微专题：立体几何中的截面问题（专项训练+6题型） -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何截面问题，通过六类题型构建从定性判断到定量计算的完整训练体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面形状判断|6题|正方体、三棱锥等几何体截面形状识别|平面基本性质与几何体结构特征结合| |作截面图形|7题|给定三点作截面及交线确定|公理3应用与空间作图规范| |截面周长计算|6题|正方体、长方体截面边长与周长求解|空间距离计算与平面图形性质| |截面面积计算|6题|规则与不规则截面面积计算|图形分割与面积公式应用| |截面体积计算|6题|几何体被截面分割后的体积比|体积公式与分割法结合| |截面面积最值|5题|动态截面面积范围与最值|函数思想与空间几何综合|

微专题：立体几何中的截面问题 一、题型一 截面形状的判断 1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 3．如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 4．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 5．若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6．E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.    一、题型一 作截面图形 7．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线．    (1)画出直线的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)求三棱锥的体积． 8．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 9．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    10．如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    11．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 12．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 13．如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 三、题型三 截面周长的计算 14．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 15．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 16．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 17．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 19．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________． 四、题型四 截面面积的计算 20．已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 22．在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 23．如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 24．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 25．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 五、题型五 截面体积的计算 26．已知正方体 ，棱的中点分别为，平面 截正方体得两个几何体，体积分别记为，则 （    ） A． B． C． D． 27．如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 28．在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 29．在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 30．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 31．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.      (1)画出直线的位置，并说明作图依据； (2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积. 六、题型六 截面面积的最值 32．在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 33．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（    ） A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体 D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为 34．在如图所示的棱长为的正方体中，作与平面平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是__________；截得的平面图形中，面积最大的值是__________． 35．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，． (1)证明截面是矩形； (2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由． 36．正四棱锥的底面正方形边长是3，是在底面上的射影，，是上的一点，过且与、都平行的截面为五边形． （1）在图中作出截面，并写出作图过程； （2）求该截面面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：立体几何中的截面问题 一、题型一 截面形状的判断 1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 2．已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 3．如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 4．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 5．若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】ABC 【分析】根据四棱锥的几何特点解题即可. 【详解】如下图 （1）截面为三角形 （2）截面为四边形 （3）截面为五边形 而四棱锥共5个面，故截面的形状不可能是六边形. 故选：ABC 6．E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.    【答案】五边形 【分析】由平面的基本性质作出截面图形即可判断. 【详解】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，    连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME， 则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面； 故答案为：五边形. 二、题型二 作截面图形 7．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线．    (1)画出直线的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）延长与的延长线交于，连接即为所求； （2）根据结合三棱锥的体积公式求解出结果. 【详解】（1）如图所示直线即为所求：      依据如下：延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置． ， 平面，平面， 平面平面， 又由题意显然有平面平面， 平面平面，则即为直线的位置． （2）因为， 所以. 8．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【答案】(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 9．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 10．如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 11．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 因为，所以， 又 所以，所以，则. 12．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【分析】过点作的平行线即可. 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 13．如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 【答案】作图见解析 【分析】连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，设，连接即得. 【详解】设，，三点确定的平面为，则与平面交于． 连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，则为平面与平面的交线． 设，则是与平面的交线，如下图所示． 三、题型三 截面周长的计算 14．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 15．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 16．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 17．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面面平行得出线面平行，设出比例，根据相似表示出边长，最后求得周长. 【详解】如图，截面，由于， 则， 设，则， ，， 则， 则周长为， 故选：A. 18．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    19．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________． 【答案】 【分析】根据平面的性质与公理找出截面，进行求解即可. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 则四边形即为所求截面图形,如图， 因为为的中点，由相似比可知为的中点， 则，因为，分别为，中点， 所以， 所以，， 同理，， 所以周长为. 故答案为：. 四、题型四 截面面积的计算 20．已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为.    21．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 22．在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系可作出过三点的截面，结合垂直关系和长度关系可求得结果. 【详解】连接，取中点，则三点共线，在上取点，满足；在上取点，满足；在上取点，满足；连接； ，，，又， ，五点共面； 同理可得：五点共面， 四边形即为过三点的平面截正方体得到的截面多边形； ，平面，平面， 又平面，，四边形为矩形； ，，， 又，. 故选：B. 23．如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 24．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 25．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 五、题型五 截面体积的计算 26．已知正方体 ，棱的中点分别为，平面 截正方体得两个几何体，体积分别记为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何性质可得平面即为平面，根据台体的体积公式与正方体体积公式分别求解，从而可得的值. 【详解】不妨设正方体的棱长为，连接， 因为正方体 ，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 因为的中点分别为，所以，则， 所以平面即为平面，几何体为一个三棱台， 则， 又正方体的体积为，所以， 则. 故选：D. 27．如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 【答案】C 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为， 则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. 28．在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求几何体的体积，再根据截面位置求被截较小部分的体积即可. 【详解】由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示， 有，，四边形为平行四边形，有， 点 E、F分别为线段、的中点，则， 所以平面即为平面AFE截几何体的截面. 因为，， 所以几何体的体积， 被截棱台的体积， 较大部分体积为，且， 所以较小部分的体积为. 故选：B. 29．在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求几何体的体积，再求被截较小部分的体积即可. 【详解】由题意可知，如图所示，， 所以平面即为平面截几何体的截面. 因为，, 所以几何体的体积, 被截棱台的体积 , 较大部分体积为, 且, 所以较小部分的体积为. 故选：D. 30．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 31．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.      (1)画出直线的位置，并说明作图依据； (2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积. 【答案】(1)作图见解析，依据见解析 (2) 【分析】（1）根据点线面的位置关系，三个平面两两相交，三条交线的可能情况分析，此题中的三条交线必定交于一点，即可作图并写出依据. （2）根据作出的图形可以发现正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，由棱台体积公式即可求解. 【详解】（1）如图所示即为所求：    依据如下： 延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置. ∵， ∴平面，平面， ∴平面平面， 又由题意显然有平面平面， ∴平面平面，则即为直线的位置.（也可根据线面平行性质确定直线位置） （2）如图所示： 设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台， 其体积为 . 六、题型六 截面面积的最值 32．在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【分析】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 33．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（    ） A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体 D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为 【答案】ABD 【分析】利用平面基本性质作出任意一个过的平面截正方体所得的截面，即可判断A；由正方体结构特征，讨论为各线段上的中点及从中点向线段两端运动时截面面积的变化情况确定截面面积的范围判断B；令交于，交于，交于，结合平面基本性质找到四棱锥与四棱锥的公共部分，并应用棱锥的体积公式求其体积判断C、D. 【详解】连接与线段上任意一点，过作交于， 所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对； 由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形， 若为各线段上的中点时，四边形为菱形， 此时截面最小面积为； 根据正方体的对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大， 当与重合时，截面最大面积为； 综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对； 令交于，交于，交于， 显然是各交线的中点，若是中点，连接， 所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错； 其体积，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于A、B，应用平面基本性质作出截面，结合正方体结构特征判断；对于C、D，将棱锥各侧棱连接，由平面基本性质判断相交平面，进而确定公共部分的几何特征. 34．在如图所示的棱长为的正方体中，作与平面平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是__________；截得的平面图形中，面积最大的值是__________． 【答案】 【详解】试题分析：截得的三角形中，面积最大的是三角形，面积为．截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为 考点：空间想象 35．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，． (1)证明截面是矩形； (2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是的中点时，截面面积最大 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形. （2）求得截面面积的表达式，并利用二次函数的性质求得其取最大值时的位置. 【详解】（1）平面，平面平面，平面， ，同理， ，同理， 四边形是平行四边形， 取中点，连接，， ，是中点， ，同理， 又，平面，平面， 平面，， 又，，，即四边形是矩形. （2）设，，由（1）知， 又，， 则， 当时，最大，即是的中点时，截面面积最大. 36．正四棱锥的底面正方形边长是3，是在底面上的射影，，是上的一点，过且与、都平行的截面为五边形． （1）在图中作出截面，并写出作图过程； （2）求该截面面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）9. 【解析】（1）根据题意，作辅助线，过作， 且过点作，交于点，过点作交于点，连接，    即可得出截面； （2）由题意可知，截面，截面，根据平面，利用线面垂直的性质和判定，可证出平面，则，进而得出，所以截面是由两个全等的直角梯形组成，设，则，截面面积为，根据，代入计算，最后利用二次函数求得最大值. 【详解】解：（1）由题可知，是上的一点，过且与、都平行的截面为五边形， 过作，交于点，交于点， 过作，交于点， 再过点作，交于点， 过点作交于点，连接， ，，， ， 所以共面，平面， ，平面， 平面，同理平面. 所以过且与、都平行的截面如下图： （2）由题意可知，截面，截面， ，， 而是在底面上的射影，， 平面，， ，且， 所以平面，则， ， 又， 为正四棱锥， ，故， 于是， 因此截面是由两个全等的直角梯形组成， 因，则为等腰直角三角形， 设，则， 所以，， ，同理得，， 又因为， 设截面面积为， 所以， 即：， 当且仅当时，有最大值为9. 所以截面的面积最大值为9. 【点睛】本题考查根据线面平面的性质进行作图和截面的面积最大值的求法，还涉及线面平行和垂直的性质和判定定理，考查空间想象能力和计算能力. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $