专题07 公式法因式分解【期末复习重难点专题培优十大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦公式法因式分解，设5个重点题型、5个难点攻克及真题实战共50题，分层覆盖基础方法到综合应用，适配期末复习培优。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |重点题型|5类|平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等|分类讲练，含精讲精练，如判断能否用公式法分解| |难点攻克|5类|综合运用公式、实数范围分解等|思维拓展，结合拼图面积等情境，如用卡片拼图验证因式分解| |真题实战|2模块|基础夯实与拓展拔尖|优选多地期中/期末真题，如辽宁锦州、江苏宿迁等地考题，梯度分明|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 公式法因式分解『期末复习重难点专题培优』 【5个重点题型+5个难点攻克+真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 判断能否用公式法分解因式 1 题型二 平方差公式分解因式 3 题型三 完全平方公式分解因式 6 题型四 十字相乘法 10 题型五 分组分解法 14 难点攻克 思维拓展 17 题型六 综合运用公式法分解因式 17 题型七 综合提公因式和公式法 20 题型八 实数范围内分解因式 23 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 25 题型十 因式分解的应用 27 优选真题 实战演练 31 【基础夯实 能力提升】 31 【拓展拔尖 冲刺满分】 35 题型一 判断能否用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【规范解答】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 【精练1】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【思路引导】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【规范解答】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 【精练2】23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型二 平方差公式分解因式 【精讲】因式分解：______． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】解：． 【精练1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【思路引导】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________） （________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)①8，6；② (2)见解析 (3)兴趣小组猜测正确，证明见解析 【思路引导】（1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）利用平方差公式变形分析，进一步证明即可． （3）假设，其中x，y均为自然数．再分下列三种情形分析即可． 【规范解答】（1）解：①由规律可得，； ②由规律可得，． （2）解：若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数， 则 ， ∵k，m均为自然数， ∴、为整数， ∴整数为4的倍数． （3）证明：兴趣小组猜测正确．理由如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，其中k，m均为自然数， 则，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为偶数；                          ②若x，y均为奇数，由（2）知，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为奇数；                       ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 这与是偶数相矛盾，故x，y不可能一个是奇数另一个是偶数． 综上，形如（n为正整数）的正整数N不能表示为． 题型三 完全平方公式分解因式 【精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再进一步即可求解． 【规范解答】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·四川巴中·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【思路引导】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； ②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；（3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【规范解答】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ，， 当，有最大值； （3）解： ， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 【精练2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________； (2)【应用公式】因式分解：； (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________； ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)；， 【思路引导】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）根据立方差公式求解即可； （3）由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； 根据立方差公式和提公因式法进行因式分解，再由已知的面积得到，的值，然后根据完全平方公式进行变形得到，的值，然后代入代数式中计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：观察图形可知，，， ， ， ， ； 原式 ， ，，， ，即， ， ，，，， ， ， 四边形是正方形， ，即， ，， 原式． 题型四 十字相乘法 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【答案】(1) (2)2，5，3 【思路引导】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【思路引导】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 【精练2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【思路引导】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【规范解答】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 题型五 分组分解法 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【精练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【思路引导】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 题型六 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·山西晋中·期中）分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 【精练1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【思路引导】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【规范解答】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 题型七 综合提公因式和公式法 【精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）解答 (1)分解因式： (2)分解因式： (3)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) (3)画图见解析，解集为 【思路引导】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． （2）把原式化为，再进一步分解即可； （3）分别解不等式组中的两个不等式，求得解集，并在数轴上表示出来即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ． （3）解：， 解①得：， 解②得：， 数轴表示如下： ∴不等式组的解集为． 【精练1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【精练2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【思路引导】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【规范解答】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 题型八 实数范围内分解因式 【精讲】计算、化简、在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的性质、二次根式的乘除运算法则计算即可； （3）把变形为，然后根据分组分解法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【精练1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【规范解答】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 【精练2】（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练2】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【规范解答】解： 题型十 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【思路引导】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【规范解答】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可） ①       ②       ③ (2)证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值． 【答案】(1)①，③ (2)证明见解析，最小值8 【思路引导】（1）根据“和美多项式”的定义直接根据，即可判断①和②；对③先根据题中的变形方法把原式化为，即可判断； （2）先利用题中的变形方法把原式可化为，然后根据平方的非负性即可解答． 【规范解答】（1）解：①， ∵， ∴，故①是“和美多项式”； ② ∵， ∴，故②不是“和美多项式”； ③， ∵， ∴， ∴的值恒为非负数，故③是“和美多项式”； （2）解： ， ∵， ∴原式，即原式为“和美多项式”， 当时有最小值，最小值是8． 【精练2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式进行因式分解 如图1所示边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1个边长为的正方形卡片B（），2个边长为的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成：或从而验证多项式因式分解为 (1)如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为______； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为______； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解______； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且、均为正整数，请分别求出、的长． 【答案】(1) (2)①；②因式分解的图形见解析，；③ 【思路引导】（1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答； （2）①根据这个图形的面积可以表示成：或，即可解答；②根据确定三种材料的张数，画出图形，写成结果即可；③由题意可得，根据、均为正整数且，得到或，求解方程组，选择符合题意得解即可． 【规范解答】（1）解：这个图形的面积可以表示成：或， 从而验证多项式因式分解为； （2）解：①这个图形的面积可以表示成：或， 从而验证多项式因式分解为； ②∵多项式由3张正方形卡片A，1张正方形卡片C，4张长方形卡片C拼成一个长方形， 画出因式分解的图形如下： ∴； ③由题意得， ∵、均为正整数且， ∴和都为正整数，且， ∴或 解得（舍去）或， ∴． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 2．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据因式分解定义（因式分解要求结果为几个整式的乘积形式）以及平方差公式，完全平方公式等知识内容，进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、等式本身成立，但右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【思路引导】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【规范解答】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【思路引导】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【规范解答】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 5．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）若，，则_______． 【答案】 【思路引导】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【规范解答】解： ． 将代入得， ． 6．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【答案】 【思路引导】根据所给的图形直接求出大长方形的面积，再利用1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 【规范解答】解：大长方形的面积为：， 1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和为：； ∴． 7．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【思路引导】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【规范解答】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： 【拓展拔尖 冲刺满分】 9．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【思路引导】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【规范解答】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 10．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】因式分解要求结果为几个整式的乘积，且需分解到不能再分解为止，再结合提公因式法、平方差公式逐项判断即可． 【规范解答】解：A．，原式未分解彻底，故选项 A错误； B．，故选项B正确； C．因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，原式结果为，是和的形式，不符合因式分解定义，故选项C错误； D．，原式未分解彻底，故选项D错误． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③． 【规范解答】解：当时，整式， ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，， ∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误； ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数， ∴当时，，整式，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，，整式，有个， 当时，，整式，有1个， ∴所有满足条件的整式有个，故②正确； ∵， ∴，且， ∵， ∴或， 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，，此时整式， 当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意； 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，或，此时整式或， 当时，，， 解得：，，此时整式， ∴所有满足条件的整式的和为 ，故③错误； 综上所述，正确的有②，共个． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 【答案】 大 9 【思路引导】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 13．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【答案】或或 【思路引导】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【规范解答】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 14．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （2）利用多项式乘多项式法则和完全平方公式进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26八年级下·河北保定·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)因式分解结果为，值为 【思路引导】本题考查因式分解的基本方法，整体解题思路为：先观察式子，若有公因式先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式继续分解到不能分解为止；第（4）小题先完成因式分解得到最简结果，再代入已知数值计算即可．用到的知识点为提公因式法、平方差公式、完全平方公式． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 把， 代入得：原式 16．（25-26八年级下·河北保定·期中）［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 【答案】(1) 9 (2) (3) 最小值为6 (4) 【思路引导】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【规范解答】（1）解：， 故横线上添加9； （2）解： ； （3）解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 17．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 【答案】(1) (2)①；②42 【思路引导】（1）分别表示出四张卡片的面积和大正方形的面积，根据四张卡片的面积等于大正方形的面积即可得解； （2）①分别表示出九张卡片的面积和大长方形的面积，根据九张卡片的面积等于大长方形的面积即可得解； ②根据题意得，，再由，可求出，然后计算图中所有拼接线（虚线部分）长之和，化简后，整体代入求值． 【规范解答】（1）解：四张卡片的面积可表示为：， 大正方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：①九张卡片的面积可表示为：， 大长方形的面积可表示为：， ∴； ②根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合，已舍去）， 图中所有拼接线（虚线部分）长之和为： ． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①20；②，24 【思路引导】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据 ，即可得出结果；②先将代数式因式分解为，由 ，， ，得到，求出 ，据此即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴原式． 19．（25-26八年级下·四川成都·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：； (2)已知，，分别为的三条边，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）将前两项和后两项分组，前两项用平方差公式得，后两项提取公因式得；再提取公因式，得到； （2）将和分组；前三项用完全平方公式得，再与用平方差公式得；结合三角形三边关系：，，乘积小于0，得证． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 因为a，b，c为的三边， 所以，， 因此， 即． 20．（25-26八年级下·山东济南·期中）【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【规范解答】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 公式法因式分解『期末复习重难点专题培优』 【5个重点题型+5个难点攻克+真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 判断能否用公式法分解因式 1 题型二 平方差公式分解因式 2 题型三 完全平方公式分解因式 4 题型四 十字相乘法 5 题型五 分组分解法 7 难点攻克 思维拓展 9 题型六 综合运用公式法分解因式 9 题型七 综合提公因式和公式法 10 题型八 实数范围内分解因式 12 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 12 题型十 因式分解的应用 13 优选真题 实战演练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 判断能否用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【精练1】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【精练2】23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型二 平方差公式分解因式 【精讲】因式分解：______． 【精练1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【精练2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________） （________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 题型三 完全平方公式分解因式 【精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 【精练1】（25-26八年级下·四川巴中·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 【精练2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________； (2)【应用公式】因式分解：； (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________； ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 题型四 十字相乘法 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【精练2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 题型五 分组分解法 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2) (3) ； (4) 【精练1】（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【精练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 题型六 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·山西晋中·期中）分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (4) ； (4)． 【精练1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 题型七 综合提公因式和公式法 【精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）解答 (1) 分解因式： (2)分解因式： (3)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【精练1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）因式分解： (1) (2) 【精练2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 题型八 实数范围内分解因式 【精讲】计算、化简、在实数范围内因式分解： (1) ； (2)； (3)． 【精练1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1) 因式分解：； (2)因式分解：； (2) 简便计算：； (4)简便计算：． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）利用因式分解计算： (1) ； (2)． 【精练2】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 题型十 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可） ①       ②       ③ (2)证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值． 【精练2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式进行因式分解 如图1所示边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1个边长为的正方形卡片B（），2个边长为的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成：或从而验证多项式因式分解为 (1)如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为______； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为______； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解______； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且、均为正整数，请分别求出、的长． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 5．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）若，，则_______． 6．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 7．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【拓展拔尖 冲刺满分】 9．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 10．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 13．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 14．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)； 15．（25-26八年级下·河北保定·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 16．（25-26八年级下·河北保定·期中）［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 17．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 19．（25-26八年级下·四川成都·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：； (2)已知，，分别为的三条边，求证：． 20．（25-26八年级下·山东济南·期中）【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $