期末真题百练通关21大压轴题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦期末压轴题型，以21类核心题型为载体，系统整合分式运算、因式分解、整式乘除及几何角度问题的解题方法，构建“题型-方法-知识”三维训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式运算|1-6题（新定义、裂项相消等）|整体思想、倒数法、参数分类讨论|从概念理解到运算技巧，层层递进| |因式分解|7-11题（十字相乘、换元法等）|十字相乘、分组分解、配方法|基于整式乘法逆向思维，强化代数变形能力| |整式乘除|12-15题（乘法公式几何背景等）|规律探究、几何建模|结合图形直观理解代数公式，体现数形结合| |几何综合|16-21题（平行线证明、动态角度等）|辅助线添加、动态分类讨论|从静态角度计算到动态几何推理，培养空间观念与推理意识|

期末真题百练通关（65题21大压轴题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 与分式运算有关的新定义问题（共3小题） 题型二 与分式运算有关的材料阅读类问题（共3小题） 题型三 与分式有关的规律探索问题（共3小题） 题型四 裂项相消法（共4小题） 题型五 含参数的分式方程解的讨论（共4小题） 题型六 分式方程的特殊解法（共3小题） 题型七 十字相乘法分解因式（共3小题） 题型八 分组分解法分解因式（共3小题） 题型九 换元法分解因式（共3小题） 题型十 因式分解的配方法（共3小题） 题型十一 因式分解的特殊解法（共3小题） 题型十二 乘法公式的几何背景（共4小题） 题型十三 与幂的运算有关的新定义问题（共3小题） 题型十四 利用整式乘法解决图形几何面积（共3小题） 题型十五 与整式乘除有关的规律探究问题（共4小题） 题型十六 平行线判定与性质综合证明（共3小题） 题型十七 单拐点折线角度计算（共3小题） 题型十八 多拐点折线角度探究（共1小题） 题型十九 直线旋转动态角度问题（共3小题） 题型二十 探究角之间数量关系（共3小题） 题型二十一 三角板拼接模型（共3小题） 题型一 与分式运算有关的新定义问题（共3小题） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 3．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 4．（24题型二 与分式运算有关的材料阅读类问题（共3小题） 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)将分式用“分离常数法”可化成______； (2)将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)已知方程组有正整数解，求整数的值． 6．（21-22八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 题型三 与分式有关的规律探索问题（共3小题） 7．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是______． 8．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为_______． 9．（2024·四川广安·一模）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．      1  1      1  2  1      1  3  3  1     1  4  6  4  1         ……    …… 题型四 裂项相消法（共4小题） 10．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 11．（22-23八年级上·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： (1)求的值； (2)证明：； (3)解方程：． 12．（22-23七年级下·安徽六安·阶段检测）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 13．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 题型五 含参数的分式方程解的讨论（共4小题） 14．（2025七年级上·全国·专题练习）已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 16．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 17．（22-23八年级上·全国·期中）已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 题型六 分式方程的特殊解法（共3小题） 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得． 经检验：都是方程的根． 所以当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：或都是原分式方程的根． 所以原分式方程的根为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______； (2)模仿上述换元法解方程：． 19．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解： (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 题型七 十字相乘法分解因式（共3小题） 21．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 22．（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 23．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 题型八 分组分解法分解因式（共3小题） 24．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 25．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 26．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 题型九 换元法分解因式（共3小题） 27．（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 28．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 29．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 题型十 因式分解的配方法（共3小题） 30．（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ (2)若与，判断、的大小关系，并说明理由； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 31．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 32．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 题型十一 因式分解的特殊解法（共3小题） 33．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 34．（25-26八年级上·河南开封·期末）阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 35．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 题型十二 乘法公式的几何背景（共4小题） 36．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 37．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 38．（25-26七年级下·浙江台州·期中）过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．    (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________； (2)若，，求的值； (3)如图②，点为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形，连接．若正方形和正方形的面积之和为21，的面积为7，求的长度． 39．（25-26七年级下·浙江金华·期中）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 题型十三 与幂的运算有关的新定义问题（共3小题） 40．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 41．（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 题型十四 利用整式乘法解决图形几何面积（共3小题） 43．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 44．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 45．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． (1)比较大小：______． (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 题型十五 与整式乘除有关的规律探究问题（共4小题） 46．（25-26七年级下·陕西西安·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图所示，“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）若，请根据上述规律，计算的值等于（    ） A． B．1 C． D．0 47．（25-26七年级下·江苏常州·期中） …… (1)根据规律可得________（其中n为正整数）； (2)根据规律可得________（其中n为正整数）； (3)计算：________； (4)计算：________． 48．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 49．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： (1)请根据上述规律计算：_________；_________． (2)设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 题型十六 平行线判定与性质综合证明（共3小题） 50．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，． (1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由； (2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系； (3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 51．（25-26七年级下·广东江门·期中）在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 52．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 题型十七 单拐点折线角度计算（共3小题） 53．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，有一点M在直线之间且在直线左侧，连接，求，，的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线．在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 54．（25-26七年级下·浙江·期中）数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，． (1)若． ①如图1，点落在、之间（不含在，上），求的度数； ②如图2，点落在上，作的平分线并反向延长交的平分线于点，求的度数； (2)如图3，点、落在上，点落在、之间，作直线、，分别交于点、，是边上的一点，连接，恰好平分，是射线上的一点，连接，若，设，，，直接写出、、之间的数量关系． 55．（浙江温州市苍南县灵溪镇第三中学等五校2025-2026学年下学期期中教学诊断性测试七年级数学试题卷）已知直线，为平面内一点，点、分别在直线、上，连接，． (1)如图1，若点在直线、之间，过点作，，时，求的度数． (2)如图2，若点在直线、之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数为______． 题型十八 多拐点折线角度探究（共1小题） 56．（浙江湖州市安吉县2025学年第二学期期中七年级数学独立练习）已知：直线，点E、F分别在直线上，点为两平行线内部一点． (1)若． ①如图①，求的度数． ②如图②，和的角平分线交于点，求的度数． (2)如图③，点为直线上一点，延长交直线于点，点为上一点，射线交于点，满足，设，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 题型十九 直线旋转动态角度问题（共3小题） 57．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）如图，点在直线上，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，的对应点为，的对应点为，设旋转时间为，当时，求旋转时间的值； (3)将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当旋转后的与平行时，直接写出旋转时间的值． 58．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 59．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 题型二十 探究角之间数量关系（共3小题） 60．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 61．（17-18七年级·广东深圳·阶段检测）如图，已知直线． (1)如图1，猜测，和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，，分别平分，，则和有怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，点E在直线的右侧，、仍平分、，请直接写出和的数量关系． 62．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）通过第5章的学习，我们知道：已知直线，若直线，则．这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点E在之间，点P，Q分别在直线上，连接．    (1)如图①，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，直接写出、、、、之间的数量关系． 题型二十一 三角板拼接模型（共3小题） 63．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 64．（21-22七年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为________度时，； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)若旋转角的范围改为，当旋转速度为5°/秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 65．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．，分别交于M，N点． (1)求和的度数； (2)现把三角板绕B点逆时针旋转，如图2，当，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示的度数； ②若此时，求n的值； (3)选用工具中的两把直角三角板，直角顶点重合叠放如图3所示，现将含的三角板固定不动，将含的三角板绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行．如当时，．当在至之间变化时，直接写出其它所有符合条件的的度数． 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）丹东六中“创客”团队新建了一个名为“启航”的智慧钟楼模型，钟楼模型顶部分别有三个表盘，如图1，每个表盘上各有一根象征学校精神的指针，不仅是装饰，更是全校电铃和广播系统的逻辑触发器．其中指针（德育指针）速度是，指针（教学指针）速度是， 指针（特色指针）速度是． (1)如图2，指针，指针指向12点钟方向，指针指向6点钟方向，连接，，则， ，有怎样的数量关系，请说明理由． (2)在（1）的条件下，若，三个指针同时按照顺时针方向分别绕着A， B， C旋转，经过分钟同时停止运动． ①当t值是多少时，； ②是否存在某一时刻，使，若存在请直接求出t值；若不存在，说明理由． (3)在（1）的条件下，指针 和指针同时按照顺时针方向分别绕着B，C旋转，经过分钟同时停止运动，当 时， ？ 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 3．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． (1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； (2)【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； (3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 4．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项.使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． (1)配方法因式分解：； (2)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为多少？ 6．（25-26九年级下·重庆南川·期中）先化简，再求值：，其中 7．（2026·江西鹰潭·二模）为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现；可以通过计算标准体重指数m来评价，其中计算公式是，其中W表示体重（单位：），H表示身高（单位：） (1)某男生的身高是，体重是，则________． (2)现某中学在本校九年级学生中，随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果的统计表和条形统计图如下： 体质评价结果统计表： 标准体重指数 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比    ①________； ②分别求出a，b的值； ③若该校九年级共有男生600人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给学校提一条合理性建议． $ 期末真题百练通关（65题21大压轴题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 与分式运算有关的新定义问题（共3小题） 题型二 与分式运算有关的材料阅读类问题（共3小题） 题型三 与分式有关的规律探索问题（共3小题） 题型四 裂项相消法（共4小题） 题型五 含参数的分式方程解的讨论（共4小题） 题型六 分式方程的特殊解法（共3小题） 题型七 十字相乘法分解因式（共3小题） 题型八 分组分解法分解因式（共3小题） 题型九 换元法分解因式（共3小题） 题型十 因式分解的配方法（共3小题） 题型十一 因式分解的特殊解法（共3小题） 题型十二 乘法公式的几何背景（共4小题） 题型十三 与幂的运算有关的新定义问题（共3小题） 题型十四 利用整式乘法解决图形几何面积（共3小题） 题型十五 与整式乘除有关的规律探究问题（共4小题） 题型十六 平行线判定与性质综合证明（共3小题） 题型十七 单拐点折线角度计算（共3小题） 题型十八 多拐点折线角度探究（共1小题） 题型十九 直线旋转动态角度问题（共3小题） 题型二十 探究角之间数量关系（共3小题） 题型二十一 三角板拼接模型（共3小题） 题型一 与分式运算有关的新定义问题（共3小题） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 3．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． 4．（24， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 题型二 与分式运算有关的材料阅读类问题（共3小题） 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)将分式用“分离常数法”可化成______； (2)将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）利用加减法可得，即可得或或，据此解答即可求解； 本题考查了分式的变形运算，解二元一次方程组，掌握“分离常数法”是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； （3）解：， ①②，得， ∴， ∵是正整数， ∴大于的整数， 又∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，不合题意，舍去； 综上，整数的值为或． 6．（21-22八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 题型三 与分式有关的规律探索问题（共3小题） 7．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的值．熟练掌握解一元一次不等式，分式的值是解题的关键． 由题意可得，，即，然后根据分式的值为整数，确定整数m的值，进而可得满足条件的整数m的值． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ， ∴， 解得，， ∵分式的值为整数， ∴整数的值为，，0，1， 又∵， ∴满足条件的整数m的值为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，分析等式特点得到规律，应用规律到方程是解决本题的关键．先根据上面的规律化简方程，解分式方程求出解，检验得结论． 【详解】解：， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 9．（2024·四川广安·一模）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．      1  1      1  2  1      1  3  3  1     1  4  6  4  1         ……    …… 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识．首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中含项的系数， 由可知， 展开式中第二项为 ∴展开式中含项的系数是. 故答案为：． 题型四 裂项相消法（共4小题） 10．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明． （1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明． 【详解】（1）解：由题意可得， 第5个等式是， 故答案为：； （2）解：， 证明：右边， 等号左边等于等号右边的式子， ． 11．（22-23八年级上·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： (1)求的值； (2)证明：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“裂项”的方法，计算即可； （2）根据“裂项”的方法，计算证明即可； （3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数四则混合运算、解分式方程，解本题的关键在理解题意，充分利用运算规律计算． 12．（22-23七年级下·安徽六安·阶段检测）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用计算即可； （2）先计算，再根据求解即可； （3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴； （3）解： ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项． 13．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 题型五 含参数的分式方程解的讨论（共4小题） 14．（2025七年级上·全国·专题练习）已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式方程的知识，先解关于y的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式组并求解，然后根据a是正整数，求出满足条件的所有正整数a的值，再求出它们的和即可． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 ， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∵a是正整数， ∴a的可能取值为2, 3, 4, 5， 又∵是整数， ∴必为偶数， ∴a为奇数，即a只能取3或5， ∴满足条件的所有正整数a的和为：． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 16．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 17．（22-23八年级上·全国·期中）已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1)或2或 (2)或且且 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； （）由得，然后根据方程的解为正数得出且且，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 题型六 分式方程的特殊解法（共3小题） 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得． 经检验：都是方程的根． 所以当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：或都是原分式方程的根． 所以原分式方程的根为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______； (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据换元法，可得答案； （2）根据分式的加减，可得：，根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：， 解得：或2， 经检验：和2都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：和是原分式方程的解， （2）解：原方程可化为 ， 即 ， 整理得 ， 设，则原方程化为， 方程两边同乘以y，得， 解得． 经检验：都是方程的根． 所以，当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的根， 所以，原分式方程的根为． 19．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解： (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义计算，即可解答； （2）根据新定义计算，即可解答； （3）根据新定义可得，由可化为，代入即可解答． 【详解】（1）解：∵为“十字分式方程”， ∴， ； 故答案为：． （2）∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴． （3）∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型七 十字相乘法分解因式（共3小题） 21．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 22．（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 23．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 题型八 分组分解法分解因式（共3小题） 24．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 25．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． （1）利用分组分解法得出，再根据公式法进行因式分解． （2）利用分组分解法得出、再根据公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型九 换元法分解因式（共3小题） 27．（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可； （2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可． 本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 28．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 29．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 题型十 因式分解的配方法（共3小题） 30．（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ (2)若与，判断、的大小关系，并说明理由； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)大， (2)，理由见解析 (3)时，有最小值为16． 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， 当时，有最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：大，； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ， ； （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 31．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)当，时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据例题方法，根据完全平方公式与平方差公式，因式分解，即可求解． （3）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （4）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式 ∴， ∴ 故答案为：． （2） （3） ∵， ∴， ∴， 当时，y的最大值为； （4） ， 当，时，原式取最小值． ∴当，时，多项式有最小值． 32．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)8 (4)当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，应用配方法解决问题是解题的关键． （1）仿照阅读材料的方法，利用配方法即可求解； （2）仿照阅读材料的方法，利用配方法即可求解； （3）利用配方法得到，，结合求出的值，即可求解； （4）设长为x米，用表示出长方形场地的面积，再利用配方法求出面积最大值和对应的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，即当时，代数式有最小值 故答案为：． （2）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为5． （3）解：， ， ，， ，， 即，， ， 又， ，， 即，， 解得：，， ． 故答案为：8． （4）解：设长为x米， 由题意得，（米）， 长方形场地的面积 ， ， ， 当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米． 题型十一 因式分解的特殊解法（共3小题） 33．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【答案】（1），；（2）；；；；（3）①；；②． 【分析】本题考查了规律的探究，整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式的乘法运算法则，仿照示例，可得到规律，根据所得到规律得； （2）根据（1）中的规律，即可求解； （3）①根据所得到的规律逆向运算，得到因式分解的结果， ②根据规律，分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 34．（25-26八年级上·河南开封·期末）阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴当时，有最小值． 35．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 题型十二 乘法公式的几何背景（共4小题） 36．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)288000 【分析】（1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差；图②是长为，宽为的长方形，再由长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，即面积为， （2）解：由（1）得，； （3）解：原式． 37．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 38．（25-26七年级下·浙江台州·期中）过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．    (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________； (2)若，，求的值； (3)如图②，点为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形，连接．若正方形和正方形的面积之和为21，的面积为7，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， 所以，，之间的等量关系是； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， 所以， 所以， 因为， 所以． 39．（25-26七年级下·浙江金华·期中）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①根据（1）中等式变形得出结论；②根据，，可得，即可求解； （3）根据等式变形可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， 即：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴. 题型十三 与幂的运算有关的新定义问题（共3小题） 40．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 41．（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 题型十四 利用整式乘法解决图形几何面积（共3小题） 43．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 44．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为， 所以． （2）解：设，则 ， ， ∵， ∴ ， 解得：． （3）解：由图可知：， 设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为； 长方形的长为 ，宽为； ∴长方形的面积为，长方形的面积为， ∴长方形面积与长方形的面积差为，即． 45．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． (1)比较大小：______． (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （2）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料得，， ∴； （2）解：由图知：， ， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴． 题型十五 与整式乘除有关的规律探究问题（共4小题） 46．（25-26七年级下·陕西西安·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图所示，“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）若，请根据上述规律，计算的值等于（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】分别令和，求出对应的代数式的值，再进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴. 47．（25-26七年级下·江苏常州·期中） …… (1)根据规律可得________（其中n为正整数）； (2)根据规律可得________（其中n为正整数）； (3)计算：________； (4)计算：________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题中所给的式子即可得到规律，从而确定答案； （2）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （3）由（2）中所得的规律直接求解即可得到答案； （4）由（2）中所得的规律直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）中规律可知：， ； （3）解：由（2）中规律可知，， ∴ ； （4）解： ． 48．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是， 规律为：， 证明： ， ， ∴． 49．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： (1)请根据上述规律计算：_________；_________． (2)设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 【答案】(1) ， (2) 见解析 【分析】（1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据规律写出结论，验证结论左右是否相等，只要把上面的结论的两边去掉括号化简看看是否相等即可判断； 【详解】（1）解：， ； （2）规律为：， 证明：∵左边， ∴右边， ∵左边右边， ∴. 题型十六 平行线判定与性质综合证明（共3小题） 50．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，． (1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由； (2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系； (3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)数量关系为： (3)与的数量关系是： 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到； （2）过P作．则，得到； （3）过P作，过作，即可得到，，， 再根据，，，得到，代入 ，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ，， ， ，， ， ； （2）解：过P作． ， ， ， ， ， ∴数量关系为：，理由如上； （3）解：与的数量关系是：． 由题意得，， 过P作，过作， ，，，， ，， ∵，， ∴， 整理得， ∴， 整理得． 51．（25-26七年级下·广东江门·期中）在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）过点作，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，可得，由（1）得：，利用平行线的性质建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 题型十七 单拐点折线角度计算（共3小题） 53．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，有一点M在直线之间且在直线左侧，连接，求，，的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线．在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）过点M作，可得．进而可以证明；（3）令，则，过点H作，可得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵ ． ∴ ， ∴； （2）证明：如图2，过点M作 ， 又∵， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 即． （3）解：如图3，令 ， 则 ， ∵射线是的平分线， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 过点H作 ， 则 ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． 54．（25-26七年级下·浙江·期中）数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，． (1)若． ①如图1，点落在、之间（不含在，上），求的度数； ②如图2，点落在上，作的平分线并反向延长交的平分线于点，求的度数； (2)如图3，点、落在上，点落在、之间，作直线、，分别交于点、，是边上的一点，连接，恰好平分，是射线上的一点，连接，若，设，，，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质得到，，再由即可求解；②过点作，设，则，，，根据平行线的性质得到，，即可求解； （2）过点作，过点作，由角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，,，即可求出、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：①如图1，过点作， ． ， ． ，， ． ， ． ②如图2，过点作， 设， 平分， ，． ， ． 平分， ． ，， ． ，． ． （2）解：如图3，过点作，过点作， 平分， ，． ， ． ． ，， ． ． ， ． ，， ． ,． ． ． ． 55．（浙江温州市苍南县灵溪镇第三中学等五校2025-2026学年下学期期中教学诊断性测试七年级数学试题卷）已知直线，为平面内一点，点、分别在直线、上，连接，． (1)如图1，若点在直线、之间，过点作，，时，求的度数． (2)如图2，若点在直线、之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过平行线的性质结合即可求解； （2）同理（1）得，，由已知得到，根据平分，平分，求出，再根据，即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ，； ， ， ∵， ； （2）解：同理（1）得：，， ∵， ∴， 平分，平分， ，， ， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 题型十八 多拐点折线角度探究（共1小题） 56．（浙江湖州市安吉县2025学年第二学期期中七年级数学独立练习）已知：直线，点E、F分别在直线上，点为两平行线内部一点． (1)若． ①如图①，求的度数． ②如图②，和的角平分线交于点，求的度数． (2)如图③，点为直线上一点，延长交直线于点，点为上一点，射线交于点，满足，设，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①证明，得到，，则可证明，据此可得答案；②证明，得到，，则可证明，则由角平分线的定义可推出，同理可得； （2）证明，得到，，则可得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图②，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图③，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 题型十九 直线旋转动态角度问题（共3小题） 57．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）如图，点在直线上，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，的对应点为，的对应点为，设旋转时间为，当时，求旋转时间的值； (3)将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当旋转后的与平行时，直接写出旋转时间的值． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据平行线性质和角平分线有关计算可求解． （2）根据旋转时间判断在直线的上方．分三种情况：①1在的左侧，②和都在右侧，直线上方，③在下方，在上方，分别表示出和，根据列出方程，求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在下方，②当在上方，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴． ∵平分， ∴． （2）解∶由绕点以每秒的速度顺时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∵旋转时间， ∴，即， ∴在直线的上方． ①当在的左侧时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当和都在右侧，直线上方时， ， ， ∵， ∴， 解得． ③当在下方，在上方时， ， ， ∵， ∴， 解得． ∵在下方，在上方， ∴，即， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴综上所述，旋转时间的值为或． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当在下方时， ∵，， ∴， ， 当时，， ∴， 解得． ②如图，当在上方时， ∵，， ∴， ， 当时，， ∴， 解得． 综上所述，当旋转后的与平行时，的值为或． 58．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 59．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：；      当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 题型二十 探究角之间数量关系（共3小题） 60．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质分别求解即可； （2）①根据角平分线的定义设，，再结合（1）所得数量关系求解即可； ②同①可得，，，……从而推出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作， ， ， ，， ； 如图2，当点在的右侧时， ， ， ，， ， ； （2）解：①，分别平分和， 设，， ，， 由（1）可知，，， ，， ， ， ； ②与的角平分线交于点， ，， ， 同理可得，，，…… 则， ， ， ， ． 61．（17-18七年级·广东深圳·阶段检测）如图，已知直线． (1)如图1，猜测，和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，，分别平分，，则和有怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，点E在直线的右侧，、仍平分、，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1),理由见解析 (2),理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线和角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）作直线l平行于，根据两直线平行内错角相等，可得，，则∠； （2）根据角平分线的性质可得，根据（1）的结论可得，所以； （3）过点E作，由两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的性质可得，代入前式得． 【详解】（1）解：,理由如下： 过点E作直线l平行于，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ 即， （2）解：如图2， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ 由（1）可得，， ∴． （3）解：． 如图3， 过点E作 ∵，， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知，， 又∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴ 62．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）通过第5章的学习，我们知道：已知直线，若直线，则．这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点E在之间，点P，Q分别在直线上，连接．    (1)如图①，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，直接写出、、、、之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3). 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论： （1）先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”得出，，得出即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而利用平角定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点F作，然后利用（1）的结论可得：，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：， 理由：过点F作，    由（1）可得：， ∴， ∴，即 题型二十一 三角板拼接模型（共3小题） 63．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】问题解决：①②是定值，；思维拓展：s或s 【分析】本题考查了动角问题，平行线的判定及性质，角的和差等； 问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解； 思维拓展：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求； 掌握平行线的判定方法及性质，能根据、的不同位置进行分类讨论是解题的关键 【详解】解：问题解决： ①如图，过点E作， ， ， ， ， ； ②是定值，理由如下： 如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故为定值； 思维拓展： 由题意得， ， ， （ⅰ）如图，当时，延长交于点P， ①在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； （ⅱ）当时，延长交于点I， ①如图，在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②如图，在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，所有满足条件的t的值为s或s． 64．（21-22七年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为________度时，； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)若旋转角的范围改为，当旋转速度为5°/秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】(1)15 (2)当时，；当时， (3)或9或21或27或30 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据即可求解； （2）先设，，在旋转过程中，分两种情况讨论，再根据角的和差关系进行求解即可； （3）根据题意分别作出图形，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 如图： ， ， ． （2）解：设，，（，）， 当时，如图所示： 此时，，， 故，即； 当时，如图所示： 此时，， ，即， 综上，当时，；当时，． （3）解：①当时，如图所示： 此时，， ； ②当时，如图所示： 此时，， ； ③当时，如图所示： 此时易得，， ； ④当时，如图所示： 此时易得，， ； ⑤当时，如图所示： 此时，， ； 综上，或9或21或27或30． 65．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．，分别交于M，N点． (1)求和的度数； (2)现把三角板绕B点逆时针旋转，如图2，当，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示的度数； ②若此时，求n的值； (3)选用工具中的两把直角三角板，直角顶点重合叠放如图3所示，现将含的三角板固定不动，将含的三角板绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行．如当时，．当在至之间变化时，直接写出其它所有符合条件的的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了邻补角、直角的性质，平行线的性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，结合题意求解即可； （3）结合图形，分，，，，，五种情况进行分析，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）解：①如图2，∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）当时， ， 如图所示位置， ∵，， ∴， ∴； 如图所示转到位置， ∵，， ∴共线， ∴， ∵， ∴共线， ∴； 当时， 如图所示位置， ∵， ∴， ∴； 如图所示转到位置， ∵， ∴； 当时， 如图所示位置， 根据题意得； 如图所示位置，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示：同理得；； 当时，如图所示：同理得；； 综合可得：符合条件的的度数． 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）丹东六中“创客”团队新建了一个名为“启航”的智慧钟楼模型，钟楼模型顶部分别有三个表盘，如图1，每个表盘上各有一根象征学校精神的指针，不仅是装饰，更是全校电铃和广播系统的逻辑触发器．其中指针（德育指针）速度是，指针（教学指针）速度是， 指针（特色指针）速度是． (1)如图2，指针，指针指向12点钟方向，指针指向6点钟方向，连接，，则， ，有怎样的数量关系，请说明理由． (2)在（1）的条件下，若，三个指针同时按照顺时针方向分别绕着A， B， C旋转，经过分钟同时停止运动． ①当t值是多少时，； ②是否存在某一时刻，使，若存在请直接求出t值；若不存在，说明理由． (3)在（1）的条件下，指针 和指针同时按照顺时针方向分别绕着B，C旋转，经过分钟同时停止运动，当 时， ？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)①45；②存在，t的值为或，理由见解析 (3)30 【分析】（1）延长至G，根据题意知，得，再由，代入后可得结论； （2）①首先，根据题意得，然后，进行两种情况分析讨论可知，两指针同向平行不存在，故当两指针反向平行时，即，可得， 解得即可； ②根据题意进行两种情况的分类讨论：第一种情况：当两指针反向平行时， 得，进而得，再得，，，最后，由，得，解方程即可；第二种情况：当两指针同向平行时，同第一种情况解题方法找准等量关系，列出方程解答即可； （3）根据题意知初始置时，且指针方向相反，可知垂直时两指针夹角为或，然后，列出关于t的方程，分别解方程并分析即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，延长至G， 根据题意知， ∴， ∵，即， ∴； （2）①解：根据题意知，又知， ∴， ∴， 根据题意知两指针同向平行不存在， ∴当两指针反向平行时，即，且，可 得 ， 解得， ∴当t的值是时，； ②解：存在，理由如下： 第一种情况： 如图2，两指针同向平行，当 顺时针旋转至，顺时针旋转至时，， 即，过B作， 则， ∴， 根据题意知，，， 由（1）知 ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况： 如图3，两指针反向平行，当顺时针旋转至，顺时针旋转至时，， 即，过B作， 则， ∴， 根据题意知，则， 由（1）知 ，又知， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， 整理，得， 解得． 综上，存在t的值使，t的值为或； （3）解：根据题意知初始置时，且指针方向相反，顺时针的旋转角度为，顺时针旋转的角度为． ∵， ∴垂直时两指针夹角为或． ①根据题意，得，即， ∴或，解得或（不符合题意，舍去）； ②根据题意，得，即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 综上，当时，． 【点睛】本题解题的关键在于充分掌握旋转的性质、平行线的性质，能够根据实际情况分两指针同向平行及反向平行两种情况进行分类讨论． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 【答案】(1) , (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解： ∴ 当时， 当时， ∴的所有正整数解为 , ； （2）解：由和得， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 3．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． (1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； (2)【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； (3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）用两种方式表示阴影面积即可解答； （2）①直接利用（1）得结论求解即可；②设，，则，然后再利用（1）的结论求解即可； （3）由题意可得：，再求得，利用（1）的结论可得；再利用完全平方公式可求得，最后代入求S即可． 【详解】（1）解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则． （2）解：①由（1）可得：， 所以， ∴， ∵，， ∴． ②设，，则， 由（1）知， ∴． （3）解：由图②可知，阴影部分的面积为 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义可得，再根据完全平方公式确定k的值即可； （2）由新定义可得，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： 是一个完全平方式， ∴， ∴，解得：． （2）解： ∵ ∴ ∴，即，解得：． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项.使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． (1)配方法因式分解：； (2)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为多少？ 【答案】(1) (2)是等边三角形； (3)四边形的面积最大值为8． 【分析】（1）模仿例题，将变为，然后配方，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先移项，再配方，利用非负数的性质求解a、b、c即可解答； （3）设，则，根据题意表示出四边形的面积，根据二次函数的性质解答，即可获得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 即是等边三角形； （3）解：设，则， ∵， ∴四边形的面积， ∵，， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为8． 6．（25-26九年级下·重庆南川·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 7．（2026·江西鹰潭·二模）为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现；可以通过计算标准体重指数m来评价，其中计算公式是，其中W表示体重（单位：），H表示身高（单位：） (1)某男生的身高是，体重是，则________． (2)现某中学在本校九年级学生中，随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果的统计表和条形统计图如下： 体质评价结果统计表： 标准体重指数 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比    ①________； ②分别求出a，b的值； ③若该校九年级共有男生600人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给学校提一条合理性建议． 【答案】(1)； (2)①；②，；③估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为人，建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼． 【分析】（1）根据题中计算公式求解即可； （2）①根据明显消瘦的人数有，占比，可求解； ②先算出的值，再算的值即可； ③用总数乘以评价结果为“过重”和“肥胖”的男生占比即可，提出合理化建议． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵明显消瘦的人数有，占比， ∴随机抽取的人数为（人）； ②∵肥胖的有人， ∴， ∴； ③估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为： （人）， ∵该样九年级体质评价结果为 “过重”和“肥胖”的男生占， ∴建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼． $