精品解析：上海市大同中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

上海市2026年秋季高考模拟题 科目：数学 时间：120分钟 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知连续型随机变量服从正态分布，则的值约等于____________． （注：若，则，） 【答案】## 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布， ． 2. 若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 3. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 4. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 5. 从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况. 【答案】180 【解析】 【分析】先从人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可. 【详解】按照先选再排的方法可知共有种方法. 故答案为：180 【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题. 6. 已知实数，，若，，则____________. 【答案】##0.5 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. 7. 已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件推出数列为周期数列，再利用周期性求和即可. 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. 8. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 9. 函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设点及，再应用双曲线定义结合边的关系计算求解，最后计算离心率即可. 【详解】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则. 设，由双曲线的第一定义知， 从而. 由知，可得. 又由及可得， 解得. 于是，可得离心率. 故答案为：. 11. 某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为m. 现测得长为m，在处测得点的仰角为， 点的仰角为. 若，则建筑物的高为______ m（答案精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】作，设出建筑物高度，然后用来表示，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求解出即可. 【详解】 设建筑物高为，. 在线段上截取，则四边形为矩形， 在线段上截取，则四边形为矩形且四边形为矩形. 在直角三角形中，，，. 同理. 在直角三角形中，记，，即，解得. 12. 若对任意的 ，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得 ， 则， 所以 且 ， 所以 ，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是 . 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性，判断函数在区间上是否有最小值. 【详解】对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则是偶函数. 当时，， 在区间上单调递减，所以在区间上无最小值，故选项A错误； 对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是偶函数， 当时，，令， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 根据复合函数的单调性可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故选项B正确； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是奇函数，不符合题意，故选项C错误； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以函数为偶函数. 由，得，因为在区间上， 所以，所以在区间上单调递增， 当时，，但始终大于1，所以该函数在区间上没有最小值，故选项D错误. 故选：B 14. 已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以， 故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 15. 同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解 【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 所以爸爸的加油方式更合算 故选：A 16. 已知无穷数列满足：，，，，其中表示不超过的最大整数.则下列说法中正确的是（ ） A. 对于任意，，都不是常数列 B. 存在正数，，使得是递增数列 C. 对于任意正数，q，都存在正整数，使得是周期数列 D. 如果是常数列，则一定有 【答案】D 【解析】 【分析】对AD从必要性角度取值即可说明，充分性易知；对B选项，通过反证法即可证明；对C，设周期为，作差即可证明. 【详解】先来分析A,D选项 若为常数列，则，. 当时，有， 即. 必要性：取，可得 消去可得， 记，则 有， 而，故.即为整数. 代回原式可得. 充分性：当且为整数时，易知为常数列. 再来分析B选项 ， 设，则， 若递增，则有， ， ， 由于，故， 则， 即. 则， 又，故且， 则， 又，故且， 则， 又，故且. 照这样操作下去， 可得，且， 当时，， 故，矛盾！ 再来看C选项，不妨设周期为， 则，， 两式作差可得， 当取为无理数时，矛盾！ 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． （1）证明：是棱的中点； （2）证明：平面，并求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥的性质，利用线面平行证明线线平行，进而根据中线的性质证明结论； （2）根据三棱锥的性质及三角形的性质，利用线面垂直定理证明线面垂直，结合已知条件利用几何法求出相关线段长度，进而求出，再利用三棱锥的体积公式计算求解． 【小问1详解】 平面，平面，平面平面， ， 又是棱的中点， 是棱的中点． 【小问2详解】 连接，，是棱的中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， ， ，，， ， 又，由勾股定理得， 又平面， 三棱锥的体积． 18. 某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. （1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； （2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率， 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）应用古典概型求解事件的概率即可； （2）A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人，再根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望； （3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a的取值范围即可求出概率. 【小问1详解】 由题意知，A组中良好的学生有5人，再从B组中良好的学生有7人， 从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为. 因此，学生成绩为良好的概率为. 【小问2详解】 根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人 X的可能取值为0，1，2. 则，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 因此，X的数学期望. 【小问3详解】 A组成绩为成绩分别为76，83，92，平均值为，方差为， B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92， ，平均值为， 所以， 即， 代入检验，可知最小为84，最大， 故B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率为. 19. 已知，其中. （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【小问1详解】 当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. 【小问2详解】 因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 20. 设椭圆 （1）若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； （2）若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； （3）若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】（1）椭圆方程为，其焦点坐标为， （2），. （3）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质可得； （2）先求出椭圆方程，由两直线平行设出直线的方程，直曲联立由韦达定理表示出弦长公式和点到直线的距离公式，再用换元法令结合辅助角公式和二次函数的性质可得； （3）记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为，由圆的性质得到点的位置，再结合椭圆的性质确定距离可得. 【小问1详解】 由和可得，，所以椭圆方程为，其焦点坐 标为， 【小问2详解】 由和可得，，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由 解得， 由韦达定理得， ， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为 ， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑 ， 令，则，则，则 ， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 【小问3详解】 如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则. 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值. 令 ，则点在椭圆 上， 易知，等号成立时当且仅当 ， 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部. 综上所述，的最大值为. 21. 已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． （1）设函数，求证是周期函数并求的最大值； （2）给定，证明：对，，使得； （3）若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 【答案】（1）证明见解析；最大值为 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，得到的周期为，推得，证得是周期函数，设，得到，令，得到，得到在或或或时，取得最大值，结合赋值法，即可求解. （2）根据函数的周期性，不妨设，得到，分，和，三种情况讨论，分别得证得，即可得证； （3）当时，由（1）知，函数；当时，证得，使得恒成立，进而得到，即可求解. 【小问1详解】 由，可得函数是偶函数，其图像关于轴对称， 又因为，即，可得的图像关于点对称， 由，可得， 则，所以函数的周期为， 对于函数， 可得， 因为函数的周期为，所以， 所以， 所以函数是周期函数，且周期为， 要考虑函数的最大值，不妨设， 可得， 由函数在区间内上单调递减，可得， 所以令，则， 又因为， 所以或，即或， 所以在或或或时，取得最大值， 因为，可得且， 所以， ， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知，函数是周期为4的偶函数，且的图像关于对称， 且在上单调递减，则在上单调递增， 所以是的最小值， 根据函数的周期性，不妨设，显然的长度， 若，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当取时，满足； 若，则且， 当时，取，有； 当时，取，有； 同理可证，当时，，使得， 综上可得，对任意，存在，使得. 【小问3详解】 当时，由（1）知，函数， 当时，下面证明：，使得成立， 令，则，此时恒成立， 由（2）知，，使得， 所以，存在， 使得成立，所以， 综上可得，实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市2026年秋季高考模拟题 科目：数学 时间：120分钟 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知连续型随机变量服从正态分布，则的值约等于____________． （注：若，则，） 2. 若，，且，则实数取值的集合是____________. 3. 二项式的展开式中的常数项为________． 4. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 5. 从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况. 6. 已知实数，，若，，则____________. 7. 已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 8. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 9. 函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是__________. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为_______. 11. 某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为m. 现测得长为m，在处测得点的仰角为， 点的仰角为. 若，则建筑物的高为______ m（答案精确到0.01） 12. 若对任意的 ，总存在，使得，则的取值范围是____________. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 16. 已知无穷数列满足：，，，，其中表示不超过的最大整数.则下列说法中正确的是（ ） A. 对于任意，，都不是常数列 B. 存在正数，，使得是递增数列 C. 对于任意正数，q，都存在正整数，使得是周期数列 D. 如果是常数列，则一定有 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． （1）证明：是棱的中点； （2）证明：平面，并求三棱锥的体积． 18. 某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. （1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； （2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率， 19. 已知，其中. （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 20. 设椭圆 （1）若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； （2）若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； （3）若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 21. 已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． （1）设函数，求证是周期函数并求的最大值； （2）给定，证明：对，，使得； （3）若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $