上海市大同中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

上海市2026年秋季高考模拟题 科目：数学 时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知连续型随机变量服从正态分布，则的值为________． （注：若，则，） 2．若，，且，则实数取值的集合是________． 3．二项式的展开式中的常数项为________． 4．一个底面半径为的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________． 5．从6个人中选4个人值班，每人恰好值一天班，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，共有________种安排方法． 6．已知实数，，若，，则________． 7．已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为________． 8．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为________． 9．函数是定义在上的偶函数，其图像如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是________． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线交于，两点，且，，则双曲线的离心率为________． 11．某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为．现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为．若，，则建筑物的高为________m（答案精确到0.01） 12．若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A． B． C． D． 14．已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为元/升，第二次加油汽油单价是元/升，妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 16．已知无穷数列满足：，，，，其中表示不超过的最大整数．则下列说法中正确的是（ ） A．对于任意，，都不是常数列 B．存在正数，，使得是递增数列 C．对于任意正数，，都存在正整数，使得，，，是周期数列 D．如果是常数列，则一定有 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且平面． （1）证明：是棱的中点； （2）证明：平面，并求三棱锥的体积． 18．某次测验满分为100分，组和组各有10人参加，成绩如下表： 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀． （1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； （2）从组中随机抽取1名学生，再从组中随机抽取1名学生．用随机变量表示这两人的成绩为优秀的人数，求的分布和数学期望； （3）从、两组中均随机抽取3人，组成绩为76，83，92．已知组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，求组3人成绩方差比组3人成绩方差小的概率． 19．已知，其中． （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026．求的取值范围． 20．设椭圆 （1）若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； （2）若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，．若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； （3）若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点．若动点满足，求的最大值． 21．已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． （1）设函数，求证是周期函数并求的最大值； （2）给定，证明：对任意，存在，使得； （3）若存在，使得，对任意恒成立，求实数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市2026年秋季高考模拟题 科目：数学 时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．0.68 2． 3．60 4． 5．180 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．B 14．A 15．A 16．D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．【小问1详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，又是棱的中点，所以是棱的中点； 【小问2详解】 连接，因为，是棱的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以，，， 故， 又，由勾股定理得， 又平面， 三棱锥的体积； 18．【小问1详解】 由题意知，组中良好的学生有5人，再从组中良好的学生有7人， 从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为． 因此，学生成绩为良好的概率为． 【小问2详解】 根据题意得，组中优秀的学生有5人，再从组中优秀的学生有2人 的可能取值为0，1，2． 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 因此，的数学期望． 【小问3详解】 组成绩为成绩分别为76，83，92，平均值为， 方差为， 组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，，平均值为， 所以， 即， 代入检验，可知最小为84，最大85， 故组3人成绩方差比组3人成绩方差小的概率为． 19．【小问1详解】 当时，，所以最小正周期． 由，得， 所以严格增区间为，． 【小问2详解】 因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又， 所以． 20．【详解】（1）由和可得，，所以椭圆方程为，其焦点坐标为， （3）由和可得，，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得，， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为 ， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则 ， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为． （3）如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则． 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值． 令，则点在椭圆上． 易知，等号成立时当且仅当，． 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部． 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 21．【小问1详解】 由，可得函数是偶函数，其图像关于轴对称， 又因为，即，可得的图像关于点对称， 由，可得， 则，所以函数的周期为4， 对于函数， 可得， 因为函数的周期为4，所以， 所以， 所以函数是周期函数，且周期为4， 要考虑函数的最大值，不妨设， 可得， 由函数在区间内上单调递减，可得， 所以令，则， 又因为，， 所以或，，即或， 所以在或或或时，取得最大值， 因为，可得且， 所以，， ，， 所以的最大值为． 【小问2详解】 由（1）知，函数是周期为4的偶函数，且的图像关于对称， 且在上单调递减，则在上单调递增， 所以是的最小值， 根据函数的周期性，不妨设，显然的长度， 若，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当取时，满足； 若，则且， 当时，取，有； 当时，取，有； 同理可证，当时，，使得， 综上可得，对任意，存在，使得． 【小问3详解】 当时，由（1）知，函数， 当时，下面证明：，使得成立， 令，则，此时恒成立， 由（2）知，，使得， 所以，存在， 使得成立，所以， 综上可得，实数的最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $