专题08 分式的基本性质与运算【期末复习重难点专题培优十九大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，通过11类重点题型筑基、8类难点题型拔高、分层真题演练，系统构建分式专题方法体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|11题型（含“巧分式”“繁分式”等创新定义）|涵盖分式有意义条件（不等式组转化）、约分通分（定义辨析）、加减运算（分步化简）等基础方法|从分式概念生成到基本性质推导，再到运算规则应用，形成递进式知识链| |难点攻克|8题型（含均值不等式求最值）|包括参数范围（符号分类讨论）、值为整数（整除性分析）、恒等式（待定系数法）等进阶技巧|在基础运算上拓展变量关系分析，深化分式性质的灵活应用| |真题演练|2组（基础夯实+拓展拔尖）|整合概念辨析、化简求值、实际应用（如糖水浓度模型）等综合方法|对接中考分层命题，强化知识迁移与模型意识|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题08 分式的基本性质与运算『期末复习重难点专题培优』 【11个重点题型+8个难点攻克+真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 2 题型一 分式有意义的条件， 2 题型二 分式值为零的条件 3 题型三 分式的求值 4 题型四 约分 5 题型五 最简分式 6 题型六 最简公分母 7 题型七 通分 9 题型八 整式与分式相加减 11 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 13 题型十 分式加减混合运算 15 题型十一 分式加减的实际应用 17 难点攻克 思维拓展 20 题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 20 题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值 21 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 23 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 25 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 27 题型六 分式加减乘除混合运算 28 题型七 分式化简求值 28 题型八 分式最值 30 优选真题 实战演练 34 【基础夯实 能力提升】 34 【拓展拔尖 冲刺满分】 39 题型一 分式有意义的条件， 【精讲】（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】（1）将原不等式因式分解为，结果为正，则两个因式同号，分为和两类讨论，分别求出结果即可； （2）不等式两边同乘以，得，且，结果为非正，则两个因式异号或，分为和两类讨论，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：， 因式分解，得， ①当时，解得； ②当时，解得； 综上所述，不等式的解集为或； （2）解：， 两边同乘以，得，且， ①当时，解得； ②当时，该不等式组无解； 综上所述，不等式的解集为． 【精练】（25-26八年级下·海南儋州·期中）当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【思路引导】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 【规范解答】解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 题型二 分式值为零的条件 【精讲】已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【思路引导】根据分式值为零需同时满足两个条件：分子等于零，分母不等于零，据此计算即可得到结果． 【规范解答】解：分式的值为零， ， 解， 可得：或， 解， 可得：， 不符合要求，舍去， ． 【精练】当________时，分式的值为0． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式，掌握分式的值为零和分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零，即可求解． 【规范解答】解：由分式的值为零的条件，得 ，解得． 故答案为：． 题型三 分式的求值 【精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，则= ____． 【答案】 【思路引导】将原式取倒数，再将分子进行变形求值即可． 【规范解答】解：对取倒数可得， ， ∴． 【精练】已知，且，则______． 【答案】2 【思路引导】由得到，再代入代数式求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 题型四 约分 【精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【思路引导】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【规范解答】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 【精练】（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【思路引导】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 题型五 最简分式 【精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【规范解答】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 【精练】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【思路引导】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型六 最简公分母 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）按要求完成各题 (1)因式分解：． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． （2）根据分式的减法进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ． （2）解：原式 ． 【精练】（25-26八年级下·山东济南·期中）计算： (1) (2)先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）先通分化为同分母分式，再进一步计算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件，最后代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ， ∵，， ∴，，． ∴当时，原式． 题型七 通分 【精讲】（25-26八年级下·河南·期中）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； (2)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，分式的基本性质 (2)见解析 【思路引导】（1）根据通分的定义进行解答即可； （2）根据分式混合运算的法则，进行计算得出正确答案即可． 【规范解答】（1）解：以上化简过程中，第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． （2）解：原式 ． 【精练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）化简：，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 甲同学   解：原式 乙同学   解：原式 (1)甲同学解法的依据是_____，乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①乘法交换律；②分式的基本性质；③乘法分配律；④等式的基本性质． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)见详解 【思路引导】本题考查了分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察甲、乙两位同学的部分运算过程，再结合分式的基本性质，乘法分配律等内容进行分析，即可作答． （2）理解题意，根据分式的混合运算法则计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：观察甲同学的部分运算过程，得出甲同学解法是先进行通分， 故甲同学解法的依据是②， 观察乙同学的部分运算过程，得出乙同学解法是运用乘法分配律去掉括号， 故乙同学解法的依据是③ （2）解：当选择甲同学，过程如下： 原式 ． 或当选择乙同学，过程如下： 原式 ． 题型八 整式与分式相加减 【精讲】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算 (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）把整式部分看作整体通分，利用平方差公式化简后合并分子，然后去括号进行计算； （2）按乘方、负指数幂、零次幂、开方的顺序分别计算，再合并． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【精练】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或1 (3)7 【思路引导】（1）仿照例题计算即可求解； （2）先化为带分式，根据分式的值为整数，得出为整式，进而求得的值； （3）法1：用含的式子表示出；法2：用含的式子表示出；进而同（2）的方法求解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解：． ∴是整数，即或， ∴或1； （3）解：法1：， ∵、为正整数， ∴是正整数， ∴，解得：，则； 或，解得：（舍去）， ∴； 法2：， ∵、为正整数， ∴须为大于1的奇数， 又∵为正整数， ∴是的正约数， ∴，解得：，则， 或，解得：，则（舍去）， ∴． 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）若，则________． 【答案】2 【思路引导】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【规范解答】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 【精练】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【规范解答】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得， ∴ ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 题型十 分式加减混合运算 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据乘方的定义、立方根的定义、绝对值的性质，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的加法法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)4或6 【思路引导】（1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【规范解答】（1）解：∵的次数小于的次数， ∴分式是真分式． （2）解：． （3）解： ， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴， ∴ 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上，分式的值为4或6． 题型十一 分式加减的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路引导】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， 即； （2）解： ， ， ， ，且， ， ， ， ． 【精练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出 ，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明： ，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【精讲】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【答案】 ， 【思路引导】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【规范解答】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 【精练】（24-25八年级下·河南南阳·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【思路引导】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【规范解答】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【思路引导】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【规范解答】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 【精练】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【思路引导】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 【精练】阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【思路引导】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【规范解答】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【考点剖析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 49．（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【精练】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（24-25八年级上·江西宜春·阶段检测）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练】（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 题型六 分式加减乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算，平方差公式，先根据分式的加减，再根据分式的除法，进行化简，把，代入化简的分式，进行解答，即可． 【规范解答】解：， ， 当时，原式． 【精练】先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【思路引导】先分别计算整式乘法与分式除法部分，将整式乘法展开合并同类项，分式除法转化为乘法后约分，再将两部分通分合并得到最简分式；最后代入a的求值结果计算最终数值． 【规范解答】解：原式 ， 原式． 题型七 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）下面是甲、乙两名同学解答一道数学题目的第一步做法． 先化简，再求值：，其中． 甲同学解：原式 …… 乙同学解：原式 (1)甲同学的依据是_____，乙同学的依据是_____．（填序号） ①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【答案】(1)①；④ (2)甲，，1 【规范解答】（1）解：甲同学的依据是分式的基本性质，乙同学的依据是乘法分配律． 故答案为：①；④； （2）解：选择甲同学的做法： 原式 ． 当时，原式． 选择乙同学的做法： 原式 ． 当时，原式． 【精练】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【规范解答】解： ， ∵， ∴原式． 题型八 分式最值 【精讲】（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时， 取最大值，最大值为 【思路引导】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得，根据例题，即可获得答案； （3）将代数式变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，代数式取到最大值，并求得最大值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：∵， ∴， ∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， ∴此时代数式有最大值，最大值为， ∴当时，取最大值，最大值为． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【思路引导】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【思路引导】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【规范解答】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路引导】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，分别列式求解，即可得到a的取值范围． 【规范解答】解：∵代数式有意义， ∴，， 解得，， ∴实数的取值范围是且． 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ______ 【答案】 【思路引导】先对第一个分式的分母因式分解，再确定最简公分母通分，合并分子后约分即可得到化简结果． 【规范解答】解： ． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）_________． 【答案】 【思路引导】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【规范解答】解： ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【思路引导】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【规范解答】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 7．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【思路引导】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵分式的值为正数， ∴分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 8．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)①③④；③；①④ (2)符合条件的整数的值是0，1，，2 【思路引导】（1）根据分式的定义判断，根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式进行判断即可； （2）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【规范解答】（1）解：式子：①；②；③；④． 其中属于分式的是①③④；属于“假分式”的是③；属于“真分式”的是①④； （2）解：． ∵分式的值为整数，为整数， ，均为整数， 或或或， ∴符合条件的整数的值是0，1，，2． 9．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题． (1)计算：_____． (2)对任意正实数，求出的结果． (3)计算：． 【答案】(1)1 (2)2 (3)4051 【思路引导】（1）直接代入计算即可； （2）先求出，再根据同分母的分式加法计算法则计算； （3）根据（2）得到的结论求解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解：由题意可得， ． （3）解： ． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式和分式的计算以及分解因式，掌握完全平方公式，平方差公式以及分式的加减乘除混合运算是解题的关键． （1）将进行平方差公式的计算，进行完全平方公式的计算，最后在进行加减混合运算即可得出结果． （2）先算括号里的，再将除以转换成乘以，并将进行分解因式，最后进行乘法运算即可得出结果． 【规范解答】（1）； 解：原式， ， ． （2）． 解：原式， ， ． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【思路引导】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【规范解答】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 2．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【思路引导】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【规范解答】解： ∵ ∴原式 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若，则的值为________． 【答案】 【思路引导】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 5．已知，则代数式的值是______． 【答案】 【思路引导】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【规范解答】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 6．（25-26八年级下·海南海口·阶段检测）先化简，再求代数式的值：，请你从，，0，2中选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式值为． 【规范解答】解： ， ∵，，∴，， ∴取， 当时，原式． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【思路引导】先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化简，再代入的值计算即可得到结果． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 8．（25-26八年级下·全国·周测）（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-3（2）3 【思路引导】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式，以及掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由得，将其整体代入分式的分子和分母，化简即可； （2）先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【规范解答】解：（1），且， ，且， ． （2）， ， ． 9．（25-26八年级上·重庆开州·阶段检测）如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3)14 (4) 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）最大的正方形面积等于其边长的平方，最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，据此用两种方法表示出最大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据（1）中的等式进行计算即可； （3）可求出，再把等式两边同时平方，结合（1）的结论可得答案； （4）设，则，，则，然后根据完全平方公式展开，即可得答案． 【规范解答】（1）解：最大的正方形的边长为，其面积为 剩余部分的面积等于1个边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则剩余部分的面积为， 而最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，则最大的正方形面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：16； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·江苏常州·期中）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)， (3)； 【思路引导】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【规范解答】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题08 分式的基本性质与运算『期末复习重难点专题培优』 【11个重点题型+8个难点攻克+真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 9 题型一 分式有意义的条件， 2 题型二 分式值为零的条件 2 题型三 分式的求值 2 题型四 约分 2 题型五 最简分式 3 题型六 最简公分母 3 题型七 通分 4 题型八 整式与分式相加减 5 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 6 题型十 分式加减混合运算 6 题型十一 分式加减的实际应用 7 难点攻克 思维拓展 9 题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 9 题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值 9 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 10 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 11 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 11 题型六 分式加减乘除混合运算 12 题型七 分式化简求值 12 题型八 分式最值 13 优选真题 实战演练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 分式有意义的条件， 【精讲】（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 【精练】（25-26八年级下·海南儋州·期中）当_________时，分式的值为0． 题型二 分式值为零的条件 【精讲】已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【精练】当________时，分式的值为0． 题型三 分式的求值 【精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，则= ____． 【精练】已知，且，则______． 题型四 约分 【精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【精练】（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 题型五 最简分式 【精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【精练】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 题型六 最简公分母 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）按要求完成各题 (1)因式分解：． (2)计算：． 【精练】（25-26八年级下·山东济南·期中）计算： (1) (2)先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 题型七 通分 【精讲】（25-26八年级下·河南·期中）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； (2)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 【精练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）化简：，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 甲同学   解：原式 乙同学   解：原式 (1)甲同学解法的依据是_____，乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①乘法交换律；②分式的基本性质；③乘法分配律；④等式的基本性质． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 题型八 整式与分式相加减 【精讲】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算 (1) 计算： (2)计算： 【精练】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）若，则________． 【精练】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 题型十 分式加减混合运算 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算题： (1) (2) 【精练】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 题型十一 分式加减的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【精练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【精讲】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【精练】（24-25八年级下·河南南阳·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【精练】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【精练】阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 49．（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【精练】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（24-25八年级上·江西宜春·阶段检测）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【精练】（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 题型六 分式加减乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【精练】先化简，再求值：，其中． 题型七 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）下面是甲、乙两名同学解答一道数学题目的第一步做法． 先化简，再求值：，其中． 甲同学解：原式 …… 乙同学解：原式 (1)甲同学的依据是_____，乙同学的依据是_____．（填序号） ①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【精练】先化简，再求值：，其中． 题型八 分式最值 【精讲】（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ______ 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）_________． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 7．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 8．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 9．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题． (1)计算：_____． (2)对任意正实数，求出的结果． (3)计算：． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）计算 (1)； (2)． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 2．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若，则的值为________． 5．已知，则代数式的值是______． 6． （25-26八年级下·海南海口·阶段检测）先化简，再求代数式的值：，请你从，，0，2中选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 7． （25-26八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 8．（25-26八年级下·全国·周测）（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 9．（25-26八年级上·重庆开州·阶段检测）如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 10．（25-26八年级下·江苏常州·期中）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $