学易金卷：高二数学下学期期末真题重组卷（江苏专用，范围：苏教版选择性必修第二册）

**基本信息** 2025-2026高二数学期末真题重组卷，聚焦苏教版选择性必修第二册，融合空间几何、概率统计等知识，以新能源汽车销售、流感概率等真实情境设计问题，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间向量（题1）、线性回归（题2）、排列组合（题3）等|精选江苏多地期末真题，如南通生产能耗数据题（题2）考查回归方程应用| |填空题|3题/15分|二项式定理（题12）、异面直线夹角（题13）、概率递推（题14）|以食堂套餐选择为情境（题14），考查概率递推与期望，体现数学语言表达| |解答题|5题/77分|统计案例（题16）、立体几何（题17）、概率分布（题18）等|结合新能源汽车热点（题16）、体育考核情境（题18），综合考查数据分析与逻辑推理|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·江苏·期末）在空间四边形中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形中， ，， 所以， 则. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（   ） A．x与y负相关 B． C．回归直线过点 D．时的残差为0.05 【答案】C 【解析】A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误； B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确； 又，解得，故B错误； D：时，，则残差为：，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【解析】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由随机变量，且， 则，求得，故C正确. 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感， 则，，， ，，， 从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为 ， 故选：A. 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【解析】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 所以，， ， 所以， . 乙每次抽到选择题的概率为，由条件可得 根据二项分布的均值方差公式得：， ， 所以，. 故选：D. 8．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取，得， 所以， 故直线l与平面所成角的正弦值为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏·期末）下列命题正确的是（    ） A．若随机变量满足，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】BCD 【解析】对于A，若恒有，，则，且. 所以，故A错误； 对于B，由于有线性回归方程，故，即，所以，，故B正确； 对于C，由于，故，即，所以事件M，N相互独立，C正确； 对于D，由于，故有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过，D正确. 故选：BCD 10．（22-23高二下·江苏淮安·期末）有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（    ） A．5名同学每两人握手1次，共握手20次 B．5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C．5名同学围成一圈做游戏，有120种排法 D．5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法 【答案】BD 【解析】A选项，5名同学每两人握手1次，共握手次，故A错误； B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片张，故B正确； C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有种排法，故C错误； D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有种排法，其中丙站正中间的排法有种， 所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有种，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高二上·江苏·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______． 【答案】34 【解析】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】 【解析】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 【答案】 【解析】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （24-25高二下·江苏泰州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）因为 ， 令可得 . （6分） （2）的展开式通项为， 令，可得， 由题意可知，为的展开式中的系数，故.（13分） 16．（15分） （25-26高二上·江苏常州·期末）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关． 则， 故认为选择新能源汽车与年龄无关；（7分） （2）因为， 所以，又， 所以，故与线性相关性较强．（15分） 17．（15分） （24-25高二下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故，， 又平面，所以平面；（6分） （2）因为，设平面的法向量为， 则，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（10分） （3）又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 （15分） 18．（17分） （24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【解析】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望．（4分） 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望．（8分） （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是．（11分） （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以．（15分） 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，．（17分） 19．（17分） （25-26高二上·江苏无锡·期末）在四棱锥中，，与交于点，，分别为，中点，，过点向平面作垂线，垂足为，. (1)证明：平面； (2)若 （ⅰ）若为中点，求三棱锥的体积； （ⅱ）设二面角的平面角为，求的最小值. 【解析】（1）由、为的中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，， 故平面，又平面，故， 又、平面，，故平面， 又为中点，故为中位线，故，故平面；（4分） （2）（ⅰ）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 由，，则，故， 则、、、、， 设、，则，， 由点在上，故， 又、，，， 则，整理得； ，整理得；（6分） 由为中点，则，即、， 则由可得，故， 即，则（负值舍去），则、，有， 又，故，则，故， 故；（9分） （ⅱ）由（ⅰ）得、， 且、，， 则、，， 设平面与平面的法向量分别为， 则，，（11分） 取，，则，， 即，， 则， 由、，， 则，即， 即， 由、，故，则， ，，（15分） 则 ， 当且仅当、时，等号成立， 故的最小值为.（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·江苏·期末）在空间四边形中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（   ） A．x与y负相关 B． C．回归直线过点 D．时的残差为0.05 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏·期末）下列命题正确的是（    ） A．若随机变量满足，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10．（22-23高二下·江苏淮安·期末）有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（    ） A．5名同学每两人握手1次，共握手20次 B．5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C．5名同学围成一圈做游戏，有120种排法 D．5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法 11．（25-26高二上·江苏·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______． 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 14．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （24-25高二下·江苏泰州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分） （25-26高二上·江苏常州·期末）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分） （24-25高二下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 18．（17分） （24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 19．（17分） （25-26高二上·江苏无锡·期末）在四棱锥中，，与交于点，，分别为，中点，，过点向平面作垂线，垂足为，. (1)证明：平面； (2)若 （ⅰ）若为中点，求三棱锥的体积； （ⅱ）设二面角的平面角为，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·江苏·期末）在空间四边形中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（   ） A．x与y负相关 B． C．回归直线过点 D．时的残差为0.05 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏·期末）下列命题正确的是（    ） A．若随机变量满足，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10．（22-23高二下·江苏淮安·期末）有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（    ） A．5名同学每两人握手1次，共握手20次 B．5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C．5名同学围成一圈做游戏，有120种排法 D．5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法 11．（25-26高二上·江苏·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______． 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 14．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （24-25高二下·江苏泰州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分） （25-26高二上·江苏常州·期末）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分） （24-25高二下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 18．（17分） （24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 19．（17分） （25-26高二上·江苏无锡·期末）在四棱锥中，，与交于点，，分别为，中点，，过点向平面作垂线，垂足为，. (1)证明：平面； (2)若 （ⅰ）若为中点，求三棱锥的体积； （ⅱ）设二面角的平面角为，求的最小值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D C A B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．34 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为 ， 令可得 . （6分） （2）的展开式通项为， 令，可得， 由题意可知，为的展开式中的系数，故.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关． 则， 故认为选择新能源汽车与年龄无关；（7分） （2）因为， 所以，又， 所以，故与线性相关性较强．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故，， 又平面，所以平面；（6分） （2）因为，设平面的法向量为， 则，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（10分） （3）又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 （15分） 18．（17分） 【解析】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望．（4分） 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望．（8分） （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是．（11分） （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以．（15分） 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由、为的中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，， 故平面，又平面，故， 又、平面，，故平面， 又为中点，故为中位线，故，故平面；（4分） （2）（ⅰ）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 由，，则，故， 则、、、、， 设、，则，， 由点在上，故， 又、，，， 则，整理得； ，整理得；（6分） 由为中点，则，即、， 则由可得，故， 即，则（负值舍去），则、，有， 又，故，则，故， 故；（9分） （ⅱ）由（ⅰ）得、， 且、，， 则、，， 设平面与平面的法向量分别为， 则，，（11分） 取，，则，， 即，， 则， 由、，， 则，即， 即， 由、，故，则， ，，（15分） 则 ， 当且仅当、时，等号成立， 故的最小值为.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $