学易金卷：高一数学下学期期末真题重组卷（江苏专用，范围：苏教版必修第二册）

**基本信息** 整合江苏多地高一期末真题，覆盖向量、统计、概率等必修二核心知识，通过测量塔高（几何直观）、猜成语概率（模型意识）等情境，考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量垂直、复数模、百分位数|基础概念辨析，如第3题百分位数计算| |多选|3/18|统计量、三角形解的个数|选项分层，如第10题结合正弦定理判断三角形解| |填空|3/15|纯虚数、古典概型、扇形面积|情境化设计，如第14题扇形动态面积最值| |解答|5/77|统计直方图、向量运算、概率应用、三角函数、立体几何|综合应用，如第17题两轮猜成语概率考查逻辑推理，第19题立体几何外接球与线面角考查空间观念|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 6．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 10．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 16．（15分） （23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） （24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 18．（17分） （24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，设函数. (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，，求周长的取值范围. 19．（17分） （24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，三棱锥中，平面平面，，，.    (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A C D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）频率为，频数为； （3分） （2）及格率为； （7分） （3）因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. （10分） 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （4分） （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （9分） （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， （12分） 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （7分） （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . （15分） 18．（17分） 【解析】（1） 故最小正周期为. （4分） （2）因为，由，则， 所以， 则 ； （8分） （3）因为，又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长 ， （13分） 由为锐角三角形,可得， 因为都在上单调递增， 所以在上单调递减， 即 所以的取值范围为. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）连接，在中，因为，， 由余弦定理知 ， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， （2分） 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， . （5分） （2）为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为. （8分） （3）取中点，作，连接，，.   ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. （10分） ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为.（14分） ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 6．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 10．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 16．（15分） （23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） （24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 18．（17分） （24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，设函数. (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，，求周长的取值范围. 19．（17分） （24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，三棱锥中，平面平面，，，.    (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，所以， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，所以 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 【答案】B 【解析】该组数据共有12个数， 因为， 所以该组数据的25百分位数为第3，第4个数的平均数，为. 故选：B 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上， 则， 则. 故选：A 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理可得， 所以. 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，． 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在中，， 由余弦定理得． 故选：D． 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】B 【解析】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则，又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【解析】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则即， 所以且即， 所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，若，则，所以有两解，故B错误； 对于C，若，则，则， 所以，故C正确； 对于D，由题，若为锐角三角形， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 【答案】 【解析】由题意可得，所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 【答案】 【解析】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    【答案】/ 【解析】设,则，因，则，， 在中，由正弦定理，，解得, 故的面积为: ， 因，则，故当时，即时，的面积取得最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 【解析】（1）频率为，频数为； （3分） （2）及格率为； （7分） （3）因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. （10分） 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. （13分） 16．（15分） （23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （4分） （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （9分） （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， （12分） 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. （15分） 17．（15分） （24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【解析】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （7分） （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . （15分） 18．（17分） （24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，设函数. (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，，求周长的取值范围. 【解析】（1） 故最小正周期为. （4分） （2）因为，由，则， 所以， 则 ； （8分） （3）因为，又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长 ， （13分） 由为锐角三角形,可得， 因为都在上单调递增， 所以在上单调递减， 即 所以的取值范围为. （17分） 19．（17分） （24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，三棱锥中，平面平面，，，.    (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 【解析】（1）连接，在中，因为，， 由余弦定理知 ， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， （2分） 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， . （5分） （2）为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为. （8分） （3）取中点，作，连接，，.   ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. （10分） ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为.（14分） ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为.（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 个频率组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 39.549.559.569.579.589.599.5成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）