的高及△A′B′C′的面积. 【答案】边B′C′上的高为，面积为. 【分析】根据斜二测画法的规则，求出原三角形的底边长和高，可得面积. 【详解】作于，在上取点，使; 因为直角三角形ABC中，AC＝1，∠ABC＝30°， 所以.由面积相等可得边上的高为，所以； 根据斜二测画法的规则，则，； 所以△A′B′C′的面积为. 39．如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′. 【答案】 【分析】根据斜二测画法原则可还原各条线段的位置和长度，从而得到四边形的面积． 【详解】设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝ 由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S. 原直角梯形面积为 S′＝2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝ 即梯形OABC的面积为 40．如图，菱形的一边长为2，，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积. 【答案】图形见解析，8 【分析】在菱形中，分别以，所在的直线为轴､轴建立坐标系，根据斜二测画法的性质得到原图形，再计算面积得到答案. 【详解】①画轴.在菱形中，分别以，所在的直线为轴､轴建立坐标系(与重合)，如图1，另建立平面直角坐标系，如图2. ②取点.在坐标系中，分别在轴轴上取点，，使（与重合），.过点作轴，且. ③成图.连接，得到的矩形即为这个四边形的原图形. 原图形的面积. 【经典计算题五 棱柱表面积的有关计算】 41．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积． 【答案】8 【分析】把正方体的表面展开，得到5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，直接求面积即可. 【详解】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为，其面积为8．      图①                 图② 42．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四楼柱的侧面积.(本题需自己作图并指明长度，无图不得分) 【答案】 【分析】设题中直四棱柱为，作出图形，设底面对角线，其交点为，由题意知，根据题意求出底面菱形的边长，进而可以求出侧面积. 【详解】设题中直四棱柱为，如图所示，设底面对角线，其交点为，由题意知, 所以， 所以. 因为底面是菱形，所以, 所以， 即, 所以该直四棱柱的侧面积为. 43．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积､表面积. 【答案】直四棱柱的侧面积160，直四棱柱的表面积 【分析】根据已知可建立关系求出底面菱形的对角线，即可求出侧面积和表面积. 【详解】如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O， 体对角线A1C=15，B1D=9，∴a2+52=152，b2+52=92， ∴a2=200，b2=56，∵该直四棱柱的底面是菱形， ， ∴AB=8. ∴直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160. ∴直四棱柱的底面积. ∴直四棱柱的表面积. 44．三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【答案】 【分析】如图，由已知条件可知，侧面是平行四边形，也是平行四边形，为矩形，计算可得. 【详解】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 45．直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【答案】 【分析】设底面三边长分别为，利用余弦定理求得底面三角形的最大内角的余弦值，从而得正弦值，再根据全面积公式即可求解. 【详解】设底面三边长分别为， 则， 设长为的边所对的三角形内角为，则， 所以， 所有， 所有，即， 解得（舍去负值）， 所以底面三边长分别为. 46．求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积． 【答案】见解析 【分析】转化为直棱柱，利用直棱柱侧面积公式可得证. 【详解】如图，不妨以斜棱柱为例，    其中斜棱柱的侧棱长为，直截面的周长为， 延长侧棱到，使， 设过平行于直截面的平面与各侧棱的延长线交于， 这样就得到一个以斜棱柱的直截面为底，侧棱长为高的直棱柱， 因为底面底面，它们的公垂线段， 所以斜棱柱的各侧面的面积与直棱柱中对应的侧面积相等， 所以，即. 47．在长方体中，底面两边，对角面的面积是50．求该长方体的侧面积． 【答案】124 【分析】根据长方体底面长宽比及对角面面积可求出长方体的侧面积. 【详解】如图，    设，， ， 对角面的面积为， 解得， 长方体的侧面积. 48．正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积． 【答案】或 【分析】根据已知分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入表面积计算公式即可. 【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形, 所以有以下两种情况： 当2是下底面的周长，4是正三棱柱的高时， 正三棱柱的表面积为； 当4是下底面的周长，2是正三棱柱的高时， 正三棱柱的表面积为； 故答案为：或. 49．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，． (1)求该直三棱柱的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值，并求出此时大棱柱的外接球的直径 【答案】(1) (2)表面积最小值为，外接球的直径为； 【分析】（1）该几何体共有5个面，分别求解底面面积与侧面面积，即可得到表面积； （2）当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小，确定此时的大棱柱为长方体，由长方体的表面积公式以及外接球的性质求解即可． 【详解】（1）解：（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，， 该几何体有5个面，两个底面的面积均为， 三个侧面面积之和为， 所以该直三棱柱的表面积为； （2）解：设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为， 则组合后的直棱柱的表面积为， 所以当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小， 又侧面的面积最大， 此时拼得的大棱柱为长方体，其表面积最小，最小值为， 大棱柱为长方体，其外接球的直径即为长方体的体对角线， 所以外接球的直径长为． 50．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，. (1)求该几何体的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算出三棱柱的上下底面面积和侧面积，加和即可得到结果； （2）若大棱柱表面积最小，则面积最大的侧面相接，由此可计算得到最小值. 【详解】（1），，，， 三棱柱的上下底面面积之和为； 又三棱柱为直三棱柱，侧面均为矩形， 三棱柱的侧面积为； 三棱柱的表面积. （2）若要拼接而成的大棱柱表面积最小，则需面积最大的侧面相接，即侧面； 大棱柱表面积的最小值为 【经典计算题六 柱体体积的有关计算】 51．在直三棱柱中，，，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求直三棱柱的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式和棱柱的体积公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用余弦定理求得，结合直棱柱的侧面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，因为，且， 可得， 又由直三棱柱中，，即直三棱柱的高为， 所以直三棱柱的体积. （2）在中，因为，且， 可得，可得， 则直三棱柱的侧面积， 所以直三棱柱的表面积. 52．已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；    【答案】； 【分析】根据棱柱的体积公式可求得. 【详解】由底面菱形的两对角线长分别为，， 不妨设，， 则底面菱形的面积（） 所以该棱柱的体积为（） 53．已知正六棱柱最长的对角线长为13cm，其一个侧面的面积为，求棱柱的体积. 【答案】或 【分析】设底面边长为，高为，根据题意列出方程，再由棱柱的体积公式，即可得到结果. 【详解】解：因为正六棱柱最长的一条对角线长为13 cm，一个侧面的面积为， 设底面边长为cm，高为cm， 则，解得或，（负值舍去）， 则这个棱柱的体积 或， 故棱柱的体积为或. 54．已知三棱柱的底面是，，，，侧棱的长为20cm，且侧棱与底面所成的角为，求这个三棱柱的体积． 【答案】 【分析】根据侧棱与底面所成的角为，可得棱柱的高，且底面为直角三角形，再结合棱柱的体积公式，即可得到结果. 【详解】因为三棱柱的底面是，，，， 所以底面为直角三角形， 又因为侧棱与底面所成的角为 所以三棱柱的高为， 所以体积． 55．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图l，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F﹐，分别为所在棱的中点，求图1中水面的高度. 【答案】 【分析】设出三棱柱底面积，利用相似知识得到，进而求出表达出四边形BCFE的面积及水的体积，求出图1中水面高度. 【详解】设正三棱柱的底面积为S， 因为E，F，，分别为所在棱的中点．所以，即． 所以四边形BCFE的面积， 所以， 则图1中水面的高度为． 56．如图，已知正六棱柱面积最大的对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为lm，求这个六棱柱的体积． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质，结合棱柱的体积公式进行求解即可. 【详解】解：设正六棱柱的底面边长为，高为， 因为正六棱柱面积最大的对角面的面积为，所以， 由余弦定理可知：互相平行的两个侧面的距离为， 解得，． 所以六棱柱的体积． 57．如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】(1)表面积为，容积为 (2)6 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. 【详解】（1）表面积， 体积； （2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 58．如图，把边长为的正方形沿对角线折起，使（折叠后的）四点、、、为顶点的三棱锥体积最大，求此三棱锥的表面积和体积. 【答案】答案见解析 【分析】当三棱锥体积最大时，即二面角为时体积最大，从而求出体积及表面积. 【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱锥的体积最大， 如图，取的中点，连结，，由题意可知，， 则，且，所以：， 所以和是边长为的等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， 所以三棱锥的表面积为：， 所以三棱锥的最大体积为： 59．某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m．    (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土？ (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少（保留整数，且） 【答案】(1)立方米 (2)平方米 【分析】（1）由题意，水渠的形状是一个棱柱，根据棱柱的体积公式求解即可； （2）需要水泥的部分是三个矩形的面积，根据题干数据计算即可. 【详解】（1）    由题意，水渠的形状可看成一个四棱柱，设棱柱的底面积为，高为， 由棱柱的上下底面等腰梯形，其等腰梯形的面积， 棱柱的高，故棱柱的体积为：， 故需要挖出立方米的土 （2）    水渠有三个面是矩形，底面面积是， 如上图，过作，过作，垂足是， 根据等腰梯形性质可得，，故， 则两个矩形面积之和是：， 故一共需要水泥面积是平方米 60．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，， (1)将S表示为x的函数； (2)求V的最大值． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）连接，求出，即得解； （2）求出V的解析式，再利用二次函数图象性质求解. 【详解】（1）连接，因为矩形ABCD内接于⊙O， 所以AC为⊙O的直径． 因为，， 所以， 所以， （2）因为长方体的高， 所以， 因为，所以， 故当即时，V取得最大值，此时. 【经典计算题七 锥体体积的有关计算】 61．已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接求三棱锥体积； （2）四棱锥的表面由正方形和四个直角三角形所围成，分别求出面积即可. 【详解】（1）； （2）四棱锥的表面由正方形和四个直角三角形所围成， ，，， 则与全等，与全等， 因为，，， 所以. 62．正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，因为，所以，然后计算出四个侧面三角形的面积，计算表面积即可； （2）由于为上靠近的三等分点，所以，由体积公式求解即可. 【详解】（1） 取的中点，连接， 所以， 因为，所以， 所以， ， 所以四棱锥的表面积为； （2）因为， 所以， 又为上靠近的三等分点，所以， 63．如图，在三棱柱的侧棱和上分别取P、Q两点，使PQ平分侧面的面积．求平面PQC把棱柱所分成的两部分的体积之比． 【答案】 【分析】利用锥体体积公式及同底等高的锥体与柱体的体积比即可求解. 【详解】由题意，平面PQC把棱柱分为棱锥与几何体， 连接，因为PQ平分侧面的面积， 所以 ， 所以，. 64．正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.    (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点可得，求出侧面积、底面积可得答案； （2）根据可得答案. 【详解】（1）取的中点，连接，， 所以，， 因为，所以， 所以， ， 所以四棱锥的表面积为； （2）因为，， 所以， 又M为PD上靠近P的三等分点，所以， 则.    65．已知在长方体中，，，，为棱的中点.    (1)求三棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积； （2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解. 【详解】（1）解：在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 可得， 所以三棱锥的表面积为. （2）解：在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 且 所以. 66．已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形． (1)若该几何体的高为2，求该几何体的体积V； (2)若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S． 【答案】(1)8； (2)． 【分析】（1）利用锥体的体积公式求解； （2）先求出四棱锥对侧面底边上的高，再分别求得各侧面的面积相加即可. 【详解】（1）解：该几何体是一个高为2，底面为矩形的四棱锥， 所以该几何体的体积． （2）正侧面及相对侧面底边上的高． 左、右侧面的底边上的高． 故几何体的侧面面积． 67．棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，求三棱锥的体积 【答案】1 【分析】根据等体积法，即可根据锥体体积公式求解. 【详解】如图，由正方体棱长为2及分别为棱的中点，得， 又易知为三棱锥的高，且， ∴ 68．如图，已知在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)84 (2) 【分析】（1）根据表面积公式即可求解， （2）根据体积公式即可求解. 【详解】（1）连接相交于，连接 过点作于点，连接，则是斜高， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， ． 所以正四棱锥的表面积为84．    （2）， 所以正四棱锥的体积为； 69．如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积． 【答案】8 【分析】利用割补法或直接法求棱锥体积. 【详解】因为，，，所以； 方法1、由题意可知. 又. . ， 所以，. 方法2、在中，过C作，垂足为F， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又. 在中，. ∴. 70．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求： (1)四棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得； （2）根据M、N的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积. 【详解】（1）作，垂足为E， 由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以 所以； （2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点 因为 所以 又是的中点， 所以 ． 【经典计算题八 台体体积的有关计算】 71．已知圆台上、下底面的半径分别为、，高为h．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用圆台可以看作是一个大圆锥的体积截去一个小圆锥的体积得到可得答案. 【详解】其轴截面如图，设小圆锥的高为，圆心为，大圆锥的底面圆心为， 由相似可得，所以， 则小圆锥的体积为， 大圆锥的体积为， 所以圆台的体积为 . 72．如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆台的性质可知，，，故四边形为等腰梯形. （2）剩余部分的体积等于圆台的体积减去圆锥的体积. 【详解】（1）因为，为圆台两条母线， 所以，且它们都在同一个平面内， 又由于圆台的上下底面都是圆，由圆的同心性和圆台的形成可知，， 故四边形为等腰梯形. （2）如图所示： 连接,过点作于点，    则,所以由勾股定理得高， ， ， 故剩余部分的体积. 73．如图，在正四棱台中，分别为棱上的点.已知，正四棱台的高为6. (1)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积； (2)若某圆锥的体积与三棱台的体积相等，该圆锥的底面为的外接圆，求该圆锥的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据台体的体积公式求出、，再作差即可得解； （2）首先求出外接圆的半径，即可求出圆锥的底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得正四棱台的体积． 三棱台的体积． 故所求几何体的体积． （2）因为为等腰直角三角形，且， 所以外接圆的半径， 所以该圆锥的底面积为． 设圆锥的高为，则， 解得，即该圆锥的高为． 74．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求 (1)该四棱台的侧棱长 (2)该四棱台的体积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出四棱台的直观图，解直角三角形即可求得答案； （2）利用棱台的体积公式即可求得答案. 【详解】（1）如图，设为正棱台上下底面的中心，连接，作，垂足为E，    则四边形为矩形， 则，则， 故，即正棱台侧棱长为， （2）根据棱台体积公式可得该四棱台体积为. 75．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：共面； (2)求四边形的周长； (3)求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明确定四点共面. （2）分别计算各线段长度得到周长. （3）确定多面体为三棱台，再利用棱台的体积公式计算即可. 【详解】（1）连接，如下图： 正方体中，且，故四边形是平行四边形， 故， G､M分别是棱､BC的中点，故，即， 故共面. （2），，. 所以四边形的周长. （3）多面体为三棱台，体积为. 76．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面半径为1 cm，原大圆锥的底面半径为4 cm，原来大圆锥的母线长为12 cm，求圆台的体积. 【答案】 【分析】根据三角形相似求出，再求出大、小圆锥的体积之比，由体积公式求出大圆锥的体积，即可得到小圆锥的体积，从而求出圆台的体积. 【详解】解：如图，设为大圆锥的一条母线，    过和的平面与两个圆锥的底面的交线分别为直线和， 则由两个平面平行的性质定理，知， ，所以． 由，， 所以，， 同时， 由圆锥体积公式，得， 又， ， 所以 77．一个棱台的高为20cm，体积为，两底面对应边的比为5：8，求这个棱台两个底面的面积． 【答案】上底面50（），下底面128（） 【分析】由底面边长比为5：8，得上下底面面积比为25：64，设上底面积为，则下底面积，利用圆台体积公式能求出这个棱台的两个底面积． 【详解】∵底面边长比5：8，∴上下底面面积比：25：64， 设上底面积为，则下底面积， ∵棱台的高为20cm，体积为1720， ∴1720＝（＋＋）20， 解得＝2， ∴上底面积：＝25×2＝50（）， 下底面积：＝64×2＝128（）． 78．已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和． (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【答案】(1)112 (2)168 【分析】（1）根据棱台的体积公式计算即可； （2）求出正四棱台的斜高，计算正四棱台各个面的面积之和即可. 【详解】（1）正四棱台的体积. （2）正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积， 故正四棱台的表面积. 79．如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． (1)证明：四棱台的体积； (2)已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）将棱台补成棱锥后利用棱锥的体积公式棱台的体积公式； （2）（i）由（1）中的公式可求棱台的体积；（ii）由棱锥的体积公式可求、，由等积法可求，故可求两个几何体的体积，从而得到体积比. 【详解】（1）将四棱台的侧棱延长后，侧棱必定交于一点，设该点为， 设小棱锥的高为，则，， 而，故， 故四棱台的体积， 故 . （2）（i）由（1）中公式可得正四棱台的体积为： ， （ii）如图，连接， 则，， 而，故，故， 故，故几何体的体积，故， 故. 80．如图所示，正四棱台两底面的边长分别为4和8. (1)若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为，求该四棱台的表面积； (2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用线线角去解直角三角形，就可以求出斜高，从而可求表面积； （2）利用题意可得方程去解出斜高，从而求出棱台的高，即可利用棱台体积公式求解. 【详解】（1） 如图，连接，设与交于点与交于点， 过点作交于点，过点作交于点，连接, 由题意知, 在中，， 又， 则， 故该四棱台的表面积. （2）设该正四棱台的斜高为，解得， 又该正四棱台的高， 故该四棱台的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.11 立体几何初步80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 正棱台及其有关计算 题型二 圆锥中截面的有关计算 题型三 球的截面的性质及计算 题型四 斜二测画法中有关量的计算 题型五 棱柱表面积的有关计算 题型六 柱体体积的有关计算 题型七 锥体体积的有关计算 题型八 台体体积的有关计算 【经典计算题一 正棱台及其有关计算】 1．设正三棱台的上下底面的边长分别为和，侧棱长为，求这个棱台的高. 2．已知正四棱台两底面边长分别为3和9.若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高. 3．如图所示，正四棱台的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 4．如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与分别是下底面与上底面的中心.      （1）求棱台的斜高； （2）求棱台的高. 5．如果正三棱台的下底面边长为，上底面边长和侧棱长都为，求棱台的斜高与高. 6．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 7．已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高． 8．正四棱台的上、下两底面边长分别是3，6，其侧面积等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？ 9．若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高. 10．如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【经典计算题二 圆锥中截面的有关计算】 11．如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥.如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比.    12．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的母线与圆台的母线之比为3：1，圆台的上底面半径为3cm，求圆台的下底面面积. 13．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 14．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长． 15．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积. 16．一个圆锥的底面直径为，高为，在它的内部有一个高为的内接圆柱． （1）用表示圆柱的轴截面面积， （2）当为何值时，最大． 17．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24. （1）求圆台的母线长l. （2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长. 18．若一圆锥的底面半径为4，体积是. （1）求该圆锥的母线长； （2）已知该圆锥的顶点为，并且、为圆锥的两个母线，求线段长度为何值时，△的面积取得最大值？ 19．已知正方体内接于圆锥，如图所示． （1）试说明此几何体的结构特征． （2）若圆锥的高为，底面半径为，求正方体的棱长． 20．如图所示，有一块矩形铁皮，，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求： （1）矩形铁皮的长度； （2）做成的圆锥体的体积. 【经典计算题三 球的截面的性质及计算】 21．用一个平面截半径为13cm的球，截面面积是，求球心到截面的距离． 22．如图，O为球心，为小圆的圆心，大圆O与小圆平行，已知球的半径r为13，小圆的半径为5，求大圆O与小圆之间的距离d． 23．将地球视为球体，记地球半径为R，地球球心为O，设A､B为赤道上两点，且半径OA与OB的夹角为 (1)求线段AB的长； (2)赤道在A､B两点间的劣弧长. 24．已知球的半径为5. （1）求球的表面积； （2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离. 25．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，求这两个平行平面的距离． 26．我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 27．如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离． (1)是边长为3的正三角形； (2)是边长分别为，，的三角形． （以上结果均保留2位小数） 28．已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 29．三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切. (1)求球心O到三角形各边的距离； (2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离； (3)求球心O到三角形各顶点的距离. 30．已知三棱锥的各个顶点都在球O的表面上，底面ABC，，，，D是线段AB上一点，且．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，求球O的半径． 【经典计算题四 斜二测画法中有关量的计算】 31．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 32．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积. 33．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，，求DC的长度， 34．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．    （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 35．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高． 36．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，求这个平面图形的面积．    37．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积． 38．用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形A′B′C′边B′C′上的高及△A′B′C′的面积. 39．如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′. 40．如图，菱形的一边长为2，，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积. 【经典计算题五 棱柱表面积的有关计算】 41．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积． 42．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四楼柱的侧面积.(本题需自己作图并指明长度，无图不得分) 43．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积､表面积. 44．三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 45．直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 46．求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积． 47．在长方体中，底面两边，对角面的面积是50．求该长方体的侧面积． 48．正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积． 49．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，． (1)求该直三棱柱的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值，并求出此时大棱柱的外接球的直径 50．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，. (1)求该几何体的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值. 【经典计算题六 柱体体积的有关计算】 51．在直三棱柱中，，，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求直三棱柱的表面积． 52．已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；    53．已知正六棱柱最长的对角线长为13cm，其一个侧面的面积为，求棱柱的体积. 54．已知三棱柱的底面是，，，，侧棱的长为20cm，且侧棱与底面所成的角为，求这个三棱柱的体积． 55．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图l，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F﹐，分别为所在棱的中点，求图1中水面的高度. 56．如图，已知正六棱柱面积最大的对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为lm，求这个六棱柱的体积． 57．如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 58．如图，把边长为的正方形沿对角线折起，使（折叠后的）四点、、、为顶点的三棱锥体积最大，求此三棱锥的表面积和体积. 59．某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m．    (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土？ (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少（保留整数，且） 60．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，， (1)将S表示为x的函数； (2)求V的最大值． 【经典计算题七 锥体体积的有关计算】 61．已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积． 62．正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 63．如图，在三棱柱的侧棱和上分别取P、Q两点，使PQ平分侧面的面积．求平面PQC把棱柱所分成的两部分的体积之比． 64．正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.    (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 65．已知在长方体中，，，，为棱的中点.    (1)求三棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 66．已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形． (1)若该几何体的高为2，求该几何体的体积V； (2)若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S． 67．棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，求三棱锥的体积 68．如图，已知在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 69．如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积． 70．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求： (1)四棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 【经典计算题八 台体体积的有关计算】 71．已知圆台上、下底面的半径分别为、，高为h．求证：． 72．如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 73．如图，在正四棱台中，分别为棱上的点.已知，正四棱台的高为6. (1)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积； (2)若某圆锥的体积与三棱台的体积相等，该圆锥的底面为的外接圆，求该圆锥的高. 74．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求 (1)该四棱台的侧棱长 (2)该四棱台的体积 75．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：共面； (2)求四边形的周长； (3)求多面体的体积. 76．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面半径为1 cm，原大圆锥的底面半径为4 cm，原来大圆锥的母线长为12 cm，求圆台的体积. 77．一个棱台的高为20cm，体积为，两底面对应边的比为5：8，求这个棱台两个底面的面积． 78．已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和． (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 79．如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． (1)证明：四棱台的体积； (2)已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 80．如图所示，正四棱台两底面的边长分别为4和8. (1)若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为，求该四棱台的表面积； (2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $